Алгебра и начала анализа

Справочные материалы

Делимость натуральных чисел:

Пусть n : m = k,  где n, m, k – натуральные числа.  Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.

Число n называется простым, если его делителями являются только единица и само число n.

Множество простых чисел:        {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}

Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме единицы.

Признаки делимости чисел:

Деление с остатком:  Формула деления с остатком:        n = m⋅k + r,  где n – делимое, m - делитель, k - частное, r – остаток: 0 ≤ r < m 

Пример:  Любое число можно представить в виде:  n = 2k + r,  где r = {0; 1}  или n = 4k + r,  где r = {0; 1; 2; 3}

Дроби

Сложение          Вычитание     

Умножение        Деление           

Составная дробь      

Модуль

Арифметический квадратный корень

Степень

Среднее  арифметическое,  геометрическое

Среднее арифметическое:                        

Среднее геометрическое:          

Проценты

Определение: Процентом называется сотая часть от числа.        1%A = 0,01A

Основные типы задач на проценты:

Сколько процентов составляет число A от числа B? 

B        -        100%

A        -        x%                 

Сложные проценты.

Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%.

Как, в итоге, изменилось исходное число?

1. A1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A
2. A2 = (100% - 25%)A1=75%A1 = 0,75A1 = 0,75⋅1,2A = 0,9A = 90%A
3. A1 – A = 90%A – 100%A = -10%A   ⇒        Ответ:        уменьшилось на 10%.

Изменение величины.

Как изменится время,  если скорость движения увеличится на 25%?

Ответ: уменьшится на 20%.

Уравнения и неравенства

Линейное уравнение:     ax + b = 0 (a ≠ 0)   ⇔    

Квадратное уравнение:        ax2 + bx + c = 0                   Дискриминант:  D = b2 – 4ac        

Формула корней:  

Разложение на линейные множители:        

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

Теорема Виета       Приведенное квадратное уравнение:    x2 + px + q = 0  

 x1 + x2  =  - p            x1 ⋅  x2    =  q

Модуль: уравнения и неравенства

1.         

2.

3.

4.

5.

Метод интервалов

1)        

⇒

2)        

⇒

Функции

Область определения функции

Свойства элементарных функций

Исследование графика функции

Преобразование графика функции

Производная  и  интеграл

Правила вычисления производной функции

Уравнение движения

Пусть  - уравнение движения материальной точки, где S – путь, t – время движения.        

Тогда: , где  – скорость, - ускорение.

Производные элементарных функций

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции  

в точке  имеет вид:        ,

где  - угловой коэффициент касательной.

Определенный интеграл

Правила вычисления первообразной функции

Определение:        Функция F(x) называется первообразной для функции f(x),

если .

Первообразная элементарных функций

Площадь криволинейной трапеции