Теория вероятности
консультация по алгебре

Элементы  теории  вероятностей

Глава 1. Комбинаторика

1.1. Размещения

Пусть задано некоторое конечное множество из n различных элементов. Пусть из числа его элементов выбраны k различных штук (k ≤ n), тогда говорят, что произведена выборка объёма k. Если важен порядок, в котором произведена выборка элементов, то говорят об упорядоченной выборке, если порядок не важен, то о неупорядоченной.

Упорядоченная выборка объёма k из множества, состоящего из n элементов, (k ≤ n) называется размещением из n элементов по k. Количество размещений обозначается  .   Символ  читается «а из эн по ка».

Модель 1. Размещения

Размещение из n элементов по n называется перестановкой из n элементов. Количество перестановок обозначается Pn.

Перестановка № 1

Модель  2. Перестановки

Другими словами,  Pn = .  Формула для числа

В частности, Pn = n · (n – 1) · ... · 2 · 1.

Введём следующее обозначение: n! = n · (n – 1) · ... · 2 · 1. Символ «!» называется знаком факториала или просто факториалом. По определению считается, что 0! = 1. С помощью факториала можно компактно записать выражение для    и  Pn.

Количество размещений из n элементов по k:  

В частности, количество перестановок из n элементов:

- 1 -

Pn = n!.

Пример 1 

Вычислить  

Вернемся к формуле Pn = .  Из неё следует, что Pn =   = .  В подобных ситуациях полагают, что 0! = 1, и это логично: единственный способ переставить 0 объектов – это ничего не делать.

Пример 2 

Сколько семизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр при условии, что цифры в записи числа не повторяются?

Решение

В предыдущем примере цифры в числе не должны были повторяться. Не менее часто, однако, встречаются задачи, в которых элементы в выборке могут повторяться. Подобные выборки называются размещениями с повторениями и обозначаются    Найдем число    На первое место можно выбрать элемент n способами, на второе – также n способами, и так далее. Если количество мест равно k, то по правилу количество различных выборок равно

  -  Количество размещений с повторениями обозначается символом    и вычисляется по формуле

Пример 3 

Сколько различных пятибуквенных «слов» можно составить из 26 букв латинского алфавита?

Пример 4 

У Васи есть две одинаковых копейки, один десятицентовик, три одинаковых пенса и три одинаковых лиры. Сколькими способами Вася может разместить монеты в своем альбоме, если количество мест в альбоме в точности равно количеству монет?

Можно сформулировать общее правило:  Количество перестановок из n элементов, среди которых имеется n1 одинаковых элементов первого сорта, n2 одинаковых элементов второго сорта, nk одинаковых элементов k-го сорта, называется количеством перестановок с повторениями, обозначается символом    и вычисляется по формуле

- 2 -

1.2.  Сочетания

Допустим теперь, что нас не интересует порядок, в котором идут выбранные элементы. Например, нужно из десяти человек выбрать троих дежурных. Такая операция называется неупорядоченной выборкой, или сочетанием, в отличие от упорядоченной выборки – размещений.

 Всякая неупорядоченная выборка объёма k из множества, состоящего из n элементов, (k ≤ n) называется сочетанием из n элементов по k.

Количество сочетаний обозначается   и вычисляется по формуле

Символ   читается «це из эн по ка».  Формула для  

Модель 3. Сочетания

Пример 1 

Для проведения письменного экзамена нужно составить 3 варианта по 5 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 15 задач на 3 варианта?

Пример 2 

Сколькими способами можно разместить 10 различных шаров по 4 ящикам так, чтобы в первом ящике оказалось 2 шара, во втором – 3, в третьем – 3 и в четвёртом снова два?

Решение

Для числа сочетаний   справедливы некоторые тождества, в частности:

Пример 3 

Докажите тождество

Запишем в «нулевой» строке число   = 1.  В первой строке напишем значения чисел  и ,  каждое из которых тоже равно 1, так, чтобы значение   оказалось

- 3 -

над промежутком между этими двумя числами. Во второй строке запишем числа  и , тоже равные 1, а между ними – число  = 1. Обратим внимание, что число  равно сумме двух чисел, стоящих над ним:   =  + . Продолжим построение, записывая в n -й строке числа от  до   включительно.

Рисунок  1.    Треугольник Паскаля

Полученный числовой треугольник называется треугольником Паскаля. Согласно свойству  =  + ,  любое число в этом треугольнике равно сумме двух чисел, расположенных над ним в предыдущей строке.

При помощи треугольника Паскаля удобно доказывать различные комбинаторные тождества.

Еще один интересный факт, связанный с треугольником Паскаля:

Бином Ньютона

Приведённое тождество называется биномом Ньютона.

Как и в случае с размещениями, существует понятие числа сочетаний с повторениями. Рассмотрим его на следующем примере.

Пример 5 

В палитре художника 8 различных красок. Художник берет кистью наугад любую из красок и ставит цветное пятно на ватмане. Затем берет следующую кисть, окунает её в любую из красок и делает второе пятно по соседству. Сколько различных комбинаций существует для шести пятен? Порядок пятен на ватмане не важен.

Решение

Вообще, можно сформулировать следующее правило.

одбьитЭ- 4 -

Если из множества, содержащего n элементов, выбирается поочередно m элементов, причём выбранный элемент каждый раз возвращается обратно, то количество способов произвести неупорядоченную выборку – число сочетаний с повторениями – составляет

      Глава 2.   Введение в теорию вероятностей

Попробуем ознакомиться с основными закономерностями случайных процессов.

Для начала, возьмем в руки монетку, будем ее бросать и записывать результат последовательно в виде строки: О, Р, Р, О, О, Р. Здесь буквами О и Р обозначено выпадение орла или решки. В нашем случае бросание монетки – это испытание, а выпадение орла или решки – событие, то есть возможный исход нашего испытания.

Пусть мы провели испытание N раз, R раз выпала решка, O = N – R раз выпал орел.  Предположим, что при большом числе испытаний N отношение p =  стремится к некоторой постоянной величине. Назовём её вероятностью p наступления события.  Если существует идеализированный процесс, который можно представить в виде испытаний, и частота случайного события приближается к пределу

то этот предел называется вероятностью данного случайного события.  Часто вероятность, которая в нашем определении заключена в интервале 0 ≤ p ≤ 1, выражают в процентах, умножая число p на 100 %.

Иногда вероятность события можно предсказать из соображений симметрии. Например, при бросании «идеального» игрального кубика выпадение любой грани равновозможное (равновероятно). Всего граней 6, значит, вероятность выпадения i-й грани

p (Ai) = p (A1) = p (A2) = p (A3) = p (A4) = p (A5) = p (A6) = 1/6.

Если мы имеем дело с измеримыми случайными величинами, например, измеряем в течение нескольких лет количество снега, выпавшего за день, то понятие вероятности тоже можно ввести. Для этого запишем результаты измерения в таблицу с точностью, например, в сантиметр и подсчитаем относительную частоту появления того или иного значения. Например, вероятность того, что выпадет 3 см снега, – p(3) = ,  где N (3) – количество дней, в каждый из которых выпало 3 см, N – общее количество дней, в которые проводились измерения.

Для того чтобы найти вероятность события A, происходящего в серии испытаний, нужно:

1. найти число N всех возможных исходов (элементарных событий);
2. принять предположение о равновероятности этих исходов;
3. найти количество N (A) тех исходов, в которых наступает событие A;
4. найти частное p =    оно и будет равно вероятности p (A) наступления события A.

- 5 -

В этой очевидной инструкции есть очень важный пункт о равновероятности исходов. Проиллюстрируем его на примерах.

Пример 1 

С какой вероятностью монета, брошенная дважды, по крайней мере один раз выпадет гербом?

Пример 2 

Юноша ездит в гости к двум девушкам на двух разных электричках. Выбор места, куда он поедет сегодня, осуществляется очень просто – он приходит на вокзал и садится на ту электричку, которая придёт первой. Обе электрички ходят с равными интервалами – один раз в час, но в гостях у первой девушки юноша оказывается в пяти случаях из шести, а у второй – в одном случае. Почему?

Пример 3 

Как известно, в результате броуновского движения частицы взвешенного вещества хаотически движутся. Поэтому в некотором выделенном объёме может оказаться одна, две, три частицы, а может не оказаться ни одной. Шведский учёный Сведберг провёл 518 экспериментов над частицами золота, взвешенными в воде. Было найдено, что в выделенной области пространства 112 раз не наблюдалось ни одной частицы, 1 частица наблюдалась 168 раз, 2 частицы − 130 раз, 3 частицы − 69 раз, 4 частицы − 32 раза, 5 частиц − 5 раз, 6 частиц − 1 раз, 7 частиц − 1 раз. Какова вероятность встретить то или иное количество частиц в выделенном объёме пространства?

2.2. События и вероятности

Все задачи курса теории вероятностей связаны с многократным повторением испытаний и фиксацией результата испытаний – событий. Рассмотрим различные события на примере бросков игрального кубика – A. Будем обозначать тот факт, что на кубике выпало некоторое число от 1 до 6, буквой A с индексом, обозначающим выпавшее число. Так, A3 обозначает, что при броске кубика A выпало число 3.

• В нашем случае события A1, A2, A3, A4, A5, A6 образуют множество элементарных событий. Для них верно

Для бросков кубика класс элементарных событий может быть выбран и так: событие C1 заключается в том, что выпала грань с чётным количеством очков, C2 – с нечётным. Тогда p (C1) + p (C2) = 1. А вот класс, состоящий из событий «выпало чётное количество очков», «выпала единица», «выпала двойка», «выпала тройка», не является элементарным, хотя для них   Это связано с тем, что событие «выпало 2» относится сразу к двум событиям этого класса: «выпало чётное количество очков» и «выпала двойка».

• К классу возможных событий относятся все подмножества множества элементарных событий. Например, при броске «выпало 1 или 2», «выпало 3» и т. д.
• Невозможное событие (O) определяется как событие, не входящее в класс возможных. В нашем случае это, например, «не выпало ничего» или «на кубике A выпа

- 6 -

ло число 7». Вероятность невозможного события равна p (O) = 0.

• Достоверное событие (I): случилось хотя бы одно событие из класса возможных. В нашем случае достоверно то, что на каждом из кубиков A и B выпадет любое число от 1 до 6. Вероятность достоверного события равна p (I) = 1.
• Событие, противоположное событию A, обозначается как   и состоит в том, что в результате испытания A не произошло. Например, в нашем случае  значит, что на кубике A выпало число, не равное 1.

Сумма вероятностей события и его отрицания есть достоверное событие, то есть

• Несовместными называются события, которые не могут произойти одновременно. Например, события A1 и A2 являются несовместными: на кубике A не могут одновременно выпасть 1 и 2.
• Суммой событий A и B называется событие, при котором произошло или А, или  B, обозначается оно A + B. Например, A1 + A5 означает, что на кубике A выпало или 1, или 5. Можно доказать, что вероятности несовместных событий складываются,  то есть, если бросать только кубик A, то p (A1 + A5) = p (A1) + p (A5) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

Если бросать одновременно два кубика A и B, то событием будет пара чисел (a, b), выпавших на кубиках A и B соответственно. Обозначим это событие AaBb. Например, A1B5 означает, что мы бросили два кубика одновременно, на кубике A выпало 1, а на B выпало 5.

• Произведением событий A и B называется событие, при котором произошло и A, и B, обозначается оно AB.
• Независимыми называются события A и B, если вероятность события A не зависит от того, наступило событие B или нет. Например, при броске двух кубиков A1 и B5 – независимые события. Вероятность произведения независимых событий равна произведению соответствующих вероятностей. Вообще, равенство

p (AiAk) = p(Ai) p(Ak)

является определением независимых событий.

Если вероятность наступления события A зависит от того, наступило событие B или нет, события называют зависимыми и вводят понятие условной вероятности. Условной вероятностью события A при условии того, что произошло событие B, называют величину  p(A|B) =  . Соответственно, для зависимых событий p (AB) = p (B) p (A | B).

Пример 1 

К каким классам событий (возможное, невозможное, достоверное) относятся: а) расстояние между двумя произвольными городами меньше, чем 50 тысяч километров; б) наугад выбранное слово русского языка заканчивается буквами «нзо»; в) Вася выиграет в лотерее?

Пример 2 

Укажите события, противоположные данным: а) на кубике выпало 1; б) Света получила на экзамене «5»; в) после ночи наступает утро?

Пример 3 

Совместны ли события: а) на первом кубике выпало 1, а на втором – 2; б) Юра

- 7 -

пошёл в школу, а завтра будет дождь; в) Иванов в настоящее время является президентом страны, и Петров является президентом той же страны.

Пример 4 

Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что первая монета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом, событие C – на одной (и только на одной) монете выпадет герб. Тогда события A, B, C попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, A и B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, A и C (а также B и C) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что p (AC) = 1/4 = p(A) p(C), значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье. На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Теперь, ознакомившись с языком теории вероятностей, мы можем дать более строгое определение вероятности и выписать основные её свойства.

Вероятностью события p(A) называется некоторая действительная функция, определённая на классе возможных событий E и удовлетворяющая следующим трём аксиомам, сформулированным А. Н. Колмогоровым.

1. Аксиома неотрицательности. Для любого A из E вероятность p (A) ≥ 0.

2. Аксиома нормированности. Вероятность достоверного события p (I) = 1.

3. Аксиома аддитивности. Для любой (конечной или бесконечной) последовательности попарно несовместных событий A, B, C… вероятность их суммы p (A + B + C + …) = p (A) + p (B) + p (C) + …

Из перечисленных аксиом можно вывести следующие свойства вероятностей.

•  Для любого A из E верно: 1 ≥ p (A) ≥ 0. В частности, вероятность невозможного события p (O) = 0.
•  Если событие A влечёт за собой событие B, то p(A) <  p(B).
•  Вероятность события A и вероятность противоположного события  связаны соотношением
•  p (A + B) = p (A) + p (B) – p (AB). Для несовместных событий  (A + B) = p (A) + p (B).
•  p (AB) = p (B | A) · p (A).

Пример 5 

Пассажир ждёт трамвая № 2 или № 7 возле остановки, на которой останавливаются трамваи № 2, № 5, № 7 и № 24. Считая, что трамваи всех маршрутов появляются случайным образом (не по расписанию) одинаково часто, найдите вероятность того, что первый подошедший к остановке трамвай будет нужного пассажиру маршрута.

2.3. Условная вероятность

До сих пор мы рассматривали независимые события: действительно, число, выпавшее на грани кубика, никак не зависит от предыдущего броска. Но рассмотрим другой случай.

Пример 1 

Пусть пять учеников вытягивают на экзамене пять билетов, один из которых

- 8 -

очень лёгкий. Какова вероятность для того, кто идёт третьим, вытащить удачный билет?

Решение

Очевидно, она зависит от того, что попалось предыдущим ученикам. Назовём первых трёх учеников A, B, C, вероятности удачного исхода для каждого из них обозначим через p (A), p (B), p (C), а неудачного –  p(), p(), p().   Рассмотрим поочередно все возможные случаи.

• Пусть первый ученик вытянул лёгкий билет. Вероятность этого p (A) = 1/5. Тогда для третьего ученика вероятность удачи p (C) равна нулю.
• Пусть первый ученик не вытянул лёгкий билет, вероятность этого p() = 4/5.   Пусть второй ученик вытянул лёгкий билет; поскольку он тянул его уже из 4 возможных вариантов, вероятность этого p() p() =  = .   Тогда, опять же, третьему лёгкий билет не попадётся.
• Пусть второй ученик не вытянул лёгкий билет, вероятность этого p() p() =  = .  Тогда у третьего ученика вероятность удачного исхода равна p()p() =  =   поскольку он тянет билет уже из трёх оставшихся.

Мы видим, что вероятность вытянуть лёгкий билет одинакова для всех учеников. Посмотрим внимательнее, как мы рассчитывали вероятность для третьего ученика вытянуть удачный билет. Мы перемножали три вероятности: вероятность того, что третий вытянет нужный билет, и вероятности того, что ни первый, ни второй его не вытянут. Вероятность события A при условии того, что событие B произошло, называется условной вероятностью и обозначается p (A | B). В нашем примере p() = , p()= 0, p() =   p()= p() = 0. Вероятность того, что второй ученик вытянул лёгкий билет, p() =p() p()  =  = .    

Напомним, что:    p (AB) = p (B) · p (A | B).

 Для условной вероятности можно записать так называемую формулу полной вероятности:

p (B) = p (B | A1) p (A1) + p (B | A2) p (A2) + p (B | A3) p (A3) + … + p (B | Ak) p (Ak).

Здесь A1, A2, A3, …, Ak – попарно несовместные события, сумма    A1 + A2 + A3 + … + Ak – достоверное событие.

Таким образом, для вычисления полной вероятности события B нужно перечислить все условия Ai, при которых может наступить B, и перемножить вероятности этих условий на соответствующие им условные вероятности p (B | Ai).

В случае, когда события независимы,

p (AB) = p (B | A) · p (A) = p (B) · p (A).

Пример 2 

Вернемся к примеру с пятью билетами. Допустим, что после того, как ученик взял билет, он кладёт его обратно. Поставим два вопроса: какова вероятность того, что третьему ученику попадётся самый простой билет, и какова вероятность того, что он достанется первым трём ученикам?

Напомним, что, по определению независимых событий, p (AiAk) = p (Ai) p (Ak).

- 9 -

Если билеты возвращаются обратно, то мы имеем дело с независимыми событиями. Тогда безо всяких вычислений ясно, что для третьего ученика вероятность удачи равна 1/5, для всех троих – (1/5)3. Таким образом, для независимых событий

p (ABC) = p (A) · p (B) · p (C).

 Можно привести и другую формулировку формулы полной вероятности.

Обозначим вероятность того, что событие B вызвано именно событием A1, p (x). Для того, чтобы вычислить p (x), разделим количество случаев B, вызванных A1, на общее количество случаев B. Получим:

Пусть событие B может быть вызвано набором причин Ai. Тогда вероятность того, что к событию B привело событие Ai, пропорциональна произведению вероятности соответствующей причины на вероятность следствия.

Пример 3 

Пусть из 10 урн в 5 урнах лежат только белые шары, в 2 урнах – только чёрные, а в 3 – одинаковое количество чёрных и белых шаров. Вытащим из произвольной урны один шар. Обозначим через A1 тот факт, что мы вытащили шар из первых пяти урн, через A2 – то, что мы вытащили шар из 2 урн с чёрными шарами, через A3 – то, что мы вытащили шар из одной из «смешанных» урн. Вероятность того, что вытаскивается белый шар (событие B), равна:

Тогда, если мы вытащили белый шар, то:

• с вероятностью    =  = 0,77  этот шар – из урн, в которых лежат только белые шары;
• с вероятностью  =  =  0  этот шар – из урн, в которых лежат только чёрные шары;
• с вероятностью  =  =   0,23   этот шар – из урн, в которых лежат и белые, и чёрные шары.

Пример 4 (Задача Пуанкаре) 

В игорном клубе половина игроков честные, половина – шулеры. Вероятность вытащить из колоды короля равна 1/8. Для шулера эта вероятность равна 1. Сидящий перед вами игрок вытаскивает из колоды короля с первого раза. С какой вероятностью перед вами шулер?

Понятие «условная вероятность» требует введения аксиомы вероятностей:

4. Аксиома умножения вероятностей. Вероятность произведения событий p (AB) = p (B | A) p (A).

2.4. Случайные величины

Случайной величиной называется числовая переменная величина, принимающая в зависимости от случая те или иные значения с определёнными вероятностями.

- 10 –

Число попаданий в цель при данном числе выстрелов, скорость молекулы газа являются типичными примерами случайных величин.

  Для задания случайной величины нужно знать множество всевозможных её значений и вероятности, с которыми эта случайная величина принимает свои значения. Все эти данные образуют закон распределения случайной величины или распределение вероятности. -

Будем называть две случайные величины x и y взаимно независимыми, если события x = xi и y = yj являются взаимно независимыми.

Пример 1 

Найти закон распределения числа очков, которые выбивает стрелок на мишени, если вероятность его попадания в область 1 равна 0, вероятность попадания в область 2 равна 0,2, а в область 3 – 0,8.

Решение

1   2         3

 0         0,2         0,8

Пример 2 

Пусть в мишень стреляют два стрелка. При этом закон распределения числа выбиваемых на мишени очков для первого стрелка задан таблицей:

Аналогичный закон распределения для второго стрелка задан таблицей:

Найдём закон распределения суммы очков, выбиваемых обоими стрелками.

Составим таблицу – закон распределения случайной величины x  +  y, где x – количество очков, выбиваемых первым стрелком, а y – количество очков, выбиваемых вторым стрелком.

Значит, искомое распределение вероятностей задаётся таблицей

- 11 -

2.5. Математическое ожидание и дисперсия

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?

Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию Mx. В данном случае Mx = 3,5.

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях n1 раз выпало 1 очко, n2 раз – 2 очка и так далее. Тогда  .  При N → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко, n1 = Np(x = 1) = N/6.  Аналогично, n1 = n2 = … = n6 = N/6. Отсюда

   Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x, то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x1, x2, ..., xk с вероятностями p1, p2, ..., pk.

Математическое ожидание Mx случайной величины x равно

Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как <x>. Записи <x> и Mx эквивалентны.

Пример 1 

Найти математическое ожидание числа очков, которые выбьет первый стрелок в предыдущем примере.

Решение

1        2        3

0        0,2        0,8

Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.

 Медианой случайной величины называют число x1/2 такое, что p (x < x1/2) = 1/2.

Другими словами, вероятность p1 того, что случайная величина x окажется меньшей x1/2, и вероятность p2 того, что случайная величина x окажется большей x1/2, одинаковы и равны 1/2. Медиана определяется однозначно не для всех распределений.

Вернёмся к случайной величине x, которая может принимать значения x1, x2, ..., xk с вероятностями p1, p2, ..., pk.

Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

- 12 -

Используя вероятности pi того, что величина x принимает значения xi, эту формулу можно переписать следующим образом:

-  Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень квадратный из дисперсии этой величины:

Пример 2 

В условиях предыдущего примера вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины x.

Решение

     Пример 3 

Найти распределение вероятности числа очков, выпавших на кубике с первого броска, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Решение

Свойства математического ожидания 

• Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Mx + y = Mx + My.

• Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Mx · y = Mx · My.

Пример 4 

Найти математическое ожидание суммы и произведения очков, выпавшей на двух кубиках.

Решение

Mx + y = Mx + My = 7,

Mxy = Mx · My = 3,52 = 12,25.

Свойства дисперсии 

• Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме дисперсий:

Dx + y = Dx + Dy.

Пример 5 

Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков, выпавших при бросании кубика N раз.

Решение

Mx = 3,5,  Dx = 2,9,

-13 -

My = 3,5 N,          

 Дисперсия случайной величины связана с математическим ожиданием квадрата этой случайной величины следующим соотношением:

2.4. Погрешность измерения величин

Пусть x – приближённое значение некоторой величины (например, полученное путём однократного измерения этой величины), а x0 – её точное значение.

  -  Абсолютной погрешностью величины называется разность   Δx = |x – x0|.

Пример 1 

В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, а при округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4.

Пример 2 

Определите абсолютную погрешность измерения длины точной миллиметровой линейкой.

Решение

Вообще, если систематические ошибки, возникающие при измерении каким-либо прибором, значительно меньше, чем деления шкалы этого прибора, то в качестве абсолютной погрешности измерения обычно берут половину деления.

  -  Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу:  .

Пример 3 

В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, относительная погрешность равна  ≈ 0,043 или 4,3 %. При округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4, а относительная погрешность  ≈ 0,003 или 0,3 %.

В научных экспериментах многие величины определяются не непосредственно, а косвенным путём – измерением значений других величин. Так, чтобы найти плотность тела, ученые измеряют его массу, взвешивая на весах, после чего определяют

- 14 -

объём тела, погружая его в жидкость. Плотность    выражается через массу и объём тела. Масса и объём, входящие в эту формулу, измеряются с некоторой погрешностью; это означает, что и плотность будет вычислена по формуле с некоторой погрешностью.

Выведем несколько правил, позволяющих рассчитывать погрешности величин.

Абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых:  Δ(x + y) = Δx + Δy.

  Отметим, что в отдельных измерениях может случиться, что ошибки в измерении величин x и y скомпенсируют друг друга, и величина x + y будет измерена точно. Однако в других случаях эти ошибки усилят друг друга; при оценке же погрешностей измерения нужно рассматривать самый худший из вариантов.

Аналогично можно показать, что  то же самое верно для разности двух погрешностей.

Абсолютная погрешность разности двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого:  Δ(x – y) = Δx + Δy.

Пример 4 

Вычислите сумму и разность приближённых чисел 0,123 и 0,526.

Решение

Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя. Рассмотрим поучительный пример.

Пример 5 

Измерения цилиндрической полой изнутри трубы показали, что ее внешний радиус равен 100 см, а внутренний радиус – 95 см. Чему равна толщина стенок трубы?

Решение

Если R1 = 100 см, R2 = 98 см, то h = 2 см. Абсолютные погрешности при определении радиусов одинаковы и равны Δ (R1) = Δ (R2) = 0,5 см (если в условии задачи не уточнено, то абсолютная погрешность измерения принимается равной половине последнего знака величины). Абсолютная погрешность расчёта толщины стенки определяется формулой Δ (h) = Δ (R1) + Δ (R2) = 1 см.

Рассчитаем теперь относительные погрешности всех трёх величин:

   = 0,005,  = 0,0053,    = 0,5 ≫ .  Если оба радиуса были измерены с погрешностью порядка 0,5 %, то погрешность при вычислении их разности – толщины стенок трубы – возросла в 100 раз и составила 50 %!

Относительная погрешность произведения приближённо равна сумме относительных погрешностей отдельных сомножителей:  

- 15 -

 Можно расширить это правило, расписав его для произведения n сомножителей.

Относительная погрешность n-й степени приближённого числа примерно в |n| раз больше относительной погрешности исходного числа:  

Расчёты показывают, что это соотношение верно не только для натуральных, но и для любых вещественных степеней n.

В частности,  

Пример 6 

Вычислите относительную погрешность произведения 0,123 и 0,526, если относительные погрешности этих чисел соответственно равны 2 % и 4 %.

- 16 -