«Решение практико-ориентированных задач с помощью квадратных неравенств» 9 класс
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

Конспект урока по теме

«Решение практико-ориентированных задач с помощью квадратных неравенств»

Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательным, и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы.

                                                                        Д.Пойа «Как решить задачу»

Цель урока - обучение решению задач с помощью квадратных неравенств

Задачи урока:

- образовательная

овладение школьниками системой математических знаний, дающей представление о предмете математики, ее методах и приложениях, развитие мировоззрения школьников, которое представляет собой синтез знаний, умений и убеждений;

- воспитательная

формирование интереса к изучению математики, развитие устойчивой мотивации к учебной деятельности;

-развивающая 

формирование таких свойств личности, как внимание, память, мышление, познавательная активность и самостоятельность, а также формирование логических приемов мыслительной деятельности: анализ, синтез, обобщение, абстрагирование и общеучебных приемов.

Ход урока

1). Организационный момент

Добрый день, ребята! Поприветствуйте гостей и присаживайтесь! Сегодня на уроке мы с вами продолжаем работу по решению неравенств второй степени с одной переменной.

2) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

Квадратные неравенства являются важным инструментом в математике, который позволяет нам решать различные задачи и находить интервалы значений переменных.

Мы изучили определение квадратного неравенства, способ его решения и графическое представление, а также рассмотрели основные свойства квадратных неравенств.

Понимание этих концепций поможет нам в определении связей этого понятия с другими математическими понятиями и понятиями, рассматриваемыми в смежных учебных дисциплинах. Итак, квадратные неравенства- коротко о главном…(уч-ся формулируют свои знания по данному вопросу)

Сформулировать цель урока!!!

-успешно решать задачи и применять математические методы в реальной жизни.

3). Актуализация знаний

1) Для дальнейшей работы по данной теме предлагаю вам 12 вопросов, на которые вы отвечаете   «Верно – не верно» (откройте тетради, запишите число, мы начинаем)

1. В левой части неравенства второй степени с одной переменной стоит квадратный трехчлен.
2. Одним из методов решения квадратных неравенств является- графический.
3. Графиком квадратичной функции является гипербола.
4. Решение квадратного неравенства, можно рассматривать как нахождение промежутков знакопостоянства квадратичной функции.
5. При решении кв. неравенства неважно знать куда направлены ветви параболы.
6. Корни квадратного уравнения – это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох.    
7. Парабола пересекает ось Ох, если Д положительное число.
8. Дискриминант показывает, как расположена парабола относительно оси Ох.
9. Если Д , то параболу изображают в  верхней полуплоскости.
10. При графическом способе решения кв. неравенств необходимо найти вершину параболы.
11. Если Д=0, то парабола касается оси Ох при значении корня х=-в/2а.
12. Форму параболы имеют многие объекты окружающей действительности.

2) Задания №13 ОГЭ (раздать по группам) Умение решать квадратные неравенства необходимы при сдаче ОГЭ. Ваша задача, не выполняя решения ответить на вопросы используя теоретические знания). Уч-ся раздаются задания из ФИПИ №13. (правильный ответ -14132)

Вы прекрасно справились с данным заданием, тогда вашему вниманию представляю следующее задание.

4) Обобщение и систематизация знаний. Подготовка обучающихся к обобщенной деятельности. Воспроизведение на новом уровне (переформулированные вопросы).Работа в парах.

Две группы туристов вышли с турбазы по направлениям, которые образуют прямой угол. Первая группа шла со скоростью 4 км/ч, а вторая - со скоростью 5 км/ч. Группы поддерживали связь по рации, причем переговариваться можно было на расстоянии не более, чем 13 км. Какое время после выхода второй группы могли поддерживать между собой связь туристы, если известно, что вторая группа вышла на маршрут через два часа после первой?

Пусть t - время, в течение которого поддерживается связь.
Найдём расстояние, которое первая группа прошла за 2 часа.
4 · 2 = 8 км.
За время t туристы удалятся от турбазы на следующие расстояния:
8 + 4t - первая группа.
5t - вторая группа.
Расстояние между группами можно определить по теореме Пифагора, оно должно быть не больше 13 км:
(8 + 4t)^2 + 25t^2 ≤ 13^2.
64 + 64t + 16t^2 + 25t^2 ≤ 169.
41t^2 + 64t + 64 ≤ 169.
41t^2 + 64t - 105 ≤ 0.
D = 21316.
t1 = (-64 + 146) / 82 = 1
t2 = (-64 - 146) / 82 = -210/82.
Значит, чтобы квадратное уравнение принимало значения ≤ 0, необходимо, чтобы t находилось в интервале - 210/82 ≤ t ≤ 1 (ветви параболы направлены вверх). Условию задачи соответствует t ≤ 1. То есть, на связи группы могут находиться не более 1 часа.
Ответ: Не больше, чем 1 ч.

составление плана; поиск средств; выбор из ряда возможных путей именно того, по которому следует вести решение и т.д.

1. Кто плохо понимает, плохо отвечает
2. Мудрый начинает с конца
3. Усердие — мать удачи
4. Мудрый создает себе больше возможностей, чем ему представит случай
5. Ступень за ступенью лестница преодолевается
6. Тот, кто не думает снова, не может думать правильно

5) Применение знаний и умений в новой ситуации.(работа по группам)

Посмотрим, как квадратичные неравенства применяются в задачах ЕГЭ.

1. Зависимость объёма спроса q (тыс. руб.) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) заедается формулой q = 100 − 10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Подставим выражение для q в формулу выручки:

r(p) = q∙p = (100 − 10p) ∙p = 100p − 10p2.

Выручка должна быть не менее (то есть больше или равна) 240 тысяч рублей. Поскольку цена p уже выражена в тысячах рублей, мы можем записать это условие в виде неравенства:

100p − 10p2 ≥ 240.

Переносим всё вправо и делим на 10:      p2 − 10p + 24 ≤ 0.

Для схематичного построения параболы находим корни уравнения p2 − 10p + 24 = 0. Они равны 4 и 6. Остаётся сделать рисунок.

Решением нашего неравенства служит отрезок [4; 6]. Нас просили найти наибольшее p. Оно равно 6.

Ответ: 6.

2. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,6 + 8t − 5t2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее c момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров?

Итак, требуется, чтобы выполнялось неравенство h(t) ≥ 3. Подставляем сюда выражение для h:

1,6 + 8t − 5t2 ≥ 3.

Собираем всё справа:

5t2 − 8t + 1,4 ≤ 0.

Корни соответствующего уравнения 5t2 −8t+1,4 = 0 равны t1 = 0,2 и t2 = 1,4. Как дальше действовать — мы знаем.

Таким образом, через t1 = 0,2 секунды после начала полёта мяч оказался на высоте 3 метра. Мяч продолжал лететь вверх, высота увеличивалась; затем началось снижение, высота уменьшалась, и в момент времени t = 1,4 секунды снова стала равна трём метрам над землей.

Получается, что мяч находился на высоте не менее трёх метров в течение t2 − t1 = 1,2 секунд. В бланк ответов вписываем десятичную дробь 1,2.

3. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением T(t) = T0 + bt + at2, где t — время в минутах, T0 = 1400 К, a = −10 К/мин, b = 200 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Согласно условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:

T(t) = 1400 + 200t − 10t2.

В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство T ≤ 1760, или

1400 + 200t − 10t2 ≤ 1760.

Переносим всё вправо и делим на 10:

t2 − 20t + 36 ≥ 0.

Находим t1 = 2, t2 = 18 и делаем рисунок:

Получаем решения нашего неравенства:

Остаётся понять: в какой же момент отключать прибор? Для этого надо представить физическую картину процесса.

Мы включаем прибор в момент времени t = 0. Температура нагревателя повышается и при t = 2 мин достигает 1760 К. Затем повышение температуры продолжается, в результате чего прибор может испортиться. Поэтому ясно, что отключать его надо при t = 2.

А что же решения t ≥ 18? Они не имеют физического смысла. Войдя в зону температур T > 1760, прибор испортится, и формула T(t) = 1400+200t−10t2, справедливая для исправного прибора, перестанет адекватно отражать реальность.

Поэтому в бланк ответов вписываем число 2.

6) Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.

На доске представляют свои решения

7) Рефлексия (подведение итогов занятия).

 «Тяжела ты, шапка Мономаха!»

«Повторение-мать учения»

 «Учась, узнаешь, как мало ты знаешь.»

 «Если за день ничему не научился и не открыл нового-зря его прожил...»

Задания для групповой работы

1. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением T(t) = T0 + b∙t + a∙t2, где t - время в минутах, T0 = 1400 К, a = −10 К/мин, b = 200 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

2. Зависимость объёма спроса q (тыс. руб.) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) заедается формулой q = 100 − 10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q·p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

3. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,6 + 8t − 5t2, где h - высота в метрах, t- время в секундах, прошедшее c момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров?