Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя школа № 48 Ворошиловского района Волгограда»

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ
СЛОЖНЫХ НЕРАВЕНСТВ НА ЕГЭ

Волгоград, 2025

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

В задачах № 15 из ЕГЭ по математике часто требуется решить систему неравенств, которая содержит логарифмические или показательные неравенства с переменными основаниями.

На уроках математики решение таких неравенств занимает очень много времени. Перед нами стал вопрос: как сократить время на решение таких неравенств, используя другие, более рациональные способы решения — в этом актуальность работы.

Проблема нашей работы в том, что решение таких неравенств, с использованием свойств логарифмических или показательных функций, является трудоемким действием.

Цель работы заключается в исследовании способов решения неравенств методом рационализации и создание памятки по решению неравенств методом рационализации.

Задачи исследования:

1.  изучить метод рационализации, который используется при решении неравенств;
2.  научиться решать показательные неравенства методом рационализации;
3.  научиться решать логарифмические неравенства методом рационализации;
4. научиться решать неравенства, содержащие модуль, методом рационализации;
5. создать памятку по применению метода рационализации для учеников 10-11-х классов;

Гипотеза работы в том, что метод рационализации значительно упрощает решение неравенств.

Объектами исследования являются показательные, логарифмические неравенства и неравенства, содержащие модуль.

Предметом исследования является метод рационализации.

Методы исследования:

1. Изучение (изучение литературных источников)
2. Анализ (анализ методов решения неравенств)
3. Обобщение (объединение информации для создания памятки)

ПЛАН РАБОТЫ

Глава 1. Метод рационализации

1.1 Метод рационализации в неравенствах

1.2 Метод рационализации в логарифмических неравенствах

1.3 Метод рационализации в показательных неравенствах

1.4 Метод рационализации в неравенствах, содержащих модуль

Глава 2. Применение метода рационализации в решении задания № 15

ГЛАВА 1. МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ

1.1 Метод рационализации в неравенствах

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при котором неравенство G(x) ᴠ 0 равносильно неравенству F(x) ᴠ 0 в области определения выражения F(x).

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где f, g, h, p, k – выражения с переменной x (h>0; h≠1; f>0; g>0), a – фиксированное число (а>0; a≠1).

Таблица замен выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G^[1]

 Из данных выражений можно вывести некоторые следствия (с учетом области определения):

                                         0 ⬄ 0

В указанных равносильных переходах символ ^ заменяет один из знаков неравенств: >, <, ≤, ≥

Доказательства полученных выражений

1. Пусть , т.е. , причем a>0; a≠1; f>0; k>0 (*)

Если 0

откуда следует неравенство (, верное на области определения выражения .

Если a>1, то f>k. Следовательно, имеет место неравенство .

Обратно, если выполняется неравенство  на области (*), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств

                   и                  

Из каждой системы следует неравенство

 >0.

Аналогично рассматриваются неравенства вида F<0, F≥0, F≤0.

1. Пусть

Заменим

Если 0<а<1, то по свойству убывающей логарифмической функции – f

Откуда следует неравенство

Если а>1, то f>. Следовательно, .

б) Пусть

Заменим данное неравенство на .

Если 0<а<1, то a-1<0, f-1<0. Отсюда следует неравенство

Если а>1, то a-1>0, f-1>0, откуда следует то же неравенство.

2. Пусть некоторое число а>0, a≠1, тогда

=

Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения

А) Пусть некоторое число а>0, a≠1, тогда

= или 

Б) = или

3. Так  как
   ,

То, используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения  

4. Из неравенства  следует . Пусть число а>1, тогда

. Отсюда с учетом замены 1б и условия а>1 получаем

Аналогично доказываются неравенства F<0, F≤0, F≥0.

1. . Пусть некоторое число а>1, тогда . Откуда следует, что

Применив замену 1б, получаем ,

5. Дано неравенство Пусть а>1, тогда

Используя замену 1, получаем  

Аналогично доказываются неравенства F<0, F≤0, F≥0.

6. Так как неравенство , то

1.2 Метод рационализации в логарифмических неравенствах
Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма.

Оно является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем.
Надо рассмотреть два случая:

Недостатком данного метода является необходимость решения совокупности, состоящей из шести неравенств. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени.

Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий способ решения этого стандартного неравенства. А именно, метод рационализации:

Рассмотрим решение неравенства данного вида двумя способами. Рассмотрим пример решения логарифмического неравенства двумя методами

1. Стандартный метод:

О.Д.З.                                                     

a)                                                    b)

Ответ:

2. Метод рационализации:

Ответ:

На примере решения данного простого неравенства мы убедились, что целесообразнее использовать метод рационализации.

Рассмотрим применение этого метода на примере нескольких неравенств.

                                    3)  -2

Ответ:  

Можно использовать метод рационализации и при численных значениях основания. При этом ошибка, которая может появится без учета возрастанияили убывания функции, исключена.

                                                  2)

                                                          (-1; 5)

        Ответ: (-1;1) U (3;5)

Ответ: (-4;-3) U (-3;-1) U [3;+)

Пример. Решить неравенство

.

Решение. Воспользуемся формулой перехода получим следующую систему неравенств:

Решая первые четыре неравенства, практически находим ОДЗ исходного неравенства:

Откуда: .

Решим теперь пятое неравенство системы. После элементарных преобразований получим неравенство:

Умножим второй сомножитель на -1 и поменяем знак неравенства:

Нетрудно заметить, что корнями второго множителя в этом неравенстве являются числа 1 и -2. Поэтому, раскладывая второй множитель на одночлены первого порядка, получаем:

.

Это неравенство легко решить методом интервалов: .

С учетом найденного ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ:  .

1.3 Метод рационализации в показательных неравенствах.

Теперь рассмотрим показательное неравенство вида

                (3)

Так же, как в предыдущем пункте,  – некоторые функции.

И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям. В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства обращается), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется).

Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.

Показательное неравенство

равносильно следующей системе неравенств:

Пример. Решить неравенство

.

Решение. Составим систему неравенств, аналогичную системе (4) из теоремы 2:

1) Если . Следовательно,

2)

Решив два первых неравенства, найдем ОДЗ исходного показательного неравенства:

Откуда ОДЗ: .

Далее рассмотрим основное неравенство , которое упрощается к виду: .

Корни первого множителя этого неравенства мы нашли ранее: . Корни второго множителя равны: , , .

Теперь перед нами встала нетривиальная задача упорядочения корней. Так как , то . Применив метод интервалов, получим следующее решение основного неравенства: .

Учитывая 1 и 2 пункты, получаем окончательный ответ:

Ответ: .

1.4 Метод рационализации в неравенствах, содержащих модуль

Пример №1. Решить неравенство

По формуле |f(x)| - |g(x)| ⬄ (f(x))2 – (g(x))2

Решаем неравенство методом интервалов, получаем

Ответ: (-∞; -2), [ -1; 1], (2; 4).

Пример №2.  Решить неравенство

Применяем формулу |f(x)| - |g(x)| ⬄ (f(x))2 – (g(x))2 дважды:

Решаем методом интервалов, получаем:

Ответ: (-∞; -3/2), (-1/2; 0), (0; 1], [2; +∞), {0}.

Пример № 3.  Решить неравенство

ОДЗ:    x2 + 2x – 3 > 0        x ≠ - 1 ±

           x2 + 2x – 3 ≠ 1  

                     x  - 2,  x > 1

По формуле logaf – 1 = (a-1)(f-a)

Преобразуем модули по формуле |f| - |g| = f2 – g2

x = - 1 ± , x = 1, x = -17/7

Решаем методом интервалов и объединяем с ОДЗ

Ответ: (-∞; -1 - ), (-17/7; -2), (-1 + ; + ∞).

x2= |x|2

По формуле |f(x)| - |g(x)| ⬄ (f(x))2 – (g(x))2

Решаем неравенство методом интервалов, получаем:

Ответ: (-∞; ), (; 1), (1; ), [; 2], [10; +∞)

ОДЗ:

        [  ;   ]

Решаем неравенство методом интервалов, получаем:

Ответ: [-2; 0,5), (;  ].

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАЦИОНАЛИЗАЦИИ В РЕШЕНИИ ЗАДАНИЯ № 15

В данной главе приведены конкретные примеры решения методом рационализации.

Пример 1. Решить неравенство      

Запишем неравенство в виде  и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации:

   ⇔       

Решением последней системы является (−1,5; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 3).

Ответ: (−1,5; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 3).

Пример 2. Решить неравенство

Запишем неравенство в виде

и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации:

    ⇔ 

Ответ: (−0,5; 0] ∪ [1; 4).

Пример 3. Решить неравенство

Перепишем неравенство в виде , и используя формулу 4а получаем , решением которого является (−∞; −0,5) ∪ (1; +∞).

Ответ: (−∞; −0,5) ∪ (1; +∞).

Пример 4. Решить систему неравенств:

1)

С учетом ограничений на x решения первого неравенства [2;6).

2)

Найдем общее решение обоих неравенств:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе данного исследования, мы изучили такой способ решения логарифмических неравенств, как метод рационализации. На основе полученных результатов мы сделали вывод, что выбор метода зависит от вида неравенства. Как метод рационализации, так и стандартные методы неравенств имеют свои плюсы и минусы. Но мы убедились в том, что на решение неравенства методом рационализации затрачивается меньше времени, а это означает, что наши предположения оказались верны, и данный метод, действительно, позволит нам сэкономить время на экзамене.

Также, с целью ознакомления 10-11-х классов с методом рационализации, мы создали памятку для своих одноклассников. В ней представлена теория, пример решения и предложены задания для самостоятельного решения.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Моденов, В. П. Пособие по математике [Текст] / В.П. Моденов; под ред. Б.И. Александрова. – Москва: Изд-во Моск. ун-та, 1977. – 480 с.
2. Ткачук, В.В. Математика абитуриенту [Текст] / Ткачук В.В. – Москва: МЦНО, 2007. – 976 с.
3. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Методы решения неравенств с одной переменной [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://alexlarin.net/ege/2011/C3-2011.pdf (дата обращения: 11.02.2025).
4. Образовательный портал для подготовки к экзаменам РЕШУ ЕГЭ Математика профильного уровня [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://math-ege.sdamgia.ru/?redir (дата обращения: 17.02.2025).
5. Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РОСОБРНАДЗОР [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.obrnadzor.gov.ru/ (дата обращения: 21.01.2025).
6. Сайт Александра Ларина [Электронный ресурс]. – Режим доступа:  http://alexlarin.net/ (дата обращения: 08.02.2025).