Урок математики в 9 классе "Решение прикладных задач"
методическая разработка по алгебре (9 класс)

Ход урока

(Включается музыка, которая настраивает учащихся на военную тему)

Вхождение в тему урока.

#1050;акие ассоциации у вас возникают после прослушивания фрагмента песни О. Газманова «Вперед Россия»?

2. Ребята, кого из великих людей, изображенных на экране вы знаете? Что их объединяет?

Имя величайшего математика современности Григория Яковлевича Перельмана полтора десятка лет назад прогремело по всему миру. Он смог сделать то, что не удавалось учёным больше столетия — доказать гипотезу Пуанкаре. Это одна из самых сложных математических головоломок за всю историю науки. Родился 13 июня 1966 года

Чуть позже Перельман поразил человечество тем, что отверг самую престижную награду в области математики — медаль Филдса и полагающуюся за такое научное достижение денежную премию в миллион долларов! Медаль Филдса (официальное название — «Международная медаль за выдающиеся открытия в математике») — международная премия и медаль, которые вручаются один раз в четыре года на каждом международном математическом конгрессе двум, трём или четырём молодым математикам не старше 40 лет (или достигшим 40-летия в год вручения премии). Премия и медаль названы в честь канадского математика Джона Чарльза Филдса.

Альберт Эйнштейн – физик-теоретик, в 1921 году получил Нобелевскую премию в области физики. Написал свыше трехсот научных работ по физике и почти две сотни книг на исторические и философские темы. 14 марта 1879 – 18 апреля 1955 гг.годы жизни

Имя Альберта Эйнштейна известно каждому человеку на земле, даже если физика не является его любимым предметом или родом занятий. Созданную им теорию относительности проходят в школе, а вот о многих других открытиях в мире физики можно узнать из специальной литературы. Он находится на третьем месте в рейтинге сотни великих евреев, причем впереди него только Моисей и Иисус. Для многих Эйнштейн – идол эпохи, человек столетия, заслуживающий сравнения с Ньютоном и Максвеллом. Но есть и другие, которые видят в нем мошенника и разрекламированного плагиатора, присвоившего себе разработки других ученых, и на их основе создавшего свою знаменитую теорию.

Дмитрий Иванович Менделеев (1834–1907) — российский химик, учёный-энциклопедист, педагог и общественный деятель.

В 1869 году открыл периодический закон химических элементов — один из основных законов естествознания. На его основе создал периодическую систему химических элементов.

Учёный опубликовал свыше 500 печатных трудов, среди которых фундаментальные работы по общей, органической и физической химии, химической технологии, физике, метрологии, воздухоплаванию, метеорологии, сельскому хозяйству, экономике, народному просвещению и другим наукам.

Менделееву принадлежит ряд важнейших работ в области метрологии. Под его руководством в 1893–1898 годах были обновлены эталоны фунта и аршина, произведено сравнение русских мер с английскими и метрическими. По настоянию Менделеева с 1899 года в России была факультативно допущена метрическая система мер.

Дмитрий Иванович скончался 20 января 1907 года в Санкт-Петербурге от воспаления лёгких

#1044;ети, обратите внимание на пятый элемент предложенной цепочки. Что изображено на данном снимке?

Снимок Евгения Халдея «Знамя Победы над Рейхстагом» в Советском Союзе стал символом победы над фашистской Германией. Однако мало кто помнит, что на самом деле фотография была постановочной — автор сделал снимок лишь на следующий день после реального водружения флага.

#1061;орошо. Ребята, о чем говорят следующие изображения и каким образом все представленное на экране имеет отношение к нашему уроку?

Правильно! Сегодня на уроке мы будем решать прикладные задачи, методы и приемы, решения которых пригодятся нам на итоговой аттестации. Сегодняшний урок посвящен ученым военного времени, тем, кто своим умом, своими знаниями приближал эту Победу, взяв в руки не оружие, а ручку и карандаш.

Итак, давайте сегодня на уроке мы с вами ещё раз продемонстрируем практическую сторону математики.

I. Этап. Работа в группах. Разминка

Задание#1056;азминка.

1 вариант
Решив уравнения, составьте дату
а) Число б) Месяц в) Год
7х-5=39+5х

х·(х-6)=0

0,1х-638=1303-0,9х
Ответ:
2 вариант
Решив уравнения, составьте дату
а) Число б) Месяц в) Год
5-4х=23-6х

х· (2х-10)=0

7,5х-2000=6,5х-55
Ответ:
-Что означают эти даты?

III. Решение задач. Основной этап

Загадка

С врагом Егорка —

Скороговоркой

Поговорил —

И страх внушил.

Просто хват

Говорливый … (Автомат)

Задача 1

Цех изготавливает каждый день на 2 автомата больше, чем в

предыдущий. В течение 5 дней цех изготовил 75 автоматов. Сколько автоматов изготовил цех в 1-й и 5-й дни работы?

1 способ

Давайте обозначим количество автоматов, изготовленных в 1-й день, как x.

Тогда количество автоматов, изготовленных в последующие дни, будет:

1-й день: x

2-й день: x+2

3-й день: x+4

4-й день: x+6

5-й день: x+8

Теперь мы можем записать уравнение для общего количества автоматов, изготовленных за 5 дней:

x+(x+2)+(x+4)+(x+6)+(x+8)=75

Упростим уравнение:

5x+(2+4+6+8)=75

Суммируем числа в скобках:

5x+20=75

Теперь вычтем 20 из обеих сторон:

5x=55

Разделим обе стороны на 5:

x=11

Теперь мы знаем, что в 1-й день цех изготовил 11 автоматов.

Для нахождения количества автоматов, изготовленных в 5-й день:

x+8=11+8=19

Таким образом, цех изготовил:

В 1-й день: 11 автоматов

В 5-й день: 19 автоматов

2 способ

= ?

= ?

Найдем сумму пяти первых членов арифметической прогрессии по формуле

Имеем:

Ответ: в 1-й день: 11 автоматов, в 5-й день: 19 автоматов.

Загадка

Машина эта непростая,

Машина эта — боевая!

Как трактор, только с «хоботком» —

Всем «прикурить» даёт кругом. (Танк)

Задача 2

В первый день танковая колонна прошла 10 км. В следующий день колонна прошла 12,5 км. Так в последующие дни колонна проходила на 2,5 км больше. Поход длился 8 дней. Какое расстояние прошла колонна за поход?

Давайте вычислим общее расстояние, которое прошла танковая колонна за 8 дней.

Мы знаем, что в первый день колонна прошла 10 км, а во второй день — 12,5 км. В последующие дни расстояние увеличивалось на 2,5 км каждый день.

Таким образом, расстояние, пройденное колонной в каждый из дней, может быть описано следующим образом:

1-й день: 10 км

2-й день: 12,5 км

3-й день: 12,5+2,5=15 км

4-й день: 15+2,5=17,5 км

5-й день: 17,5+2,5=20 км

6-й день: 20+2,5=22,5 км

7-й день: 22,5+2,5=25 км

8-й день: 25+2,5=27,5 км

Теперь сложим расстояния за все 8 дней:

10+12,5+15+17,5+20+22,5+25+27,5

Теперь посчитаем:

10+12,5=22,5

22,5+15=37,5

37,5+17,5=55

55+20=75

75+22,5=97,5

97,5+25=122,5

122,5+27,5=150

Таким образом, танковая колонна прошла 150 км за весь поход!

2 способ

Дано:

d = 2,5

n = 8

Найти:

Решение:

Ответ:150 км

Загадка

Будоражит глубину —

Бережёт свою страну.

Бороздит пучины ходко

По заданию … (Подлодка)

Задача 3

Подводная лодка за первую минуту погрузилась на глубину 125 метров. В последующие минуты она погружалась в 0,4 раза быстрее предыдущей минуты. Сколько минут лодка будет погружаться на глубину 206,2 метров?

Давайте найдем, сколько минут подводная лодка будет погружаться, чтобы достичь глубины 206,2 метра.

Первоначально подводная лодка погружается на 125 метров за первую минуту. Каждую последующую минуту она погружается на 0,4 раза быстрее, чем в предыдущую минуту.

Расстояние, на которое она погружается в каждую минуту, можно выразить следующим образом:

1-я минута: d1​=125 метров

2-я минута: d2​=d1​⋅0,4=125⋅0,4=50 метров

3-я минута: d3​=d2​⋅0,4=50⋅0,4=20 метров

4-я минута: d4​=d3​⋅0,4=20⋅0,4=8 метров

5-я минута: d5​=d4​⋅0,4=8⋅0,4=3,2 метров

6-я минута: d6​=d5​⋅0,4=3,2⋅0,4=1,28 метров

7-я минута: d7​=d6​⋅0,4=1,28⋅0,4=0,512 метров

Теперь сложим расстояния, пока не достигнем общую глубину 206,2 метра:

Общая глубина на n-й минуте будет:

Sn​=d1​+d2​+d3​+...+dn​

Теперь будем суммировать:

После 1-й минуты: S1​=125

После 2-й минуты: S2​=125+50=175

После 3-й минуты: S3​=175+20=195

После 4-й минуты: S4​=195+8=203

После 5-й минуты: S5​=203+3,2=206,2

Таким образом, подводная лодка достигнет глубины 206,2 метра после 5 минут

2 способ

206,2 =

206,2 =

-123,72 =

-0,98976 =

0,01024 =

n = 5

Ответ: 5 минут

Следующую серию задач мы посвятим ученым химикам.

Сообщение ученицы: Многое сделали ученые химики для приближения Победы, например, содействовали развитию металлургической, машиностроительной и оборонной промышленности, создавали новые сплавы для брони, новые составы для зажигательных смесей, топливо для ракетных установок, новые медицинские и технические препараты, участвовали в поиске новых видов сырья. Большой вклад в разработку теории взрыва, химию и технологию получения пороха и взрывчатых веществ внесли физико-химики академик Николай Николаевич Семенов и академик Юлий Борисович Харитон. Работу по синтезу толуола выполнил академик Ю.Г. Мамедалиев в 1941 г.

Что такое толуол и для чего он был нужен?

Толуол – метилбензол. Его использовали для получения тротила. Тротил со щелочами образует соли, которые легко взрываются при механических воздействиях. Материал использовали для производства взрывчатых веществ, зарядов к разрывным снарядам, подводным минам, торпедам. Во время Второй мировой войны его было произведено около I млн. т.

Для чего использовали сталь в годы войны?

Сталь применялась для изготовления брони танков, пушек и др. Например, перед битвой на Курской дуге в 1943 году немцы стали выпускать новые типы бронированной техники – “Пантеры” и “Тигры”. Эти танки обычные снаряды пробивали с трудом или вообще не пробивали. За несколько месяцев до битвы нашим войскам удалось захватить несколько таких танков и установить, насколько прочна их броня. В одном из институтов решили эту задачу. Для увеличения твердости стали добавлять в нее вольфрам. Однако организовать в массовом масштабе выплавку вольфрамистой стали оказалось невозможной, промышленность не была к этому готова. Ученые придумали и стали изготовлять головки снарядов из металлического порошка с добавлением порошка вольфрама.

Какова роль алюминия?

Алюминий использовали для производства корпусов самолетов.

Какую роль играли медь, цинк?

Сплав меди и цинка получается латунь – хорошо обрабатывается давлением и имеет высокую вязкость. Использовался для изготовления гильз, патронов и артиллерийских снарядов, так как обладает хорошим сопротивлением ударным нагрузкам, создаваемым пороховыми газами.

Задача 1. Кусок латуни содержит цинка на 80 кг меньше, чем меди. Этот кусок латуни сплавили со 120 кг меди и получили латунь, в которой 75% меди. Определите массу (в кг.) первоначального куска латуни.

Решение:

1. Первоначально:

х кг.-цинка; (х+80)кг - меди

2. После того как сплавили и добавили 120 кг меди:

х кг цинка, (х+80 + 120)кг – меди (меди здесь 75%)

Первоначально – х+(х+80)=2х+80 – кг латуни.

После – 2х+80 + 120 = 2х+200 – кг латуни.

Т.к. меди 75%, то цинка 25%.

25%=0,25,

(2х+200)0,25=х

х=100

Значит, 100 кг - цинка, 100 + 80 = 180 (кг) – меди.

100+180=280 кг – первоначальный кусок латуни.

Задача 2.

Для снаряжения наших солдат на оружейных заводах производили патроны из пороха. А порох состоит из серы, селитры и угля.

Порох состоит из селитры, серы и угля. Масса селитры в 6,5 раза больше массы серы, а масса угля составляет 1/9 массы серы и селитры вместе. Сколько пойдет каждого из вещества на приготовление 25 кг пороха?

Обозначим массу серы как x.

Тогда, согласно условиям задачи, мы можем выразить массы других компонентов пороха через x:

Масса селитры: 6,5x (так как масса селитры в 6,5 раз больше массы серы).

Масса угля: 91​(x+6,5x)=91​(7,5x)=97,5x​.

Теперь мы можем записать уравнение для общего веса пороха (25 кг):

x+6,5x+97,5x​=25

Объединим все слагаемые:

7,5x+97,5x​=25

Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на 9:

9(7,5x)+7,5x=225

67,5x+7,5x=225

75x=225

Теперь разделим обе стороны на 75:

x=3

Теперь мы можем найти массы каждого из веществ:

Масса серы: x=3 кг.

Масса селитры: 6,5x=6,5⋅3=19,5 кг.

Масса угля: 97,5x​=97,5⋅3​=922,5​≈2,5 кг.

Таким образом, на приготовление 25 кг пороха потребуется:

Селитры: 19,5 кг

Серы: 3 кг

Угля: 2,5 кг

Математики, то есть ученые математики не оставались на стороне. Они внесли свой большой вклад в изобретение самолетов, кораблей, пулеметов, часть воевали, а часть трудились на заводах, выплавляли оружие, переправляли металлы, не килограммы, а тонны металла. Решая при этом не простые задачи.

Задача

Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали каждого сорта следует взять, чтобы получить после переплавки 140 тонн стали с содержанием никеля 30%?

Обозначим количество стали первого сорта (с содержанием никеля 5%) как x тонн, а количество стали второго сорта (с содержанием никеля 40%) как y тонн.

Согласно условию задачи, у нас есть два основных уравнения:

Общее количество стали: x+y=140

Общее содержание никеля: 0,05x+0,40y=0,30⋅140

Теперь решим второе уравнение:

0,05x+0,40y=42

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

x+y=140

0,05x+0,40y=42

Теперь выразим y из первого уравнения:

y=140−x

Подставим это значение во второе уравнение:

0,05x+0,40(140−x)=42

Раскроем скобки:

0,05x+56−0,40x=42

Соберем все x в одну сторону:

−0,35x+56=42

Вычтем 56 из обеих сторон:

−0,35x=−14

Теперь разделим обе стороны на -0,35:

x=0,3514​=40

Теперь подставим значение x в первое уравнение, чтобы найти y:

y=140−x=140−40=100

Таким образом, для получения 140 тонн стали с содержанием никеля 30% нужно взять:

40 тонн стали первого сорта (с содержанием никеля 5%)

100 тонн стали второго сорта (с содержанием никеля 40%)

Учитель: Следующая задача посвящается ученым физикам.

Сообщение ученика) Корабли

Было известно, что магнитные мины разрабатывались во многих странах, и, вероятно, находились в распоряжении военно-морских сил фашистской Германии. Задача по борьбе с магнитными минами была поставлена за несколько лет до начала войны в Ленинградском физико-техническом институте. Требовалось "размагнитить" корабли, чтобы ликвидировать усиленное ими магнитное поле.

К началу войны проблема была научно разрешена, и ее надо было перевести на технические рельсы, т. е. создать такие устройства на действующих кораблях советского флота. Это было очень быстро организовано. Все боевые корабли подвергались в портах "антимагнитной" обработке и выходили в море размагниченными. Тем самым были спасены многие тысячи жизней наших военных моряков. Понятно, что для такой работы потребовались знания физиков, хорошие физические лаборатории, что и предопределило ее успех.

Во время войны самыми подготовленными должны были быть разведчики, так как на них возлагалась большая ответственность. И не мало важную роль математические знания. Например, эскадра –боевое соединение кораблей.

Задача

Разведчик получил приказ произвести разведку впереди эскадры и вернуться через 3 часа. Через какое время после оставления эскадры разведывательный корабль должен повернуть назад, если его скорость 60 км/ч, а скорость эскадры 40 км/ч?

Давайте рассчитаем, через какое время разведывательный корабль должен повернуть назад.

Пусть разведчик поворачивает назад через t часов после выхода. Тогда за это время он пройдет расстояние:

S=60t

Эскадра за это время также будет двигаться, и пройдёт расстояние:

Sэскадры​=40t

После того, как разведчик развернется, он должен вернуться к эскадре за оставшееся время. Общее время на разведку составляет 3 часа, значит, время на возвращение будет равно 3−t часов.

Во время возвращения разведчик тоже будет двигаться со скоростью 60 км/ч, и он должен пройти то же расстояние S, которое прошла эскадра за это время:

Sвозврат​=60(3−t)

Теперь мы можем установить равенство между расстояниями:

60t+40t=60(3−t)

Сложим левую часть:

100t=180−60t

Теперь соберем все t в одну сторону:

100t+60t=180

160t=180

Теперь разделим обе стороны на 160:

t=160180​=1,125 часа

Теперь преобразуем это значение в минуты:

1,125 часа=1 час+0,125 часа=1 час+7,5 минут

Таким образом, разведывательный корабль должен повернуть назад через 1 час и 7,5 минут после оставления эскадры

Разведывательному кораблю (разведчику),

двигавшемуся в составе эскадры, дано задание обследовать район моря на 70 миль в направлении движения эскадры. Скорость эскадры - 35 миль в час, скорость разведчика - 70 миль в час. Определить, через сколько времени разведчик возвратится к эскадре.

Решение:

V1=35 миль/час

V2=70 миль/час

=1 (час) – время разведчика из А в В.

35 миль за этот час пройдет эскадра

70 миль – 35 миль = 35 миль

Из С в В идет эскадра а навстречу из В в С идет разведчик, между ними 35 км. Через сколько времени они встретятся?

t =

Ответ: через

Говорит пехота: Чистая работа!
Где ударит “Катя”, фрицу не пролезть.
Воевать охота – говорит пехота –
Раз у нас такая пушка есть!
Влево и направо, бьет врагов на славу.
Впереди – горячий бой.
Огненную лаву на врагов ораву
Сыплет “Катя” щедрою рукой.

Эти стихи написаны военврачом С.Семиным на фронте в июле 1942 г.

О каком оружии говорится в этих строках?

Оружие – “катюша” (показ рисунка с помощью медиапроектора). “Катюши” - реактивные артиллерийские установки, выпускающие реактивные снаряды. Впервые вступили в бой 14 июля 1941 г. в Белоруссии (под Оршей) под командой капитана Флерова. Созданию оружия предшествовала большая работа группы ученых и конструкторов

3адача 2: Окоп противника на расстоянии 1 км виден под углом 0,17 артиллерийских единиц (а.е.). Какова его длина?

Решение:

В артиллерии для измерения углов используется своя система. Круг делится на 60 а.е., т.е. 3600 = 60 а.е., 60 = 1 а.е.; 0,01 а.е. называется малой единицей. Поэтому угол обозначается так: 3-10 (3 большие единицы и 10 малых). Эту величину легко перевести в градусы:

3-10 это 3,10а.е., 3,10 • 60 = 18,60

Считая расстояние 1000 м и длину окопа L катетами прямоугольного треугольника, получим:

L = 1000 • tg a,

0,17 • 60 10 , tg 10 = 0,017

Тогда L = 1000 • 0,017 = 17 (м).

Рефлексия

- Достигнута цель урока?

- Какие трудности вы испытали?

- Сможете самостоятельно применить теоретические знания к решению прикладных задач?

- В каком разделе ГИА встречаются задачи практической направленности?

Итог урока

Наш урок хочу закончить следующими словами:

«Многими математическими знаниями люди пользовались ещё в глубокой древности – тысячи лет назад. Они были необходимы купцам и строителям, воинам и землемерам, жрецам и путешественникам.

И в наши дни ни одному человеку не обойтись в жизни без хорошего знания математики. Рабочий и моряк, инженер и полевод, лётчик и домашняя хозяйка выполняют различные вычисления».