Урок"Разложение квадратного трехчлена на множители"
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Конспект открытого урока

по алгебре в 8 классе

по теме «Разложение квадратного

трехчлена на множители»

Тема урока: Разложение  квадратного трехчлена на множители.

Цели урока:

•  Повторить понятие квадратного трёхчлена. Получить формулу разложения квадратного трёхчлена на множители, научить пользоваться данной формулой при решении упражнений.
• Развивать умение соотносить, распознавать, сопоставлять, анализировать данные, критически оценивать результаты поиска, умение производить исследования в простейших учебных ситуациях.  
• Воспитывать трудолюбие, познавательную активность, самостоятельность, усилить внимание развитию продуктивного мышления.

Тип урока: урок открытия новых знаний с использованием элементов исследовательской деятельности.

Формы работы учащихся: фронтальная, парная, индивидуальная.

Оборудование урока: Компьютер с проектором. Презентация.  Карточки для выполнения самостоятельной работы и  теста.

Учебник. Алгебра .8класс: учеб. Для учащихся общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И. Е. Феоктистов.- М,: Просвещение,2023.

Наиболее глубокий след оставляет то,

 что тебе удалось открыть самому.

 Д. Пойа

План урока.

I. Настроимся на урок!  

II.Повторение – мать учения!

III. Твори, выдумывай, пробуй!                                                                                                                          

IV. Применяй!

V. Проверьте себя!

 VI. Подведем черту.

Ход урока.

I. Настроимся на урок!  Здравствуйте, ребята! Я очень рада вас всех сегодня видеть, и надеюсь на совместную плодотворную работу. Я прошу вас быть активными и внимательными. Ни один вопрос на уроке не должен остаться без ответа. Сегодня мы будем повторять, исследовать и открывать новые знания. Девизом нашего урока будут слова известного швейцарского математика Д. Пойа «Наиболее глубокий след оставляет то, что тебе удалось открыть самому».  (2 слайд)

Откройте тетради, запишите число ,  классная работа.

II.Повторение – мать учения! Все, наверное, помнят эту поговорку. Математика не исключение, и чтобы хорошо усваивать её, надо постоянно повторять изученное.

А теперь проверим выполнение домашнего задания.

(Слайд 3) 1) На доске решить  задание, которое мы записывали с вами в тетради: в домашнем задании ученикам 8 класса было предложено найти корни квадратного трехчлена (х2 -5х +7)2 - 2(х2 -5х +7) – 3. Подумав, Коля рассудил так: сначала нужно раскрыть скобки, потом привести подобные слагаемые. Но Петя сказал, что есть более простой способ решения и раскрывать скобки вовсе необязательно. Помогите Коле найти рациональный способ решения. Прошу,  показать какой способ нашли вы. (1 ученик решает на доске). Обозначим х2 -5х +7 = у, получаем у2 – 2у - 3 = 0, Д1 = 4, у1,2 = -1; 3. Вернемся к переменной х. Получаем х2 -5х + 7 = -1 и х2 -5х +7 = 3. Первое  уравнение не имеет корней, второе уравнение имеет два корня х1,2 = 1; 4.

3) А сейчас я предлагаю вам  решить номер из открытого банка заданий ОГЭ -9. (Выполняет 1 учащийся на доске, остальные в тетрадях) (5 слайд)

Задание №3СС46Е.       Сократить дробь.  

(Ответ: х – 3)

Учитель. Итак, решая это задание, вы разложили числитель дроби на множители с помощью способа группировки. Какие вы еще знаете способы разложения многочленов на множители?

(Вынесение общего множителя за скобки, с помощью формул сокращенного умножения и способ группировки).

Мотивация к проведению исследования и постановка общей проблемы. Говорят, добывая знания, каждый человек может совершить невозможное. Проверим, верно ли это утверждение по отношению к нам, ведь сегодня вам придется открывать новые горизонты знаний. Итак, начнем.

1) Самостоятельная работа. Я предлагаю всем выполнить самостоятельно следующее задание. Работать можно в парах.   Внимание на экран. В это же время один из учащихся решает самостоятельно задание по карточке на доске и три человека на месте.    (6 слайд)                                                     Разложите на множители: а)  х2 – 5х; б) х2 -3; в) х2 – 16; г) х2 – 8 х +16;   д) 2аb -2b2 – а +b;                                        е) х2 – 7х +10.  (Самопроверка через ПК)  (7 слайд)        

Вопросы: Все ли многочлены смогли разложить на множители? Каким способом разложили на множители квадратные трехчлены?

2)  Работа у доски по карточке. Сократите дробь:  а); б) ;

в) Ответы:  а); б) 2 (х-3) = 2х - 6;

Вопросы: - Все ли дроби получилось сократить? Почему именно разложение этого квадратного трехчлена вызвало у вас затруднение?  (Нет общего множителя, нет формулы  сокращенного умножения, нельзя сгруппировать.). (8 слайд)

Учитель. Получается, что задача как бы знакомая нам, но знаний у нас ещё недостаточно для ее решения.

III.Твори, выдумывай, пробуй!     1. Постановка задачи исследования.

Учитель. (9 слайд) Я хочу привести вам слова известного швейцарского математика Пойа.               «Задача, которую вы решаете, может быть очень скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности, и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы».      

 Итак, вызов вашей любознательности сделан. Необходимо сократить дробь. Можем ли мы,  насладиться радостью победы и выполнить данное задание? (проблемная ситуация).- Как решить эту проблему?

Ответы учащихся: может, есть еще какой-нибудь способ, который мы пока не знаем.  

Учитель.  Итак, мы должны знать новый способ разложения квадратного трехчлена на множители.  Попробуем сформулировать тему нашего урока и  цель урока, исходя из возникшей проблемы. Запишите в тетрадь тему урока «Разложение квадратного трехчлена на множители».

2.Сбор информации и создание базы полученных результатов. Вернемся к заданиям, которые мы выполняли.  Проведем небольшое исследование, касающееся квадратных трехчленов, и результаты запишем в таблицу.                                                                                                                                                         План исследования.

1) В 1 столбик запишите квадратные трехчлены, которые вы смогли разложить на множители.               2) Во 2 столбик запишите множители, на которые вы смогли разложить квадратные трехчлены.                3) Установите связь чисел, полученных в разложении с квадратными трехчленами,  и запишите  числа в 3 столбик.                                                                                                                                                       4) В 4 столбик запишите значение дискриминанта и сравните его с нулем.       (10 слайд)

Итоги исследовательской деятельности. Выводы записать в тетрадь. Если х1, х2корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c, то ах2 + bx + c = а (х – х1)(х – х2).   (12 слайд)

Физминутка

 Мы дружно трудились,

 Немного устали.

 Быстро, все сразу

 За партами встали.

 Руки поднимем,

 Потом разведем

 И очень глубоко

 Всей грудью вдохнем

Отвели свой взгляд направо,

Отвели свой взгляд налево,

Оглядели потолок,

 И продолжим наш урок.

3) Проверка гипотезы: доказательство теоремы.

Итак, проведя небольшое исследование, мы получили формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Попробуем доказать, что мы правы. (Выступление учащихся с различными способами доказательства, которые они приготовили). А теперь откройте учебники на стр. 208 и найдите данную теорему.

 4) Формулирование выводов. Доказанная теорема позволяет, найдя корни квадратного трехчлена, записать его в виде произведения первого коэффициента, разности переменной и одного корня и разности переменной и другого корня. Попробуем сформулировать алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители.     Алгоритм (Слайд 13)                                                                          .                                                                                                                    Замечание. Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его разложить на множители нельзя.

  5) Демонстрация применения результатов исследования.

Вернемся теперь к нашему примеру. Сократите дробь:  .

6х2 – х - 2 = 0,  Д = 4, х1 =   -  1/2, х2 = 2/3.   Значит,   получаем . Опять проблема: нет общего множителя. Как быть?  (Обсуждение в группах, ответы учащихся).

Получаем:                                                                                                                                                            Вывод. Иногда удобно старший коэффициент вносить множителем в одну из скобок, в которой находится дробный корень или старший коэффициент раскладывать на два множителя и вносить один в одну скобку, второй в другую скобку.      

IV. Применяй!  . Учитель. Значит, теперь мы можем раскладывать квадратный трехчлен на множители, применяя теорему о разложении на множители.  

Выполним № 755(а) (1 учащийся на доске, все в тетрадях)

-2х2 +5х + 18 = -2 (х -9/2)(х +2) = (9 - 2х) (х + 2).

Совместное решение привело к верному результату. Теперь разложите квадратный трехчлен по этому алгоритму,  работая в паре. Правила работы в паре: ученик, сидящий на 1 варианте, раскладывает 1 трехчлен с карточки, проговаривая шепотом  алгоритм решения, а сосед контролирует его работу. Затем меняетесь ролями. Решение оформите в тетради.   Для проверки 2 человека работают на обратной стороне доски.

        Разложите на множители:

1 вариант.  2х2 -3х -5 = (2х -5)(х +1).      

 2 вариант. 5у2 – 2у - 3 = (5у +3) (у – 1)

Поднимите руки те, кто решил правильно. Молодцы! А кто нашел корни уравнения по – другому?

Ответ. По свойству коэффициентов.

1)  Если  а + b +с = 0, то х₁ = 1; х₂ = с/а

 2) Если  а + с = b, то х₁ = -1; х₂ = - с/а 

V. Проверьте себя! Итак, мы выполняли с вами задания вместе, затем вы решали, помогая друг другу, теперь настало время попробовать свои силы в одиночку.

Учащиеся выполняют тест.1 вариант  группа учащихся выполняет на ПК в  программе MyTestX   для подготовки и проведения компьютерного тестирования знаний. Автор: Башлаков А.С.

Тест

 Вариант 1. 1. Какой квадратный трехчлен нельзя разложить на множители?                          1.   x 2 – 8x+ 7;

   2. x 2 – 8x+16;

  3. x 2 – 8x+ 9;

 4. x2 – 8x+17.

2.Какой многочлен надо подставить вместо многоточия, чтобы было равенство:  

2x2 – 9x – 5 = 2(x – 5)(…)?

 1. х +2;   2. х +0,5;  3. х -1/2;    4. х-2.

 3.Сократите дробь:    

                               1. x – 3;

2.  x + 3;

3. x – 4;

4. другой ответ.

2 вариант.   Сдают тетради на проверку.

1. Какой квадратный трехчлен нельзя разложить на множители?

1. 5x 2 + x+ 1;
2. ⅓x 2 –8x+ 2;
3. 0,1x 2 +3x - 5;
4. x2 +4x+ 5

2. Какой многочлен надо подставить вместо многоточия, чтобы было равенство:  

2x2 + 5x – 3 = 2(x + 3)(…)?

Ответ:_________ .

 3.    Сократите дробь:

5. 3x2 – 6x – 15;
6. 0,25(3x - 1);
7. 0,25(x - 1);
8. другой ответ.

VI. Подведем черту. (Слайд 14)

Итог урока подводят учащиеся: что узнали нового? Достигли ли вы поставленной цели? Учитель оценивает работу учащихся.

Информация о домашнем задании. (Слайд 15).Учить п.33. Решать № 755(г, д), 760(в),764(б). Составить кроссворд  на тему «Разложение квадратного трехчлена на множители».

Рефлексия. (Слайд 16).

Оцени свои успехи на уроке, поставив «галочки» рядом с верными по отношению

 к тебе высказываниями.