Метод интервалов в ОГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс)

Слайд 1

Метод интервалов в ОГЭ учитель математики высшей категории Бамбышева С.Б. Общеобразовательное частное учреждение «Образовательный центр им. С.Н.Олехника »

Слайд 2

неравенств линейное квадратное рациональное kx+b ꓦ 0 a + bx + c ꓦ 0 ꓦ 0 При решении удобно решать методом интервалов неравенств используются свойства неравенств ꓦ > ,< , ≥, ≤

Слайд 3

Линейная функция Рассмотрим линейную функцию f(x) = x- 2 f(x) > 0 при х > 2 f(x) ff f(x) < 0 при х < 2 f(x) fff f(x) = 0 при х = 2 функция f(x) = x-2 меняет знак с знак с минуса на плюс при перехо переходе через точку х = 2 выражение x − x₀ при переходе через точку x₀ меняет знак с минуса на плюс. Этот факт лежит в основе метода интервалов Число х₀ называется нулем функции

Слайд 4

Квадратичная функция Рассмотрим квадратичную функцию f(x) = a + bx + c . Нули функции f(x) = a + bx + c являются корнями квадратного уравнения a + bx + c = 0 a + bx + c = a(x − )(x − ) – разложение квадратного трехчлена, где и - корни квадратного уравнения . Пусть дана функция y = + 2x − 3 . На каких промежутках эта функция принимает положительные значения, а на каких — отрицательные? Решим квадратное уравнение + 2x − 3 = 0 и получим , что = -3, = 1.Тогда + 2x − 3 = (х +3)(х-1) и значит f(x) = (х +3)(х-1) Нули -3 и 1 разбивают числовую ось на 3 промежутка х -3 1

Слайд 5

f(x) = (х +3)(х-1) Определим знак выражения (х +3)(х-1) на каждом из этих промежутков. Если x > 1, то оба множителя положительны, так что получается знак плюс: х -3 1 Если −3 < x < 1, то первый множитель в (х +3)(х-1) также положителен, а второй становится отрицательным. Знак произведения — минус: х -3 1 если x < −3, то оба множителя в (х +3)(х-1) отрицательны. Знак произведения — плюс х -3 1

Слайд 6

f(x) = (х +3)(х-1) -3 1 х Мы применили здесь метод интервалов. Данный метод заключается в последовательном определении знака произведения по знакам сомножителей на различных промежутках. Графическая интерпретация картины знаков, полученной на этом рисунке: графиком нашей функции y = + 2x − 3 служит парабола, пересекающая ось X в точках −3 и 1. Ветви параболы направлены вверх y = + 2x − 3 -3 1 х На интервалах x < −3 и x > 1 парабола идёт выше оси X; там y > 0 и стоит знак плюс. На интервале −3 < x < 1 парабола идёт ниже оси X; там y < 0 и стоит знак минус

Слайд 7

Квадратные неравенства Квадратные неравенства можно решить двумя способами — методом интервалов и графически (с помощью параболы). При этом нули функции изображаем выколотыми точками, если неравенство строгое и закрашенными, если неравенство нестрогое. Пример 1 Решить неравенство 8+2х- ≥ 0 Решение Возьмём за правило: если перед старшей степенью x стоит минус, то меняем знаки, умножая неравенство на −1. Получим: -2х-8 ≤ 0. Раскладываем левую часть на множители (х-4)(х+2)≤0 Нули: 4 и -2 х -2 4 Ответ: [-2;4]

Слайд 8

Пример 2 Решить неравенство - 4х +4 >0 Решение В левой части стоит полный квадрат: - 4х +4 = Значит > 0 Нули: 2 х 2 Ответ: (-∞;2) ᴜ (2;+∞) выражение не меняет знак при переходе через точку Графически это выглядит это так: у = х 2 вершина параболы y = расположена на оси X в точке x = 2. Парабола касается оси X в этой точке, а при всех остальных значениях x идёт выше оси X (то есть в области y > 0). Точка 2 выколота, так как неравенство строгое.

Слайд 9

Пример 3 Решить неравенство + 2х +3 >0 Решение Дискриминант квадратного трёхчлена + 2x + 3 отрицателен. Это означает, что уравнение + 2x + 3 = 0 не имеет корней. Как же тогда решать исходное неравенство? Выделим в нашем квадратном трёхчлене полный квадрат: + 2x + 3 = ( + 2x + 1) + 2 = + 2 Таким образом + 2>0 х Ответ: (-∞;+∞) Графически это выглядит так: х + 2x + 3 = 0 не имеет корней, парабола y = + 2x + 3 не пересекает ось X. Ветви параболы при этом направлены вверх — значит, парабола расположена целиком выше оси X . Значит, функция f(x) = + 2x + 3 принимает только положительные значения.

Слайд 10

Рациональные неравенства Рациональное неравенство — неравенство, левая и правая части которого являются дробно-рациональными функциями. Дробно-рациональная функция — это отношение двух многочленов. Например: f(x)= ; f(x)= Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Рациональное неравенство — это неравенство вида f(x)≤ 0 (*), где f(x ) – рациональная функция, а вместо знака может стоять любой другой знак неравенства. Если неравенство имеет вид f(x)≤ g(x) , где f(x) и g(x) – рациональные функции, то мы приводим его к виду (*). Для этого переносим g(x) влево: f(x) - g(x) ≤ 0. После приведения дробей к общему знаменателю слева получается рациональная функция. Пример 1 Решить неравенство : ≤ 0 ОДЗ: х=3 Решение Нули: -1 и 3 х -1 3 Ответ: [-1;3)

Слайд 11

Пример 2 Решить неравенство ≥ 0 Решение Умножим знаменатель на -1. Получим ≤ 0 Разложим числитель и знаменатель дроби: ≤ 0 ОДЗ: х=3, х=-2 Нули: -3; 1; -2; 3 х -3 -2 1 3 Ответ: [-3;-2) ᴜ [ 1:3)

Слайд 12

Пример 3 Решить неравенство < 2 Решение Эквивалентными преобразованиями приведем неравенство к нужному виду. -2 < 0; < 0; < 0 *(-1); > 0 Нули: 11; 4 ОДЗ: х = 4 4 11 Ответ: (-∞;4) ᴜ (11;+∞)

Слайд 13

Пример 4 Решить неравенство ≥ 0 Решение Преобразуем левую часть: ≥ 0 ≥ 0 ОДЗ: х=2, х=-2 Нули: 0; 1; 2; -2 х -2 0 1 2 Ответ: (-2;0] ᴜ {1} ᴜ (2;+∞ ) любая закрашенная точка является решением неравенства. при расстановке знаков удобно пользоваться следующим правилом: • если линейный множитель x− стоит в нечётной степени, то при переходе через точку знак меняется; • если линейный множитель x − стоит в чётной степени, то при переходе через точку знак не меняется

Слайд 14

1 часть Пример 1 Укажите решение неравенства Нули неравенства -2 и 8. -2 8 Ответ:1 Примеры из открытого банка ФИПИ

Слайд 15

Укажите решение неравенства Пример 2 (-∞; +∞) (-∞; -6) ᴜ (6;+∞) (-6;6) нет решений Решение Разложим левую часть неравенства (х-6)(х+6)>0 Нули: -6 и 6 -6 6 Ответ: 2 -36 > 0

Слайд 16

Пример 3 Укажите решение неравенства 81 > 64 3) 2) 4) 81 > 64 81 - 64 > 0 - (9х – 8)(9х+8) >0 Нули : - ; - Ответ:1

Слайд 17

Пример 4 (0;1) (0; +∞) (1; +∞) (-∞;0) ᴜ (1; +∞) Решение Разложим левую часть неравенства Х(1-Х)<0. Приведем каждый множитель к виду (Х- ): -(Х-0)(Х-1)<0 (Х-0)(Х-1)>0 Нули: 0 и 1 0 1 Ответ: 4 Укажите решение неравенства

Слайд 18

2 часть Пример 1 Решите неравенство ≥ 0 Решение Так как числитель отрицательный, а дробь должна быть неотрицательной, то знаменатель должен быть тоже отрицательный. Т.е. -5 < 0. Найдем нули: -5 =0; -6х+9-5=0; -6х+4=0 = 3+√5 ; = 3- √5 5 =( х - (3+√5) )( х - (3- √5) ) 3-√5 3+√5 Ответ: ( 3-√5; 3+√5)

Слайд 19

Пример 2 Решите неравенство < √11(х-7) Решение - √11(х-7 ) < 0 (х-7)((х-7 - √11) < 0 ( х-7 )( (х-(7 + √11) ) < 0 Нули: 7; 7 + √11 7 7 + √11 Ответ: (7; 7+√ 11)

Слайд 20

Пример 3 Решите неравенство < Решение - < 0 *12 4 -9х – 9 < 0 4(х- 3)(х+0,75) < 0 Нули: 3; -0,75 -0,75 3 Ответ: (- 0,75; 3)

Слайд 21

Выводы Метод интервалов позволяет упростить решение любого неравенства, а также экономит время, которое ограничено на экзамене. Чтобы решить неравенство с помощью метода интервалов необходимо найти нули функции, расставить их на числовой прямой, а после определить знак каждого полученного интервала. Нули функции на прямой обозначаются точками , при этом закрашенные точки включают граничные значения в итоговый промежуток, а незакрашенные, напротив, исключают их из промежутка. Для определения знака на каждом интервале необходимо подставить любое значение из этого интервала в функцию. Для упрощения расстановки знаков можно пользоваться правилами чередования , определив знак только на одном интервале, а дальше менять знаки на каждом следующем. При этом если корень встречается в функции нечетное количество раз, то знак при переходе через эту точку на следующий интервал меняется, а если корень встречается четное количество раз, то знак на следующем интервале не меняется.