Урок по теме "Решение задач по оптимизации"
план-конспект урока по алгебре (10, 11 класс)

Разработка урока по теме: «Решение задач на оптимизацию»

• Тема урока: Решение прикладных задач на оптимизацию с помощью математических моделей и анализа функций.
• Цель урока: Сформировать у учащихся умение применять математический аппарат для решения практических экономических задач по оптимизации .
• Задачи урока:

• Образовательные:

• Закрепить понятия: выручка, затраты, прибыль, производительность труда.
• Научить строить математические модели для экономических задач.
• Научить проводить анализ модели для нахождения оптимального значения (максимума прибыли, оптимальной численности рабочих).

• Развивающие:

• Развивать логическое и экономическое мышление.
• Развивать умение анализировать, сравнивать, делать выводы.
• Развивать навыки работы в группе.

• Воспитательные:

• Воспитывать ответственность, умение работать в команде.
• Показать практическую значимость математики в реальной жизни и бизнесе.

• Тип урока: Урок применения знаний и умений.
• Формы работы: Фронтальная, групповая, индивидуальная.
• Оборудование: Компьютер, проектор, интерактивная доска (или обычная), раздаточный материал, калькуляторы.

2. Структура и ход урока

I. Организационный момент (2 минуты)

• Приветствие.
• Постановка цели урока: «Сегодня мы с вами попробуем себя в роли руководителей небольшого предприятия. Наша задача — принять верные управленческие решения: сколько продукции производить и сколько рабочих нанимать, чтобы получить максимальную прибыль. Для этого мы будем использовать не интуицию, а точный математический расчет».

II. Актуализация опорных знаний (5 минут)

• Фронтальный опрос:

1. Что такое выручка ? (Выручка = Цена × Количество)
2. Что такое затраты ? (Постоянные и переменные)
3. Как рассчитывается прибыль ? (Прибыль = Выручка - Затраты)
4. Что такое производительность труда? (Количество продукции, произведенное одним рабочим за единицу времени).

• Повторение математического аппарата: Напомнить, что для нахождения максимума/минимума квадратичной функции y = ax² + bx + c нужно найти вершину параболы. x_вершины = -b / (2a).

III. Изучение нового материала и первичное закрепление (20 минут)

Задача 1: Оптимизация выпуска продукции (фронтальная работа)

Сергей является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5 t единиц товара, а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 12 t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Сергей платит рабочему 400 рублей. Сергей готов выделять 608 400 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение вместе с классом:

1. Построение математической модели:

Оплата труда 400 ( Х2 + у2 ) = 608900

Количество товара Р = 5х +12у.

1 способ :Чтобы решить с производной выразим одну переменную из первого уравнения Х2 + у2 = 1521

У = ,Р = 5х + 12 на (0;39)

Производная равна Р1 = 5 – 12х/

Производная равна нулю,если 5

25( 1521 – х2 ) =144 х2,, х =15.

Р1(0) положительна , Р1(39) отрицательна. Наибольшее значение в точке

х = 15. Р ( 15) = 507 Ответ 507 единиц товара

2 способ Пусть количество единиц товара 5х + 12 у = а .Откуда выразим одну из переменных

Х = 0,2а – 2,4 у и подставим в уравнение

Х2 + у2 = 1521

(0,2а -2,4у)2 + у2 -1521 = 0 ,после упрощения пполучаем квадратный трехчлен 6,76 у2 -0,96а у + 0,04а 2 -1521 = 0 ,

.Дискриминант Д = - а2 + 41127,84. ≥ 0

Тогда а2 ≤ #1047;начит а≤507

Вывод: Для получения максимальной прибыли 608900 рублей необходимо произвести и продать 507единиц товара.

Задача 2: Оптимизация количества рабочих (групповая работа)

В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 25 человек. Их нужно распределить на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 3t 2 д. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t 2 д. е. Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько д. е. при таком распределении придѐтся выплатить рабочим?)

Класс делится на группы по 3-4 человека. Раздаются карточки с условием. Получить функцию суточной заработной платы Т и упростить ее.

Найти количество рабочих х, при котором суточная зарплата Т (х) минимальна (использовать формулу вершины параболы).

Х + у = 25 ,откуда выразим одну переменную у = 25 - х

Суточная зарплата Т = 3х2 + у2

Т(х) = 3х2 + (25 - х)2

Т( х ) = 4 х2 - 50 х + 625 квадратичная функция ,график - парабода ,ветви которой направлены вверх ( а = 4 > 0 ), значит наименьшее значение существует в вершине параболы или в окрестности этой точки.Вершина параболы х = -в/2а = 50/8 =6,#1042;ычислим значения функции Т (6 ) = 469 и Т ( 7 ) = #1053;аименьшее значение функции 469.

Ответ На 1 объект 6 рабочих , на 2 объект 19 рабочих, Суточная зарплата 469 д.е.

IV. Рефлексия и итоги урока (5 минут)

• Учитель задает вопросы:

• С какими типами экономических задач мы сегодня познакомились?
• Какой общий алгоритм их решения?
• (1. Построить модель. 2. Проанализировать модель. 3. Сделать вывод.)
• В чем была основная сложность во второй задаче?
• Где в реальной жизни могут пригодиться такие расчеты?

• Оценка работы класса и отдельных учащихся.

V. Домашнее задание (3 минуты)

Предлагается задача на самостоятельное решение.

Условие: Фермер выращивает яблоки. Урожайность зависит от количества используемых удобрений по закону: Y(x) = 50 + 20x - x² (ц/га), где x — количество мешков удобрений. Цена 1 ц яблок — 2000 руб. Стоимость одного мешка удобрения — 500 руб. Постоянные затраты — 10 000 руб./га.
Определите, сколько мешков удобрения нужно использовать на 1 га, чтобы получить максимальную прибыль с гектара.

(Решение: P(x) = 2000(50+20x-x²) - 500x - 10000 = -2000x² + 39500x + 90000. Оптимум: x = -39500/(2*(-2000)) ≈ . Ответ: