Разложение квадратного трёхчлена на множители
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Конспект открытого урока алгебры в 8 классе 

Тема: Разложение квадратного трёхчлена на множители

Автор: Шарова Михаил Дмитриевич учитель математики МБОУ СОШ №19 им. Романа Катасонова

Цели урока 

• Повторить и систематизировать понятие квадратного трёхчлена и известные способы разложения многочленов на множители

• Вывести и обосновать основную формулу разложения квадратного трёхчлена на линейные множители

• Научить применять полученную формулу при решении заданий различной сложности

• Развивать навыки исследовательской деятельности, логического анализа, аргументации и самоконтроля

 • Способствовать формированию интереса к математике, самостоятельности и настойчивости в преодолении трудностей

Тип урока: урок открытия новых знаний с элементами исследования

Формы работы: фронтальная, парная, индивидуальная, групповая

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, раздаточные карточки, тестовые задания, учебник (Макарычев и др., 2023)

Эпиграф урока 

«Наиболее глубокий след оставляет то, что тебе удалось открыть самому.» Джордж Пойа

Ход урока

I. Организационный момент. Настрой на урок (2–3 мин) Приветствие. Создание рабочей атмосферы. Напоминание девиза урока (цитата Пойа). Запись числа, класса, темы урока.

II. Актуализация знаний. «Повторение – мать учения» (8–10 мин)

1. Проверка домашнего задания (рациональный способ решения) Найти корни выражения: (x² − 5x + 7)² − 2(x² − 5x + 7) − 3

Рациональный способ: замена y = x² − 5x + 7 → y² − 2y − 3 = 0 → y = −1; y = 3 Возврат к x: x² − 5x + 7 = −1 (нет решений) x² − 5x + 7 = 3 → x = 1; x = 4

2. Задание из банка ОГЭ (сокращение дроби) Пример: (x² − 6x + 9) / (x − 3) → (x − 3)² / (x − 3) → x − 3
3. Вопрос классу: Назовите известные вам способы разложения многочленов на множители. (Ожидаемые ответы: вынесение общего множителя, формулы сокращённого умножения, группировка)

III. Создание проблемной ситуации. Исследовательская часть (12–15 мин)

1. Самостоятельная работа (можно в парах) + демонстрация у доски Разложить на множители: а) x² − 5x б) x² − 3 в) x² − 16 г) x² − 8x + 16 д) 2ab − 2b² − a + b

Вывод: большинство трёхчленов разложились, но некоторые квадратные трёхчлены (особенно с дробными/иррациональными корнями) известными способами разложить не удаётся.

2. Ключевая проблемная ситуация Сократите дробь: (6x² − x − 2) / (2x − 1)

→ Знаменатель не делит числитель очевидным образом → возникает затруднение.

3. Формулировка цели урока Нам нужен новый универсальный способ разложения любого квадратного трёхчлена на множители!

IV. Исследование и открытие нового знания (10–12 мин)

1. Коллективное исследование (заполнение таблицы на слайде) • Записываем квадратные трёхчлены, которые получилось разложить • Записываем полученные множители • Выписываем корни • Считаем дискриминант и сравниваем с нулём
2. Главный вывод исследования Если квадратный трёхчлен ax² + bx + c имеет корни x₁ и x₂, то ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
3. Доказательство формулы (2–3 варианта от учеников + проверка по учебнику, стр. 208)
4. Алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители

1. Вычисляем дискриминант D = b² − 4ac
2. Если D < 0 → в действительных числах разложить нельзя
3. Если D = 0 → ax² + bx + c = a(x − x₁)²
4. Если D > 0 → находим x₁, x₂ → записываем a(x − x₁)(x − x₂)
5. При необходимости переставляем множители и/или вносим коэффициент a в скобки для получения целых коэффициентов

Физминутка (1 мин)

V. Первичное закрепление. «Применяй!» (10 мин)

1. Совместно на доске: −2x² + 5x + 18 = −2(x − 9/2)(x + 2) = (9 − 2x)(x + 2)
2. Работа в парах (взаимоконтроль) Вариант 1: 2x² − 3x − 5 Вариант 2: 5y² − 2y − 3

VI. Самостоятельная проверка знаний. «Проверь себя!» (8–10 мин)

Тест (два варианта) Вариант 1 — на компьютере (MyTestX) Вариант 2 — в тетрадях

Основные вопросы:

• Какой квадратный трёхчлен нельзя разложить на множители?

• Подбор недостающего множителя

• Сокращение дроби после разложения

VII. Подведение итогов. Рефлексия (4–5 мин)

Ученики отвечают:

• Что нового узнали сегодня?

• Достигли ли мы цели урока?

• Что было самым сложным/интересным?

Оценка активности и качества работы.

Домашнее задание • § 33 (повторить теорию) • № 755 (г, д), 760 (в), 764 (б) • Творческое задание: составить небольшой кроссворд (4–6 слов) на тему «Разложение квадратного трёхчлена на множители»

Рефлексивная шкала 

□ Мне всё понятно, получается легко и уверенно

□ Есть небольшие ошибки, но я понимаю материал и стараюсь

□ Пока сложно, многое осталось непонятным

Успехов в освоении прекрасного и логичного мира алгебры!