Подготовка к ЕГЭ. Задачи на оптимальный выбор.
презентация к уроку по алгебре (11 класс)

Слайд 1

Оптимизация процессов ( решение с помощью производной) Подготовка к ЕГЭ Задание 15

Слайд 2

В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? В каждой области в сутки может быть затрачено 200 человеко-часов труда. При этом в первой области будет добыто 0,2 · 200 = 40 кг металлов. Пусть в ней будет добыто y кг алюминия, тогда никеля будет добыто (40 − y ) кг. Пусть во второй области будет добыто x кг алюминия, тогда никеля будет добыто . Для производства сплава заводу необходимо получить равное количество алюминия и никеля, поэтому должно выполняться равенство При этом масса сплава будет равна сумме масс всех металлов:

Слайд 3

Найдём наибольшее значение функции где Для этого найдем производную функции : Найдем нули производной: Укажем знаки производной и поведение функции на рисунке: Наибольшее значение функции достигается в точке максимума при Из равенства (*) для находим Таким образом, наибольшее значение функции m ( x ) равно Тем самым, завод сможет производить 60 кг сплава ежедневно. Ответ: 60.

Слайд 4

В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x 2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y 2 человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую суммарную массу металлов можно добыть в двух областях за сутки? Решение. Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, и необходимо произвести наибольшее количество металла, все рабочие первой области должны быть направлены на добычу никеля, который они добывают втрое более эффективно, чем алюминий. За сутки ими будет добыто 160 · 5 · 0,3 = 240 кг никеля. Пусть во второй области алюминий добывают y рабочих, а никель — 160 − y рабочих. Тогда за сутки они добудут кг алюминия и кг никеля. Найдем наибольшее значение функции (суммарную массу металлов можно добыть в двух областях за сутки)

Слайд 5

для неотрицательных целых y , не больших 160. Имеем: Найдем нули производной: При y меньших 80 производная положительна, а при y больших 80 производная отрицательна, поэтому в точке 80 функция достигает максимума равного наибольшему значению функции на исследуемом промежутке. Тем самым, 80 рабочих второй области следует направить на добычу алюминия и 80 — на добычу никеля. Они добудут 40 кг металла. Совместно рабочие первой и второй области добудут 280 кг металла. Ответ: 280 кг.

Слайд 6

Спасибо за внимание!

Слайд 7

Используемая литература 1. Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г. 2. 3. Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С5 ; https://ege.sdamgia.ru/