"ШАГ В НАУКУ"
проект по алгебре (9 класс)

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №9»

Левокумского муниципального округа Ставропольского края

               Проблемно-реферативная работа по математике

               «Прогрессии в повседневности»

Выполнил:

учащийся 9 «Б» класса

Исаков Максим

Научный руководитель:

Шевцова Е.П.

учитель математики

с. Урожайное, 2025

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        3

Глава 1. Теоретические сведения о прогрессиях        5

1.1. Арифметическая прогрессия.        5

1.2. Геометрическая прогрессия.        5

1.3. История прогрессий        7

1.4. Прогрессии в окружающей нас жизни        10

Глава 2. Практико-ориентированные задачи на прогрессии.        14

2.1.        Старинные задачи на прогрессии.        14

2.2.        Задачи формата ОГЭ по математике.        15

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        20

Список литературы:        21

ПРИЛОЖЕНИЯ        22

ВВЕДЕНИЕ

Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.

Математика встречается и используется в повседневной жизни, следовательно, определенные математические навыки нужны каждому человеку.

В 9 классе мы начинаем изучать числовые последовательности. Изучили арифметическую и геометрическую прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии.

Найдя ответы на вопросы: имеет ли это, какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя, и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Объектом исследования: геометрическая и арифметическая прогрессии.

Предмет исследования: практическое применение прогрессий.

Гипотеза исследования: если математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека, то  и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

Задачи исследования:

1. Выяснить:

• когда и в связи, с какими потребностями человека появилось

понятие последовательности, в частности - прогрессии;

• какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и      

практических знаний по изучаемой проблеме;

• теоретические основы геометрической и арифметической

прогрессий.

2. Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение?  Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.           

 Методы исследования:

• анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета;
• обобщение найденных фактов в учебниках по биологии, по экологии, по экономики и в медицинских справочниках.

В данной работе мы отразим применение прогрессий в повседневной жизни, и покажем, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Глава 1. Теоретические сведения о прогрессиях

1.1. Арифметическая прогрессия.

Определение.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

Арифметическая прогрессия имеет вид: (a): a, a+d, a + 2d, a + 3d, ..., а+d(n-1)

Свойства.

• Любой член арифметической прогрессии находится по формуле n – ого члена: a = a1 + d(n - 1)
• Арифметическая прогрессия обладает характеристическим свойством:

an = , т.е. каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому между предыдущим и последующим членом.

• Если разность арифметической прогрессии d > 0, то прогрессия называется возрастающей, если d < 0 - убывающей.
• Арифметическая прогрессия может быть конечной или бесконечной.
• Сумму n –первых  членов арифметической прогрессии вычисляют по формуле

 S = или  Sn=

1.2. Геометрическая прогрессия.

Определение.

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Геометрическая прогрессия имеет вид: (bn):b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,…  

Свойства.

• Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предыдущему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой q.
• Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. Например, при условии, что b1 = 3, q = -2 (q< 0)получаем геометрическую прогрессию (bn): 3, -6, 12, -24, ... . Эта прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей.
• Любая геометрическая прогрессия обладает характеристическим свойством: квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, т. е.   ,  где  и n> 1.              
• Для нахождения любого члена геометрической прогрессии применяется формула n –ого члена: , где  .    
• Сумму n –первых  членов геометрической  прогрессии вычисляют по формуле:.Если в данную формулу вместо bn подставить его выражение в виде b1qn-1, то получим еще одну формулу для вычисления суммы n – первых членов геометрической прогрессии:       .
• При ǀqǀ < 1,  геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Сумма бесконечной геометрической прогрессии – это предельное число, к которому сходится последовательность прогрессии, т.е. какой бы длинной не была геометрическая прогрессия, сумма ее членов не больше какого-то определенного числа и практически равна этому числу. Оно и называется суммой геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей прогрессии находится по формуле

Формулы:

 Арифметическая прогрессия              Геометрическая прогрессия

1.3. История прогрессий

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях появились у древних народов. Ещё в Древнем Риме диаметры колес в водопроводах были выбраны в соответствии с геометрической прогрессией. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать. Одной из самых старинных задач является задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ахмеса. Папирус этот часто называется папирусом Ринда (Райнда) по имени его первого владельца, он был обнаружен в конце 19 века, составлен около 2000 лет до н.э. и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения.

Задача Ахмеса (Ахмес - египетский жрец и писец, составитель первого дошедшего до нас руководства по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанного около 1650 г. до н.э.): «Раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры. Сколько получит каждый?».

Рассмотрим решение этой задачи.

Пифагор Самосский в IV веке до н.э. рассматривал последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках, он получал:

- последовательность треугольных чисел 1;3;6;10;15

- последовательность квадратных чисел 1;4;9;16;25

- последовательность пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22, 35, ...

                                                                1, 4, 9, 16, 25, ... ;

1, 3, 6, 10, 15, ... .

Архимед, (около 287 - 212 до н. э.), древнегреческий учёный, математик и механик. В ходе своих исследований он нашёл сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4, что явилось первым примером появления в математике бесконечного ряда.

Величайший немецкий математик, астроном и физик Карл Гаусс (1777-1855) родился в городе Брауншвейг (Германия). Его отец, садовник и фонтанный мастер, славился искусством быстро и легко считать. Эта способность перешла к сыну, говорившему позднее, что он «умел считать раньше, чем говорить». Первый успех пришёл к Гауссу в 9 лет. Школьный учитель велел ученикам найти сумму целых чисел от 1 до 100. Он рассчитывал надолго занять учеников этой задачей. Но Гаусс мгновенно сообразил, как сгруппировать слагаемые, и выдал ответ:

1+2+3+4+…+98+99+10 = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51) =101 · 50 =5050.

        В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержатся выкладки о приплоде от скота и пчел за известный промежуток времени, о количестве зерна, собранного с определенного участка земли, и т.д.

Задача-легенда. Царь древней Индии Шерам пригласил к себе изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы награду хотел бы он получить за изобретение столь мудрой игры. Тогда Сета попросил царя на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4, на четвертую – 8 и т.д., т.е. на каждую клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку. Поначалу царь удивился столь «скромному» запросу изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу. Однако, как выяснилось, казна царя оказалось слишком «ничтожной» для выполнения этой просьбы.

 Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться. Но в целом зерен должно было бы получиться 18.446.744.073.709.551.615 (Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать).

Однако, слово «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед»)  в первые встречается у римского автора Боэция (V-VI в.). Первоначально под прогрессией понимали  всякую  числовую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В конце средних веков и в начале нового времени это  термин перестает быть общеупотребительным. В XVII в., например, ДЖ. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Так, Ариабхатта (V в.) знал формулы общего члена, суммы арифметической прогрессии и др. Магавира (IX в.) пользуется формулой суммы квадратов натуральных чисел

и другими более сложными конечными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202 г.) Леонардо Пизанского (Фибоначчи). В «Науке о числах» (1484 г.) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей геометрической прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII в.[1]

В настоящее время прогрессии рассматриваются, как частные случаи числовых последовательностей.

Вывод: прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Ведь уже натуральный ряд 1, 2, 3, …, n, … есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью тоже равной 1. Первые задачи на прогрессии, дошедшие до нас, связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как например, распределение продуктов, деление наследства, приплод скота, наблюдениями над явлениями природы и т.д.. [4]

1.4. Прогрессии в окружающей нас жизни

Первые задачи, дошедшие да нас на прогрессии, были связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практикой. Так и в наше время формулы арифметической и геометрической прогрессии используются при подсчёте данных в программировании, экономике, химии, литературе, физике, биологии, геометрии, экономике, статистике, а также и в повседневной жизни. Рассмотрим примеры применения более подробно:

1. Химия: при повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химической реакций растёт по геометрической прогрессии. При повышении температуры от +20 до + 60 градусов, скорость реакции увеличивается в 150 раз;
2. Физика: нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на 2 части, получаются 2 нейтрона. Затем 2 нейтрона, ударяя по двум другим ядрам, раскалывают их ещё на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия;
3. Литература: даже в литературе мы встречаемся с математикой. Так, вспомним строки из «Евгения Онегина».

…Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить…

Ямб – это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2,

4, 6, 8… .  Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом  2 и разностью прогрессии 2.

«Мой  дЯдя  сАмых  чЕстных прАвил…» (А.С.Пушкин)

Прогрессия 2,  4,  6,  8…

Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов  образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7…

«Я  пропАл ,  как  звЕрь  в  загОне…» (Б.Л.Пастернак)

Прогрессия 1,  3,  5,  7…

4. Биология: в микробиологии также работают законы математики.

Так, микроорганизмы размножаются делением пополам. При наличии благоприятных условий и через одинаковый промежуток времени их количество удваивается, например: летом ИНФУЗОРИИ размножаются бесполым способом делением пополам. [1]

Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

Ответ: b15 = 2·214 = 32 768 (геометрическая прогрессия)

БАКТЕРИИ. Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т.д.  (геометрическая прогрессия). Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов. К сожалению, интенсивность размножения бактерий играет свою негативную роль, например, в период эпидемии гриппа.

ОДУВАНЧИК. «Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара». Климент Аркадьевич Тимирязев.

Задача: Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около 100 летучих семян.

а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии?  

Ответ: 1012 км2.

б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места на поверхности суши земного шара?

Ответ: нет, S суши = 148 млн км2 .

Решение:

Имеем геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 100.
Через 10 лет при заданных условиях потомство этого одуванчика займёт
м2  или  км2
На 11й год потомство будет занимать 
м2 или км2.
Площадь суши примерно 148 млн. км2, это 1,48*км2. Таким образом, поверхности суши земного шара не хватит

ТЛЯ. Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев, одна единственная тля может оставить более 300 млн.  потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр. [5] 

ВОРОБЬИ. Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.  

5. Экономика: прогрессия имеет очень широкое применение в экономике. С её помощью банки производят расчеты с вкладчиками, определяют, какие средства можно разместить в кредиты, решают, стоит ли вкладывать средства в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько лет и т.д. Так, вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии. Сложные проценты – увеличение первоначального вклада в геометрической прогрессии.

Например, нужно рассчитать доход, который клиент получит после окончания срока хранения вклада в банке, зная сумму вклада, ставку по вкладу и срок хранения вклада. Так, клиент открыл в Сбербанке вклад (депозит) на сумму 3 млн. рублей сроком на 6 месяцев. Банк платит клиенту за пользование его средствами ставку в размере 6% годовых. Схема расчета такова: , тогда получаем (Приложение 1, Таблица 1).

Налицо геометрическая прогрессия: 103037.75 рублей, где 100 000 – первоначальная сумма депозита, а  1,005 – знаменатель прогрессии (Приложение 1, Диаграмма 1)  

6. Медицина: по такой же схеме идёт распространение инфекционной болезни  среди людей. Схематически это может выглядеть так: инфицированный человек (источник инфекции) передаёт возбудителя болезни другим людям, каждый вновь инфицированный вовлекает в эпидемический процесс n – ое число людей, т.е. возникает инфекция.

Или можно рассмотреть в качестве примера прием таблеток – 2 таблетки 3-4 раза в день, т.е. часы приема: 8 часов, 11 часов, 14 часов, 17 часов. На лицо арифметическая прогрессия: .

        Таким образом, нами были рассмотрены примеры применения прогрессий в нашей жизни и мы убедились, что арифметическая и геометрическая прогрессия, так же можно сделать вывод, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Интересные факты:

• Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую и арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления (пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди размножаются по законам геометрической прогрессии. Чтоб избавиться от лишнего населения необходимы войны.

• Абрахам де Муавр – английский математик, обнаружил, что продолжительность его сна увеличивается на 15 минут в день. Составив арифметическую прогрессию, он определил дату, когда она достигла бы 24 часов. Это — 27 ноября 1754 года. В этот день он и умер.

Вывод: Прогрессии - это мощный инструмент для решения реальных задач в различных сферах человеческой жизни: в банковских расчетах, в микробиологии и медицине, в строительстве, спорте и даже в музыке и в литературе.

Глава 2. Практико-ориентированные задачи на прогрессии.        

1. Старинные задачи на прогрессии.

Задача №1 (из учебника Магнитского)

   Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель раздумал ее купить из-за того, что считал лошадь таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: «Купи только подковные гвозди, а лошадь получишь бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего ¼ копейки, за второй -  ½ копейки, за третий – 1 копейку и т.д.» Покупатель, соблазненный низкой ценой, принял условия продавца.  Кто проторговался?

Решение:  Деньги, отданные за гвозди, составляют геометрическую прогрессию, например ().

Тогда, b1 =0,25;  b2=0,5 ; , значит   q= 2.

Если в каждой подкове по 6 гвоздей, то всего их 24. Значит нужно найти S24 .

1.  
2. 41943,04 -156 =41787 рублей.

Таким образом, проторговался покупатель на очень большую сумму!

Задача №2 (из учебника Магнитского):

Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была по дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает он домашним: «Вот и на мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Предложил выгодное дельце, что у меня дух захватывает». «Сделаем, - говорит, - такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить – смешно сказать – всего 1 копейку. А за вторую сотню тысяч – 2 копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего. Находим выгодность сделки. [3]

Решение:  Деньги, отданные за гвозди, составляют геометрическую прогрессию, например ().

Тогда, b1 =1;  b2=2; , значит   q= 2.

Богач-миллионер заплатил незнакомцу:

11 миллионов рублей

Незнакомец заплатил богачу:.

Убыток 11000000-3000000=8000000 рублей.

2. Задачи формата ОГЭ по математике.

Задачи на прогрессии являются одним из обязательных заданий в работе ОГЭ по математике. Это задачи с практическим содержанием на применение основных формул прогрессий. Рассмотрим некоторые из них.

Задача 1. Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? (Данная задача содержится в сборнике ОГЭ 2025 по математике под редакцией И.В. Ященко)

Решение.

Составим математическую модель задачи:

5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

ап=а1+d(n-1),    

40=5+5(п-1),     

п=8,            

Sп=((a1+aп)n)/2,  S8 =(5+40)·8:2=180,

180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства. 

Ответ: 2 пузырька

Задача 2. Человек, заболевший гриппом, может заразить 4 человек. Через сколько дней заболеет все население села Крутое, в котором живу я, если в нем проживает примерно 760 жителей?[2]

Решение: 

эта задача на геометрическую прогрессию.

b1=1, q=4, Sn=760

4n-1=2280,  4n = 2281, 5

Ответ: через 6 дней.

Задача 3. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение:

Sn = 240, a1 + an = 60

60•

30n = 240

n = 8

Ответ: 8 дней

Задача 4. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решение:

Sn = 500, a1 = 3

3 + an = 100

an = 100-3

an = 97

Ответ: 97 метров

Задача 5. Студенты должны выложить плиткой мостовую. В 1 день они выложили 3м2. Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м2 больше, чем в предыдущий. Сколько м2 уложат студенты в 15 день?

Решение:

а1 = 3, a2 = 5

a2 = a1 + d

5 = 3 + d, d = 2

a15 = a1 + 14d,         a15 = 3 + 14*2,         a15 = 31.

Ответ: 31 тонна

Задача 6. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200 % от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400 % от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение:

1250000 – 1215000 = 35000. На 35000$ капитал одной компании был больше другой

Ответ: на 35000$

Задача 7. Васе надо решить 490 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

Решение:

n = 14, S14 = 490

sn = , S14 = (5 + а14)•7

5 + а14 = 70

а14 = 65

Ответ: 65 задач

Задача 8. Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту – на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?

Решение:

а1 = 30, d = 5,Sn = 525,

1050 = (60 + 5n – 5)n

n2 + 11n – 210 = 0

n = 10илиn = – 21 – не удов. условию задачи

Ответ: за 10 минут

Задача 9. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков? (Данная задача содержится в открытом банке заданий ОГЭ (ФИПИ))

Решение. 

Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, а разность – 0,5. Сумма первых n членов (количество промахов) равна 7. Найдем число промахов n.

Sn=

7=

n2+3n-28=0, n=-7,n=4, n≥0. Число промахов – 4. Значит, в цель попал 21 раз. Ответ 21.

Задача 10.  Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м? (Данная задача содержится в учебнике Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов, -М.: Мнемозина, 2014)

Решение. 

Составим математическую модель задачи: 1400, 1300, …, 1400-100(n-1).

a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.

Sn=

5000=;            

10000= (2800-100 n+100) n;  

10000= (2900-100 n) n;  

100 n2-2900 n+10000=0; высоту за 4 дня.

n2-29n+100=0; n=25, n=4.  

Условию задачи удовлетворяетn=4 (приn=25 аn=-1000, но аn>0)

Значит, альпинисты покорили высоту за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью данного исследования было установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

Мы в соответствии поставленным задачам выявили: когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме; теоретические основы геометрической и арифметической прогрессий.

Установили, какое прикладное значение имеют арифметическая и геометрическая прогрессии, нашли и показали примеры применения прогрессий в нашей жизни.     

        В ходе исследования мы использовали следующие методы: анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета и обобщили найденные факты в учебниках по биологии, по экологии, по экономики и в медицинских справочниках по применению прогрессий.

Таким образом, мы подтвердили поставленную гипотезу о том, что   математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, значит и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Список литературы:

1. Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.
2. Мордкович А.Г.Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231 с.
3. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224с.
4. Современный толковый словарь русского языка / Гл. ред. С.А. Кузнецов. – СПб.: «Норинт», 2005. – 960 с.
5. Сонин
6. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с.
7. http://festival.1september.ru/articles/568100/ - статья о прогрессиях
8.   http://www.a4format.ru/pdf_files_slovari/4b853e92.pdf  -   литературный словарь
9.  http://www.sunhome.ru/help/184  - Размеры стихосложения.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Таблица 1.

                              Диаграмма 1.