Решение логарифмических уравнений
презентация к уроку по алгебре (10, 11 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Определение логарифма

Слайд 3

Основное логарифмическое тождество

Слайд 4

Основные свойства логарифмов a>0,b>0,c>0, c≠1 , n ≠1

Слайд 5

Решение логарифмических уравнений

Слайд 6

Цель: Познакомиться со способами решения логарифмических уравнений. Научиться применять их при решении логарифмических уравнений.

Слайд 7

Что значит «решить уравнение»? Решить уравнение – это значит найти все его корни (решения) или установить, что их нет.

Слайд 8

Что такое корень уравнения? Корнем (решением) уравнения называется число, которое при подстановке в уравнение превращает его в верное равенство.

Слайд 9

Какие уравнения называют логарифмическим? Логарифмическим уравнением – уравнение, содержащие неизвестное под знаком логарифма.

Слайд 10

Определение простейшего логарифмического уравнения: Уравнение вида log а х = в, где а ≠ 1 , а > 0 , х > 0, называется простейшим логарифмическим уравнением, оно равносильно уравнению х = а в , причём ни проверка, ни ОДЗ не требуется. Простейшие логарифмические уравнения: 1. log х-1 8 = 1 2. log 7 (50х-1) = 2 3. log 3 х = log 3 9 4. log 7 (2х-3) = log 7 х

Слайд 11

Метод решения с помощью определения логарифма Применение основного логарифмического тождества Метод потенцирования Метод введения новых переменных; Метод логарифмирования Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. Графический метод . При решении логарифмических уравнений часто используются следующие методы :

Слайд 12

Метод решения с помощью определения логарифма Например, уравнение log а х = b (а > 0, а≠ 1, х>0 ) имеет решение х = a b ПРИМЕРЫ: 1) log 4 x=2 2) log 0,5 x=2 3) log x 5=1 4) log 5 x=-2 x= 16 x= 0, 2 5 X= 5 X= 0,04

Слайд 13

Метод решения с помощью определения логарифма ПРИМЕР: log х -1 8 =1 Решение: (х-1) 1 = 8 х-1 = 8 х = 9

Слайд 14

Метод решения с помощью определения логарифма ПРИМЕР: 6) log 7 (50 х -1) = 2 Решение: 50х-1 = 7 2 50х-1 = 49 50х = 49+1 50х = 50 х = 1

Слайд 16

Решить уравнения

Слайд 17

2 . Применение основного логарифмического тождества : a log a b = b (где b >0, a >0 и a ≠1) Примеры : 1) 9 x =0,7 2) 2 x =10 3) 0,3 x =7 Решение: 9 x =0,7 9 x = 9 log 9 0,7 X= log 9 0,7 2 x =10 2 x =2 log 2 10 X= log 2 10 0,3 x =7 0,3 x =0,3 log 0,3 7 X= log 0,3 7

Слайд 18

3. Метод потенцирования Суть метода- переход от уравнения log а f( х)= log а φ(х) к уравнению следствию f(х)=φ(х). При решении уравнений log a f ( x ) = log a φ(х) часто происходит расширение области определения уравнения (за счёт решения уравнения f(х)=φ(х)),а значит, могут появиться посторонние корни. Поэтому, решив уравнение, следует проверить найденные корни подстановкой в данное уравнение.

Слайд 19

3. Метод потенцирования Ликвидировать (потенцировать) логарифмы безо всяких опасений можно, если у них: а) одинаковые числовые основания в) логарифмы слева - справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве. Это значить, в уравнении log 3 х =2log 3 (3х-1) убирать логарифмы нельзя, так как двойка справа не позволяет. Коэффициент. В примере log 3 х+log 3 (х+1) = log 3 (3+х) тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два. Итак, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так: log а (.....) = log а (.....) ОБЯЗАТЕЛЬНА ПРОВЕРКА КОРНЕЙ!!!!

Слайд 20

Примеры на метод потенцирования 1) log 3 х = log 3 9 Решение: 1) х=9 Проверка: подставим найденное значение x =9 в исходное уравнение log 3 9 = log 3 9 Ответ: х=9

Слайд 21

Примеры на метод потенцирования 2) log 7 (2х-3) = log 7 х Решение: 2х-3=х; х=3 Проверка: подставим найденное значение x =3 в исходное уравнение log 7 (2 . 3-3) = log 7 3; log 7 3 = log 7 3 Ответ: х=3

Слайд 22

Примеры на метод потенцирования 3) log 5 (2 x +3)= log 5 ( x +1) Решение: log 5 (2 x +3)= log 5 ( x +1) 2 x +3= x +1; x = 1-3 х = -2 Проверка: подставим найденное значение x = -2 в исходное уравнение log 5 (2 x +3)= log 5 ( x +1) и получим log 5 (2 . (-2)+3)= log 5 (-2+1) log 5 (-1)= log 5 (-1) НЕ МОЖЕТ БЫТЬ!!! x = -2 посторонний корень это равенство неверно (оно не имеет смысла, так как выражения под логарифмом всегда больше нуля ) Ответ: нет решения

Слайд 23

Примеры на метод потенцирования 4) log 5 x = log 5 (6- x 2 ) Решение: Проверка: 1) Ответ: 2. не существует -3 посторонний корень 2)

Слайд 24

1.Решите уравнения методом потенцирования: а ) log 2 (3 x – 6) = log 2 (2 x – 3); б ) log 2 (3х ) = log 2 ( 1+4х ); в ) log 4 ( -2 x ) = log 4 ( x + 2); г ) log 5 ( 2х+1 ) = log 5 ( х-1 ); д ) log 3 (-3х+2 ) = log 3 ( 1-х ); е) log 8 ( 2х+5 ) = log 8 ( 4 x + 15 ); ж) log 5 x = log 5 (6- x 2 ) з) log 5 x 2 = log 5 (х+2)

Слайд 25

4. Метод введения новых переменных Суть метода -приведение логарифмического уравнения к квадратному 1) ввести новую переменную 2) решить уравнение относительно y ; 3) выполнить обратную подстановку и решить уравнения относительно х.

Слайд 26

Метод введения новых переменных Пример : 1) Ответ: ;

Слайд 27

Метод введения новых переменных Решение : 2) , Ответ: 10

Слайд 28

1.Решите уравнения методом потенцирования: а ) log 2 (3 x – 6) = log 2 (2 x – 3); б ) log 6 (14 – 4 x ) = log 6 (2 x + 2); Закрепление 2. Решите уравнения методом введения вспомогательной переменной: а ) б )