ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ТЕОРИИ ПЕРКОЛЛЯЦИИ
статья по физике (9 класс) на тему

УДК 538.911

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ТЕОРИИ ПЕРКОЛЛЯЦИИ

Бондарь Е.В., Удодов В.Н.

Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова, Абакан, Россия

bondar.lenka@mail.ru

Введение

Теории перколяции или протекания (ТП) уже больше шестидесяти лет. Она применяется в физике, математике, информатике и др. [1-5]. ТП опирается на теорию вероятностей. Основными понятиями здесь будут являться случайная величина, вероятность, среднее значение [4]. В учебных целях интерес представляет одномерная ТП, поскольку в этом случае задачи решаются проще и даже без компьютера. Одномерная ТП имеет смысл, так как в полупроводниках с примесями при низких температурах проводимость приобретает одномерный характер. К тому же, одномерные решетки встречаются в природе [5]. Целью данной работы являлось нахождение порога протекания хС одномерной ТП для малых систем.

Результаты и обсуждение

 Основная переменная в ТП это х – доля целых узлов в решетке [1, 4]. Кластер есть совокупность связанных узлов [4]. Два целых узла связаны, когда они соединены между собой проволоками, по которым течет ток. Если радиус протекания R в одномерной решетке равен двум, то два целых узла связаны, когда блокированные узлы между ними встречаются по одному. Кластер характеризуется размером, под которым понимается число целых узлов в кластере. Важную роль играет кластер, который соединяет у решетки противоположные стороны (соединяющий кластер) [3].

Одной из главных задач в ТП является вычисление порога протекания хС. Точное значение хС удается вычислить только в одномерной () и двумерной () решетках [3, 4].

Рассчитаем хС в одномерной решетке с радиусом протекания, равным двум (), и количеством узлов . Показано, что среднее значение порога , при этом среднеквадратичное отклонение порога протекания равно  и относительная флуктуация составила . Такая большая флуктуация связана с малым размером системы.

Вторым примером рассчитаем хС в сетке 2*2 (рис. 2) при радиусе протекания . Пусть первым блокирован узел 1. Если далее будет блокирован 2-й узел (рис. 2), то ток не прекратится (рис. 1). Если будет блокирован 1 и 3 узлы, то ток будет идти по диагональному проводу. Если будут блокированы только 2 и 3 узлы, то наступит порог протекания, значение которого равно . Если же после первого узла будут блокированы 3-й, а затем 2-й узлы, то порог протекания станет равен . Вычислим вероятность  того, что хС примет каждое из этих значений:  и . Рассуждения показывают, что , а  и значение порога  равно .

Это число заметно отличается от хС при , когда хС для квадрата равен  [4]. Видно, что при увеличении радиуса протекания порог протекания уменьшается. Теперь вычислим дисперсию  порога протекания. Согласно формуле  найдем: . Относительная флуктуация равна: . Если сравнить этот результат с относительной флуктуацией для трех узлов, то найдем, что при увеличении размера системы относительная флуктуация убывает, что согласуется с теорией.

Заключение

При решении одномерной задачи ТП было показано, что среднее квадратичное отклонение порога протекания уменьшается при увеличении размеров системы. В квадратной решетке () при радиусе протекания  было найдены среднеквадратичное уклонение  и относительная флуктуация. Отсюда следует вывод о том, что с увеличением радиуса протекания уменьшается величина среднеквадратичного уклонения.

Список цитируемой литературы

1. Удодов В.Н., Тишурова В.А. Математический аппарат теории перколяции. – C. 143-148 / Моделирование физических свойств неупорядоченных систем: самоорганизация, критические и перколяционные явления: материалы семинара. – Астрахань: Астраханский университет, 2011.
2. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. - М.: УРСС, 2002.
3. Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка. – М.: Наука, 1982. - 270 с.
4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. – 551 с.
5. Кудасов Ю.Б., Коршунов А.С., Павлов В.Н., Маслов Д.А. Фрустрированные решетки изинговских цепочек. УФН, Т. 182, №12, 2012, С. 1249-1273.