Геометрия повышенного уровня
методическая разработка по геометрии (8 класс) по теме

Дополнительная образовательная программа

по математике

«Геометрия повышенного уровня»

Категория слушателей: учащиеся 8 класса

Срок реализации:  3 месяца (12  занятий)

Автор программы:

Лаврова Татьяна Владимировна

Оглавление:

1. Пояснительная записка ………………………………………….
2.  Учебно-тематический план………………………………………
3. Содержание программы …………………………………………
4. Методическое обеспечение ……………………………………...
5. Список литературы ………………………………………………

Пояснительная записка

Дополнительная образовательная программа «Геометрия повышенного уровня»   предназначена   для учащихся 8-х классов, желающих расширить и углубить свои знания по геометрии.

    Актуальность курса исходит из того,  что решению геометрических задач в школе уделяется мало внимания.  Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ говорят о том, что наименьший процент верных ответов традиционно дается учащимися на геометрические задачи, включая  планиметрию. Приобрести навыки в решении задач можно лишь, ознакомившись с различными методами, приемами и подходами, начиная этот процесс обучения еще в 7-8 классах.  

 Новизна программы заключается в использовании большого количества теоретического и практического материала, который не изучается в базовом курсе геометрии: геометрические софизмы; равновеликость и равносоставленность многоугольников; теоремы Чевы; формула Пика и т.д.  

В 7-ом классе учащиеся получили первоначальные геометрические знания и умения, изучали свойства отрезков, углов, треугольников, окружностей, для них стали привычными понятия определения, теоремы, доказательства. Всё это, а так же совершенствование навыков самостоятельной работы позволяет уделить внимание задачам и заданиям более сложного уровня. Решая данные задания,  учащиеся поймут, как необходимы геометрические знания в жизни, познакомятся с необычными фактами, доказанными знаменитыми учеными разных стран и времен. Данный курс позволяет  расширить  знания учащихся по некоторым разделам планиметрии 7-8-го классов, углубить навык решения геометрических задач повышенного и высокого уровня сложности.

            Целью курса является развитие логического мышления и логической интуиции, необходимых для решения задач геометрии.

 Задачи курса:

-        систематизация ранее полученных знаний и углубление знаний по методам решения задач планиметрии;

-        развивать общеучебные умения учащихся, логическое мышление,
алгоритмическую культуру, математическое мышление, интуицию, повысить
их уровень обученности, создать условия для формирования и развития
практических умений;

-        развивать умения самостоятельно применять знания, решая нестандартные задачи.

Реализация поставленной цели будет осуществляться через подбор задач,   решение которых требует интеграции знаний из различных тем курса планиметрии, изученных учащимися, нахождение и применение нестандартных приемов рассуждений, изучение дополнительных формул (за пределами школьного учебника).

         Программа рассчитана на 12 занятий по одному академическому часу. Занятия проводятся  в обычной классно-урочной форме,  также используются  авторские презентации,  дополнительный раздаточный материал.

В результате систематизации материала по данному курсу учащиеся приобретут знания:

- теоретического материала по данным темам планиметрии.

умения:

-решать различными методами задачи по планиметрии повышенного уровня сложности;

-выбирать рациональный способ решения.

Итогом занятий является работа в виде презентации  решения  одной из задач повышенного уровня сложности.

Учебно-тематический план

«Геометрия повышенного уровня»

Категория слушателей: учащиеся 8 класса

Срок реализации:  3 месяца (12  занятий)

Содержание программы

На занятиях курса в качестве лекционного материала будут представлены вниманию учащихся:

1. Формула Пика
2. Теорема (Бояй-Гервин).
3. Факты, подтверждающие равенство «Равновеликость = Равносоставленность = Равнодополняемость»
4. Принцип Кавальери.
5. Теоремы Чевы.
6. Геометрические софизмы
7. Факты и формулы по указанным темам, которым не уделяется внимание в школьном курсе геометрии.

Каждый из разделов представленных включает практикум:

1. Задачи занимательного характера, для успешного решения которых требуются знания не только геометрических фактов, но и смекалка, и творческий подход.
2. Решение задач с листом бумаги (предполагающие наименьшее число сгибаний), где нужно искать наиболее рациональное решение и задания на разрезание фигур на части.
3. Решение задач на восстановление рисунков по имеющимся фрагментам, а также на построение фигур при различных ограничениях и выявление на готовом чертеже ошибок.
4. Решение задач повышенной сложности.

Раздел №1 «В мире самых маленьких многоугольников» (3ч.)                                                                                                                

• Повторение  темы «Элементы треугольников» по рисункам

Задание: 1) Повторить определения медианы. Высоты, биссектрисы треугольника.

2) Среди треугольников, изображенных на рисунке найдите треугольники, в которых проведены : А) высоты Б) медианы В)биссектрисы

• Выполнение задания на составление из разрезанного на 7 частей квадрата  прямоугольника и параллелограмма.
• Д. Чева и его теорема.

Краткая биография: Джованни Чева (7 декабря 1648г.-15 июня 1734г.) – итальянский математик. Старался возродить греческую геометрию. Основной заслугой является построение учения о секущих, которое изложено в сочинении «О взаимопересекающихся прямых» (1678г.). Чева был инженером-гидравликом, считался выдающимся автором математических идей в области экономики.

Геометрия Чевы.

Определения.

1)Отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, называется чевианой треугольника.

2) Медиана треугольника – это чевиана, делящая сторону пополам.

3) Биссектриса треугольника – это чевиана, делящая угол пополам.

4) Высота треугольника  (остроугольного)– это чевиана, перпендикулярная стороне.

5) Теорема  Чевы.             Три чевианы АА1, ВВ1, СС1 треугольника АВС пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

6) Теорема1.  (следствие из теоремы Чевы).

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Задание. Докажите эту теорему.

7) Теорема 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

8) Сформулируйте Теорему 3.

• Занимательная геометрия с  треугольниками.

   Задание. Сколько на рисунке треугольников?

  Рассматривается образец  последовательного решения  задачи .

Решение: 48 треугольников.

• Сколько вершин останется у треугольника, если у него срезать одну вершину? Нарисуйте решение. Ответ: 4 вершины, 3 вершины, 2 вершины.

Тема №2 «Что мы не знаем о четырехугольниках?» (4ч.)

• Выполнение задания на составление из разрезанного на 7 частей квадрата  прямоугольника и параллелограмма.

Решение задачи на разрезание листа  (одним прямолинейным разрезом)

• Вырезание треугольника

Пусть на листе бумаги нарисован произвольный треугольник.

- Проведем биссектрисы его углов, из точки их пересечения опустим перпендикуляры на стороны треугольника (это линии сгиба). Сложим по линиям сгиба, все стороны треугольника оказались на одной прямой. Сделаем вдоль нее прямолинейный разрез. Отверстие имеет вид исходного треугольника.

• Вырезание четырехугольника . Кто может представить модель по данному заданию?
• Ребусы

• Решение задач на развитие логики

• Задачи на  развитие нестандартного мышления по теме «Четырехугольники»

• Теоретический материал.

Определение. Две фигуры называются равносоставленными, если одну из них можно разрезать на несколько частей, из которых можно сложить другую, используя все эти части.

Определение. Фигуры называются равновеликими, если их площади равны.

Равносоставленные фигуры равновелики!

Не все равновеликие фигуры  равносоставлены!

Равновеликие многоугольники равносоставлены!

 Убедитесь в равносоставленности фигур

• Решение задач на практическое применение знаний по геометрии в алгебре.

1)Решение задач. Сколько параллелограммов изображено на рис.

2)Сколько всего ромбов с вершинами в данных точках можно построить &

3)Решите задачу. Какой из параллелограммов имеет наибольшую площадь?

5). Теория

Танграм – лучший пример доказательства равенства площадей  двух фигур, используя их равносоставленность.

НЕ ВЕРЬ ГЛАЗАМ СВОИМ!

Теорема Бояни-Гервина и метод дополнения.

Методическое обеспечение программы

Программа рассчитана на 12 занятий по одному академическому часу. Занятия проводятся  в обычной классно-урочной форме с применением ИКТ, также используются  авторские презентации, дополнительный раздаточный материал. Занятия рассчитаны на детей 14-15 лет (8 класс). Раздаточный материал подготовлен на группу 15 человек. Реализация программы возможна как в первом полугодии 8-го класса, так и во втором полугодии 8-го класса.

Список литературы

Литература для учителя:

- Зив Б.Г.  «Задачи к урокам геометрии», СПб, «Мир и семья», 2000.

- Карпушина Н.М. «Развивающие задачи по геометрии», Москва, «Школьная пресса», 2004.

- Рисс Е.А.  «Математический клуб «Кенгуру» Выпуск№8, СПб, 2003, Выпуск №17, СПб, 2007.

Литература для учащихся.

- С.Акимов «Занимательная математика», СПб, «Тригон», 1998г.

Дополнительные источники:

Учебный портал –www.uroki.ru