Пособие для учителей математики и учащихся 9 классов по теме: «Решение заданий по геометрии повышенного уровня сложности (КИМ-ОГЭ №23)»
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс)

Критерии оценки выполнения задания 23

Можно привести различные классификации задач по геометрии. В данном пособии разобьем их по трем группам в зависимости от набора понятий и теорем, используемых при решении задач.

1. Базовые понятия и свойства фигур

Задача 1.

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 11, AC = 44, NC = 18.

Решение:

Докажем, что треугольники АВС и BMN подобны.

 <В – общий,  .

Обозначим BN=x,  тогда BC= x+18. Получаем уравнение .

Откуда

Следовательно, BN=6.

Ответ: 6.

        Задача 2.

 Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 11, DC = 22, AC = 27.

Решение:

Углы DCM и BAM равны как накрест лежащие, углы DMC и BMA равны как вертикальные, следовательно, треугольники DMC и BMA подобны по двум углам. Значит, 

Следовательно,  откуда  

 .

Ответ: 18.

        Задача 3.

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 45, BC = 20, CF : DF = 4 : 1.

Решение   1 способ.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники KFC и ACD угол C — общий, углы CAD  и CKF равны друг другу как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно,. Откуда   поэтому

 Аналогично, из подобных треугольников EKA и ABC получаем, что

   Таким образом, EF=EK+KF=4+36=40.  

Ответ: 40.

2 способ.

Проведем прямую СN параллельно АВ, она пересекает отрезки EF и AD в точках K и N соответственно.

Четырехугольник BCNА – параллелограмм, потому что его стороны попарно параллельны. Тогда ВС=АN=20 (противоположные стороны параллелограмма равны). Аналогично, BC=ЕK=20. Найдем длину отрезка ND.

ND=AD-AN=45-20=25.

Рассмотрим треугольники CEF и CND. Угол C у них общий,

Следовательно, . Обозначим CF=4x, DF=x, тогда CD=x+4x=5x.

Тогда EF=EK+KF=20+20=40.

Ответ: 40.

Задача 4. 

  Биссектрисы  углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке Н, лежащей на стороне СВ. Найдите ВС, если АВ=40.

Решение:

    АН – биссектриса угла BAD, следовательно, <1=<2. <2=<3 как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС и секущей АН.

Получаем <1=<3, значит, ∆АВН – равнобедренный и АВ=ВН.

Аналогично DH – биссектриса угла ADC, следовательно, <4=<5. <4=<6 как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС и секущей DH. Получаем <5=<6, значит,  ∆DНC – равнобедренный и CD=CН.      

AB=BH, HC=CD. Противоположные стороны параллелограмма равны, так AB=CD=40 и BC=AD, следовательно, BH=HC=AB=40,  и тогда BC=40·2=80.

Ответ: 80.    

Задача 5. 

  Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК=6, СК=10.

Решение:

Обозначим

АК – биссектриса угла BAD, следовательно, <1=<2. <2=<3 как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC  и секущей АК.

Получаем <1=<3, значит ∆АВК равнобедренный и АВ=ВК=6.

Противоположные стороны параллелограмма равны, так AD=ВС=ВК+КС=6+10=16, АВ=CD=6.

Периметр параллелограмма ABCD равен Р=2(АВ+ВС)=2·(6+16)=44.

Ответ: 44.      

2. Прямоугольный треугольник и его свойства

 Задача 6. 

Катеты прямоугольного треугольника равны  15 и 36. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С и катетами АС=15, ВС=36. Проведем высоту СН к гипотенузе АВ.

Найдем гипотенузу треугольника по теореме Пифагора.

АВ2=АС2+ВС2=152+362=225+1296=1521, АВ=39.

Площадь прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна половине произведения катетов, с другой стороны, она равна половине произведения основания (гипотенузы) на высоту, проведенную к основанию (гипотенузе).

, тогда .

15·36=39·СН. Тогда СН=

Ответ: .

Задача 7.

Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 10, AC = 40.

Решение:

Способ 1.

Рассмотрим треугольник АВН и ВНС. <НВС=900-0, значит, треугольники подобны по двум углам. В подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны.

Запишем пропорцию , НС=АС-АН=40-10=30.

Тогда ВН2=АН·НС=10·30=300.

Найдем гипотенузу АВ треугольника АВН по теореме Пифагора. АВ2=АН2+НВ2=102+300=400. АВ=20.

Ответ: 20.

Способ 2.

Рассмотрим треугольники АВС и АВН. Угол А у них общий, 0, значит, треугольники подобны по двум углам. В подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные  стороны.

Запишем пропорцию , тогда АВ2=АС·АН=40·10=400, АВ=20.

Ответ: 20.

Задача 8.

 Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=16 и CH=4. Найдите высоту ромба.

Решение:

Поскольку ABCD – ромб, AD=DC=DH+HC=16+4=20.

Треугольник  DAH прямоугольный, находим катет по теореме Пифагора:

Ответ: 12.

Задача 9. 

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 450 и 1500, а CD=26.

Решение:

В трапеции ABCD проведем высоты АН и DM.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆DMC.

Угол ∠DСM и ∠ВСD – смежные углы, тогда

∠DСM + ∠ВСD = 1800, ∠DСM = 1800 – ∠ВСD = 1800 – 1500 = 300. .

DM = DC·sin∠DСM,  DM = 26·sin300.

(или треугольник ∆DMC – прямоугольный, ∠DСM = 300. DM – катет, лежащий против угла в 300, следовательно, DM равен половине гипотенузы DС, т. е. 13)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆АВН: АН = DM,  ∠АВН = 450.

Получим, боковая сторона

Ответ: .

Задача 10. 

Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF=12, BF=5.

Решение:

Основания трапеции параллельны, поэтому ∠BAD+∠ABC=1800.

BF и AF – биссектрисы углов ∠АВС и ∠BAD, поэтому

Следовательно, ∠BFA=900 и треугольник ABF прямоугольный. По теореме Пифагора гипотенуза равна

Ответ: 13.

3. Окружность и ее свойства

Задача 11. 

Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 24, а расстояние от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 16 и 12.

Решение:

Пусть O — центр окружности, OM = 16 и ON = 12 — перпендикуляры к хордам AB и CD соответственно. Треугольники АОВ и COD равнобедренные поскольку ОА=ОВ=ОС=OD=r. Тогда ОМ и ON медианы, а значит АМ=МВ=12 и CN=ND.

 По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OMB имеем:  , откуда ОВ = 20.

В прямоугольном треугольнике СON гипотенуза СО=ОВ=20, откуда по теореме Пифагора  

Получаем, что CD=2CN=32.

Ответ: 32.

Задача 12. 

Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если АВ = 30, CD=40, а расстояние от центра окружности до хорды АВ  равно 20.

Решение:

Пусть O — центр окружности, OM =20 и ON  — перпендикуляры к хордам AB и CD соответственно. Треугольники АОВ и COD равнобедренные поскольку ОА=ОВ=ОС=OD=r. Тогда ОМ и ON медианы, а значит АМ=МВ=15 и CN=ND=20.

 По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OMB имеем:  , откуда ОВ = 25.

В прямоугольном треугольнике СON гипотенуза СО=ОВ=25, откуда по теореме Пифагора  

Получаем, что ОN=15.

Ответ: 15.

Задача 13. 

В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Каждая из них делится другой хордой на отрезки, равные 4 и 6. Найдите расстояние от центра окружности до каждой хорды.

Решение:

Опустим перпендикуляры ОМ и OL на хорды из центра окружности О. Четырехугольник OLKM – прямоугольник. ОМ делит хорду CD пополам (Перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.) 

, MK=MD-KD=5-4=1.

Аналогично, LK=1. Значит четырехугольник OLKM – квадрат.

OL=OM=1 – расстояние от центра окружности до хорд.

Ответ: 1

Задача 14. 

В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Одна из хорд удалена от центра на расстоянии 6, а другая – на расстоянии 8. На каком расстоянии от центра окружности находится точка пересечения хорд?

Решение:

Опустим перпендикуляры ОМ и OL на хорды из центра окружности О. Четырехугольник OLKM – прямоугольник. ОМ=8, OL=6  по условию.

Искомое расстояние ОК от центра окружности до точки пересечения хорд – диагональ прямоугольника OLKM.

Треугольник ОМК – прямоугольный, тогда по теореме Пифагора находим

Ответ: 10.

Задача 15.

В треугольнике АВС известно, что ∠В=380 и дуга AB окружности, описанной около треугольника АВС, равна 1640. Найдите радиус этой окружности, если сторона ВС равна 36.

Решение:

        Обозначим R радиус описанной окружности треугольника АВС. По теореме синусов для треугольника АВС

Угол ВСА вписанный, опирается на дугу АВ, следовательно, ∠АСВ=1640:2=820.

Из треугольника АВС

∠А=1800 - ∠В - ∠С=1800-380-820=600,

Ответ:.

Задача 16. 

Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 660 и 840. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 15.

Решение:

Воспользуемся формулой для радиуса описанной около треугольника окружности

.

Выразим из нее ВС:

BC = 2R·sin∠A.

Сумма углов треугольника равна 1800: ∠А + ∠В + ∠С = 1800.

Тогда ∠А = 1800 – (∠В + ∠С) = 1800 – (660 + 840) = 300,

BC = 2·15·sin300 = 2·15·(1/2) = 15

Ответ: 15.

Задача 17. 

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:7:8. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 20.

Решение:

Вычислим величины дуг, на которые делят окружность вершины треугольника. Пусть х – одна часть, тогда дуга ВС=3х, дуга АС=7х, дуга АВ=8х.

Градусная мера дуги всей окружности 3600. Значит:

3х+7х+8х=3600,

18х=3600,

х=3600:18,

х=200.

Следовательно, дуга ВС = 3∙200=600.

Угол ∠ВОС – центральный, опирается на дугу ВС, значит ∠ВОС=600.

Треугольник ВОС – равнобедренный, т.к.ОВ=ОС (радиусы), по свойству углов в равнобедренном треугольнике ∠ОВС=∠ОСВ=(1800-∠ВОС):2=(1800-600):2=600.

Следовательно, ΔВОС – равносторонний и ОС=ОВ=ВС=20.

Ответ: 20.

Задача 18. 

Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и ВС в точках  Р и К соответственно. Найдите ВН, если РК = 14.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник BKHP, вписанный в окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.

Угол ∠PBK = 900, следовательно, угол ∠КНР = 1800 – ∠PBK = 900.

Угол ∠BPН = 900, так как это вписанный в окружность угол, опирающийся на полуокружность, следовательно, угол ∠ВКН = 1800 – ∠BPН = 900.

Получаем, ∠PBK = ∠ВКН = ∠КНР = ∠BPН = 900, следовательно, четырехугольник BKHP – прямоугольник.

По свойству прямоугольника (диагонали прямоугольника равны): ВН = РК = 14.

Ответ:14.

Задача 19.

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, АВ = 2, АС = 8.

Решение:

Диаметр окружности равен двум радиусам, т. е. D = 2R.

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С, тогда ОС – радиус окружности, т. е. ОС = R.

Окружность касается прямой АВ в точке В, тогда АВ перпендикулярна к радиусу окружности ВО, проведенному в точку касания. Получим треугольник ∆АВО – прямоугольный, АО – гипотенуза, АВ и ВО – катеты. Найдем АО по теореме Пифагора:

АО2 = АВ2 + ВО2,

АО2 = 22 + R2,

АО2 = 4 + R2,

.

Сторона АС=АО+ОС, подставим соответствующие данные в это равенство, получим

,

,

,

4 + R2 = 64 – 16R + R2

16R = 60

,

Ответ: 7,5.

Задача 20. 

Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР=9, а сторона ВС в 3 раза меньше стороны АВ.

Решение:

Четырехугольник ВКРС вписан в окружность, значит, ∠KВС + ∠КРС=1800. Углы АРК и КРС смежные, значит, их сумма также равна 1800. Получаем, что ∠KВС = ∠АРК.

В треугольнике АВС и АРК угол А – общий, ∠KВС = ∠АРК, следовательно, эти треугольники подобны. Значит,  откуда получаем, что , KP=9:3=3.

Ответ:3.