Метод координат в пространстве
методическая разработка по геометрии (11 класс) по теме

Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат), 

Оси координат обозначаются так:

OX- ось абсцисс

OY- ось ординат

OZ- ось аппликат
точка их пересечения O – началом координат, 
а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными плоскостями. 

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. М(x; y; z).

Прямоугольная система координат  в пространстве

Действия над векторами:

Примеры:

Сложение векторов

Вычитание векторов

Умножение вектора на число k.

Простейшие задачи в координатах:

Задачи:

Координаты середины отрезка AB:

А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2).

Точка М середина отрезка AB.

А(1;-1;0), B(6;-3;-4). Точка N Середина отрезка AB. Найти координаты точки N.

Ответ:

Вычисление длины вектора  по его координатам:

Вычисление длины вектора .

Ответ: 5

Расстояние между двумя точками.

 А(x1;y1;z1) и B(x2;y2;z2).

Вычислить расстояние между двумя точками

С(2;-3;7) и В(-2;3;7).

Ответ:

Вычисление координат вектора  .   Если А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2).

 В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A(1; 6; 3), B (3; − 1; 7) и C(− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов ,  и 

Ответ: ;

Скалярное произведение векторов  и  выражается формулой:

Вычислить скалярное произведение векторов  и

Ответ:12

Перпендикулярность векторов:  ;

Перпендикулярны ли векторы   и

Ответ: да

Коллинеарность векторов:  ;

, если координаты векторов не равны нулю.

Задача. Коллинеарны  ли векторы:

a) {-5;3;-1} и {-10; 6;-2};  

 b) {-6;3;-1} и {2; -9;3};  

Решение.

a)

Да, векторы коллинеарны

b)

Нет, векторы не коллинеарны

Ответ: a) да  b) нет

Косинус угла между ненулевыми векторами векторов  и  вычисляется по формуле:

Найти косинус угла между векторами  = {4; 3; 0} и  = {0; 12; 5}.

Ответ:36/65