Правильная пирамида
статья по геометрии (10 класс) по теме

Тема урока: «Правильная пирамида»

 В работе использованы электронные образовательные ресурсы с Федерального портала ФЦИОР, http://eor.edu.ru/ и с портала «Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов ЦОР, http://school-collection.edu.ru/ 

Класс: 10.

Предмет: стереометрия.

Цели урока: 

1. Образовательные

1. введение понятия правильной пирамиды;
2. рассмотрение свойств правильной пирамиды;
3. введение понятия апофема;
4. рассмотрение задач на нахождение элементов правильной пирамиды.

2. Развивающие

1. развитие графической культуры;
2. развитие пространственного мышления;
3. расширение математической терминологии.

3. Воспитательные

1. формирование интереса к предмету.

План урока:

1. Организационный момент

2. Подготовка к изучению новой темы

1.1. Актуализация знаний по теме: «Пирамида». Проверка усвоения теоретического материала.

Вопросы к учащимся:

1. Сформулируйте определение пирамиды. Покажите на модели (чертеже) ее элементы.
2. Сформулируйте определение высоты пирамиды.
3. Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида?
4. Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?
5. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?
6. Что называется площадью боковой поверхности пирамиды, площадью полной поверхности пирамиды?

1.2. Проверка домашнего задания.

На предыдущем уроке учащиеся получили домашнее задание по вариантам:

Проводится визуальная проверка наличия выполненного домашнего задания.
Проводится обсуждение решения задач № 247а и № 249а. Учащиеся комментируют решение с использованием готовых чертежей.

№ 247а

Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основания. 

Вопросы к учащимся:

1. Какая окружность называется вписанной в многоугольник?
2. Сформулируйте определение  двугранного угла.
3. Как построить линейный угол двугранного угла?
4. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

№ 249а

В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности,  описанной около основания. 
Вопросы к учащимся:

1. Какая окружность называется описанной около многоугольника?
2. Как построить угол между боковым ребром и плоскостью пирамиды?

1.3. Актуализация знаний по планиметрии.

Определение правильного многоугольника:

Правильный многоугольнике – выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Определение центра правильного многоугольника:

В правильном многоугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Это точка – центр правильного многоугольника.

Формулы для вычисления элементов правильного многоугольника:

3. Объявление темы и целей урока

Тема урока: «Правильная пирамида».

Цели урока: 

1. познакомиться с понятием правильной пирамиды, ее элементами и свойствами;
2. научиться строить правильную пирамиду и ее элементы;
3. рассмотреть задачи на нахождение элементов правильной пирамиды.

4. Изучение теоретического материала

4.1. Определение правильной пирамиды. Изображение правильных пирамид на чертежах.

Пирамида называется правильной, если

1) ее основание – правильный многоугольник;

2) ее высота – отрезок, соединяющий вершину пирамиды с ее центром.

Одним из примеров правильной пирамиды являются египетские пирамиды. Это четырехугольные пирамиды.

Внимание учащихся обращается также на изображение правильных треугольной и шестиугольной пирамид.

Задание для учащихся: 

1. Выполнить в тетради чертеж правильной шестиугольной пирамиды.

4.2. Свойства правильной пирамиды.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство данных фактов проводится устно: 

1. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности. Эти прямоугольные треугольники равны. Следовательно, равны их гипотенузы.
2. Так как боковые ребра правильной пирамиды равны, то  ее боковые грани -  равнобедренные треугольники. Так как А1А2…Аn – правильный многоугольник, то основания этих треугольников также равны друг другу. Значит, боковые грани равны (по трем сторонам).

4.3.  Апофема.

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
Данный термин употребляется для правильной пирамиды, хотя у неправильной пирамиды также могут быть равны высоты боковых граней.
Вопросы к учащимся:

1. Сколько апофем в правильной пирамиде?
2. Равны ли апофемы правильной пирамиды друг другу? Почему?
3. Сколько высот в пирамиде?

Задание для учащихся: 

1. Провести апофему правильной шестиугольной пирамиды.

5. Закрепление нового материала

1. Решение задачи на построение.

В правильной четырехугольной пирамиде построить:

а) угол между боковым ребром и плоскостью основания;
б) линейный угол двугранного угла при основании;
в) линейный угол двугранного угла между боковыми гранями.

Комментируется ход построения (с применением готового чертежа). Учащиеся выполняют построения в тетради.

1. Решение задачи на нахождение элементов правильной пирамиды.

№ 255

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине основания . Найдите высоту этой пирамиды.

Решение проводится учеником у доски.

6. Подведение итогов урока

Вопросы к учащимся:

1. Какая пирамида называется правильной?
2. Являются ли равными боковые ребра правильной пирамиды?
3. Чем являются боковые грани правильной пирамиды?
4. Что называется апофемой?
5. Сколько высот в пирамиде? Сколько апофем в пирамиде?

Выставление оценок за работу на уроке.

7. Домашнее задание

§ 2 п.29   № 256 (а, в, г)

Список  литературы: 

1.  Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений  / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 6-е изд. – М.: Просвещение; ОАО «Московские учебники,  2006.
2.  Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для учителя/С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. – М.: Просвещение, 2001.