Презентация по теме «Объем пирамиды». Геометрия 11 класс.
материал по геометрии (11 класс) по теме

Слайд 1

Слайд 2

Объем пирамиды.

Слайд 3

Научиться применять интегрирование функций в качестве одного из способов решения задач на нахождение объёмов геометрических тел. Развитие логического мышления, пространственного воображения, умений действовать по алгоритму, составлять алгоритмы действий. Воспитание познавательной активности, самостоятельности. Цели :

Слайд 4

h A A 1 B B 1 C C 1 M (х) M 1 Объем пирамиды Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту 1. Дана треугольная пирамида O X OX ᅩ (АВС), OX ∩ (АВС)=М; OX ∩ ( A 1 B 1 C 1 ) =М1 Х- абсцисса точки М; S(x) -площадь сечения; S -площадь основания ∆ ABC ∾∆A 1 B 1 C 1 так, как АВ ∥ А 1 В 1 ; АС ∥ А 1 С 1 ; ВС ∥ В 1 С 1 АВ:А 1 В 1 = k → ОА:ОА 1 = k ; аналогично ВС:В 1 С 1 =АС:А 1 С 1 = k ; S:S(x)=k² ; ∆ A MO∾∆M 1 A 1 O 1 → OM : OM 1 =k ; ОМ 1 :ОМ=Х: h k =Х: h ; S:S(x)= (Х: h ) ² = k ² S(×)= ( S*ײ):h²

Слайд 5

S 1 + S 2 + S 3 S 1 S 2 S 3 h V= 1/3*( S 1+ S 2+ S 3)* h Объем пирамиды, имеющей в основании многоугольник. Следствие : Объем усеченной пирамиды, высота которой h , а площади оснований SuS 1 , вычисляется по формуле: α α 1 φ φ 1 М М 1 O

Слайд 6

Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду SABC с высотой SO= H . A B C S O H O 1 h Построим сечение пирамиды, параллельное плоскости основания и находящееся на расстоянии h от её вершины. Т.к.  ABC   A 1 B 1 C 1 , то по свойству площадей подобных фигур : A 1 C 1 B 1 h  [0; H ]  Т.к. h – изменяющаяся величина , то площадь сечения можно рассматривать как функцию от переменной h , где h – расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания.

Слайд 7

h H Используя понятие бесконечной интегральной суммы, объем данной пирамиды можно получить как бесконечную сумму площадей таких сечений, построенных вдоль высоты. h  [0; H ]

Слайд 8

H S осн.1 = S осн.2 V 1 = V 2 h S сеч.1 = S сеч.2 На основании предыдущих рассуждений можно сделать вывод о том, что пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами, имеют равные объемы.

Слайд 9

A B C B 1 A 1 C 1 C A 1 B Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA 1 B 1 C 1 . Разобьем её на две части секущей плоскостью ( A 1 BC) . Получились две пространственные фигуры: треугольная пирамида A 1 ABC и четырехугольная пирамида A 1 BCC 1 B 1 ( обе пирамиды с вершиной A 1 ) .

Слайд 10

A C B 1 A 1 C 1 C A 1 B B Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A 1 BCC 1 B 1 секущей плоскостью ( A 1 C 1 B) на две треугольные пирамиды: A 1 BB 1 C 1 и A 1 BCC 1 (обе пирамиды с вершиной A 1 ) . A 1 C 1 B

Слайд 11

A C B 1 A 1 C 1 C A 1 B B A 1 C 1 B У треугольных пирамид A 1 ABC и BA 1 B 1 C 1 основания равны (как противоположные основания призмы) и их высотами является высота призмы. Значит, их объемы также равны. У треугольных пирамид A 1 BB 1 C 1 и A 1 BCC 1 основания равны (объясните самостоятельно) и у них общая высота, проведенная из вершины A 1 . Значит, их объемы также равны.

Слайд 12

A C B 1 A 1 C 1 C A 1 B B A 1 C 1 B Тогда, по свойству транзитивности, объемы всех трех пирамид равны: Значит, объем пирамиды в три раза меньше объема призмы с такими же основанием и высотой, т.е.

Слайд 13

h H h Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием площади сечения, как функции, зависящей от расстояния h : h  [0; H ] 0

Слайд 14

Рассматривая произвольную n -угольную пирамиду SA 1 A 2 …A n как сумму треугольных пирамид с общей вершиной и высотой, получим формулу для нахождения объема любой пирамиды: S A 3 A n A 2 A 1 H

Слайд 15

Итак, для любой n - угольной пирамиды: , где S осн. – площадь основания пирамиды, H – высота пирамиды.

Слайд 16

Решение задач по готовым чертежам (стр184) A B C Д O Дано : АВСД- правильная пирамида. АВ=3, АД=2 √3 Найти : а) S осн. , б) АО, в) ДО, г) V-? Решение : S осн. =( используем формулу для вычисления площади правильного  ) = а) S осн. =а 2 √3 /4 = 9 √3 /4 . б) АО= R = h* 2 /3= а√3 / 3(формула радиуса описанной окружности через сторону правильного  ). АО= 3√3 / 3=√3 Ответ :S осн =9 √3 / 4 , АО =√3, ДО =3, V =9√3 / 4 в) ДО= H = √ АД 2 -АО 2 ( по теореме Пифагора ) ДО= √ 2(√3) 2 - (3√3 /3 ) 2 = √ 12-9 / 3 = √ 9 =3  г) V =1 / 3 *S осн. *Н 3 = 1 /3 *9 √3 /4*3=9√3/4

Слайд 17

Решение задач по готовым чертежам (стр 184) A B C Д O Дано : АВСД F - правильная пирамида.

Слайд 18

Дано : АВСДЕК F -правильная пирамида. F О ┴(АВС), F М┴АК, FO =4, F М=5. Найти : а) S осн. = ? б) V=? Решение : S 1 h Рассмотрим треугольник F ОМ : < О=90 0 (так как F О┴(АВС), значит F О┴ОМ), FO=4 , F М=5, ОМ=√М F 2 -FO 2 (по теореме Пифагора) ОМ=√25-16 =√9=3, ОМ= r (радиус окружности вписанной в правильный шестиугольник ). АК=2 r*td П / 6=2*3* td П / 6= 6*√3 / 3=2√3 . Решение задач по готовым чертежам (стр185) Ответ : S осн. =18√3 ед 2 , V =24√3 ед 3 . М С В F А К Е Д 2. S осн. =6* S АОК =1 /2 *АК*ОМ=1 / 2*2√3*3=3√3 . S осн. =6*3√3=18√3 . 3. V= 1 / 3* S осн. *H , V=1/3* 18√3*4=24√3. О

Слайд 19

Свойство объемов №1 Равные тела имеют равные объемы Свойство объемов №2 Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел. Свойство объемов №3 Если одно тело содержит другое, то объем первого тела не меньше объема второго.

Слайд 20

Домашнее задание П. 69, № 684а, 686а, 687.

Слайд 21

Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев «Геометрия, 10-11», М., Просвещение, 2007 В.Я. Яровенко «Поурочные разработки по геометрии», Москва, «ВАКО», 2006 Библиография

Слайд 22

УСПЕХОВ!