Трапеция задачи
методическая разработка по геометрии (11 класс) на тему

Трапеция. Задачи.

№1

В трапеции ABCD площади треугольников OBC и OAD - S1 и S2, площадь трапеции S.
Найдите площадь ∆ABD.
Решение: Площади ∆ABO и ∆CDO равны. Пусть они равны Sx, тогда имеем:2Sx + S1 + S2 = S
Sx =  и SABD = Sx + S2 =
Ответ:

№2
Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны S1 и S2. Найдите площадь трапеции.

Решение:  Пусть SBKC=S1, SAKD=S2, ∆BKC ~ ∆DKA, из  подобия следует, что =, поэтому SABK= ∙ S1, аналогично, SDKC=∙S1, аналогично, SDKC=∙S1, отсюда SABCD=S1+S2+2S1∙=()2
Ответ: ()2 Если тр-ки имеют общий угол, то площади их относятся, как произведение сторон, заключающих равные углы.

№3
Отрезок длины m, параллельный основаниям трапеции, разбивает её на две трапеции. Найдите отношение площадей этих трапеций, если основание трапеции равны a и b (aРешение:
Пусть BC=a, AD=b. Проведем CE ll BA и NF ll BA,а также CK __ MN и NP __ AD.
Обозначим CK = h1,NP = h2, т.к. CE ll NF, то угол ECN = углу FND, а из MN ll AD следует угол ENC ~ углу FND, => ∆ECN ~ ∆FND (по двум углам), из подобия имеем:
. Прямоугольные треугольники: ∆KCN ~ ∆PND и , поэтому получим:  или . Пусть SMBCN=S1, SAMND=S2, то S1 = , S2= и
Ответ:

№4
Боковые стороны трапеции лежат на перпендикулярных прямых. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в серединах диагоналей и серединах оснований, если боковые стороны трапеции равны a и b.
Решение: В ∆ ABC KP – ср. линия и KP =. Аналогично в ∆BCD KE=
т.к. KE ll CD и PK ll AB, то угол PKE = 90°. Следовательно PKEM – прямоугольник. SPKEM = . Ответ: .

№5
Прямая, параллельная основаниям трапеции делит её на две равновеликие трапеции. Найдите отрезок этой прямой, заключенный внутри трапеции, если основания a и b.
Решение: Пусть MN = x, h1 и h2 – высоты подобных треугольников ∆PCN и ∆QND, тогда имеем:

поэтому , отсюда x2=
Ответ:

№6 (С4 2010)
Боковая сторона AB трапеции ABCD равна 1, а расстояние от середины CD до прямой AB равно m. Найдите площадь трапеции. Ответ: S=1∙m.
Решение: Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, опущенного на неё из середины другой боковой стороны.

№7
Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен 5, одна из диагоналей равна 6. Найдите площадь трапеции, если известно, что её диагонали перпендикулярны.
Решение: MN=5см, AC=6см – по условию. Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой. ∆BOC – прямоугольный. OM – его медиана, равная половине гипотенузы: OM = BC. Аналогично, ON =  AD, поэтому MN = (BC + AD). Через точку D проводим DK ll AC, тогда ACKD – параллелограмм. DK = AC, CK = AD, и угол и BDK=90°, т.к. угол BDK – это угол между диагоналями трапеции.  ∆BDK – прямоуг. c гипотенузой BK = BC + AD = 2MN = 10 и катетом DK = 6см имеет площадь S= ∙ DK ∙ BD=DK ∙ =24см2, но площадь этого треугольника равна площади трапеции, т.к. если DP __ BK, то S∆BDK=BK ∙ DP=(BC+AD) ∙ DP = SABCD.
Ответ: SABCD = 24см2

№8
Основания равнобокой трапеции равны 4 и 6, боковая сторона 5. Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции. Решение: AK = 1см, KD = 5см, из прям. ∆ABK находим BK =  = , sinA =  = . Окружность, описанная около трапеции ABCD, описана и около ∆ABD, следовательно R =  (из теоремы синусов), BD найдем из прям. ∆KBD: BD =  = 7, значит R =  = .
Ответ: .

№9
Около окружности описана равнобокая трапеция с острым углом 60°. Найдите отношение длин оснований.
Решение:  _A = _D = 60° - по условию. Пусть BC = a, AD = b. Т.к. трапеция описанная, то AB + CD = BC + AD, тогда AB = . Проведем высоту BK __ AD. AK = ,   _ABK = 30°и AK = AB, т.е. , отсюда 4(b-a) = 2(b + a)
b = 3a, т.е. b:a  = 1 : 3
Ответ: 1:3.

№10
В равнобокую трапецию ABCD вписана окружность. Отношение площади трапеции к площади четырехугольника, вершинами которого являются точки касания сторон трапеции, равно 8:3. Найдите отношение длин оснований.
Решение: Пусть AD = a, BC = b, PQ = 2r, а K – точка пересечения прямых AB и CD. ∆AKD – равнобедренных, поэтому BK = KC. Пусть BK = x. Из того, что MB = BP =  и CN = CP =   следует, что MK = NK и MN ll BC. Найдем MN.
 (из подобия ∆MKN ∆BKC)
∆MKN ~ ∆AKC, тогда имеем , т.е. MN = (x + ) = a ∙ , откуда x = . MN = .
Имеем: SMPNQ = MNPQ =  ∙ 2r.
SABCD = , следовательно  = 8 : 3,откуда получаем уравнение
3, решая получим , но a>b, тогда .

Ответ: 3:1