Развивающие уроки по геометрии
методическая разработка по геометрии (7 класс) по теме

                                   Муниципальное образовательное учреждение:

                                                     средняя школа № 3

      Тема:

      Развивающие уроки по                                    

             геометрии 

                                                                      Выполнила:                                    

                                                                      Учитель математики

                                                                      Данилова

                                                                      Наталия Евгеньевна

г.Горнозаводск

                                     Содержание:

1 Объяснительная записка.......................................................................3-4

2 Цели и задачи………………………………………………………...….5

3 Введение в геометрию (пропедевтический курс)………………...…6-8

4 Тематическое     планирование……………………….…………………..………………….9

5 Список литературы………………………………………...…………..10

Приложение:

1 Краткое содержание занятий:

Учимся рассуждать и доказывать……………....….11-14

Симметрия вокруг нас…………….………….….…15-19

Геометрия на спичках………………………….…...20-22

Экология и геометрия…………..…………….….…23-28

Лист Мёбиуса……………………………………….29-34

Замечательные кривые……………………………..35-37

2 Геометрия в стихах…………………………………..………38-39

                                  Объяснительная записка

Развитие логики и развитие интуиции (геометрической в частности) – две важнейшие равноправные функции геометрического образования. Пуанкаре писал «Доказывают при помощи логики, изобретают при помощи интуиции»!

Геометрия, как пожалуй, никакой другой предмет, способствует развитию обоих качеств, поскольку логический и интуитивный аспекты в этом предмете переплетаются наиболее тесно. Принципиальным тормозом в деле геометрического образования является установившееся за многие годы положение курса геометрии в школе. По моему убеждению, это необходимо исправить, в связи с этим и предлагаю воспользоваться пропедевтическим курсом изучения геометрии в 4 – 6 классах. Целью этого курса является подготовка к овладению систематического курса геометрии.

Основной недостаток традиционной системы обучения состоит в том, что мы, учителя, в большей степени реализуем всего лишь одну функцию знаний – информационную, оставляя в стороне другую, не менее значительную – развивающую, и хотя эти две функции тесно взаимосвязаны, но они не тождественны. Развивающая функция обучения требует от учителя не просто изложение знаний, в определённой системе, а предполагает также учить школьников мыслить, искать и находить ответы на поставленные вопросы, добывать новые знания, опираясь на уже известные. Несомненно, учащихся надо целенаправленно учить познавательной деятельности, вооружать их учебно – познавательными аппаратами. А где как не на уроках геометрии можно реализовать все эти идеи? Уместно в связи с этим привести слова М.Монтеля: «Мозг хорошо устроенный стоит больше, чем хорошо наполненный!».

За многие годы работы в школе, приходилось работать по разным учебным пособиям, а именно: Колмогорова А.Н, Погорелова А.В, Атанасяна Л.С, испытывая потребность более полного раскрытия таких тем, как логика, преобразования плоскости и, конечно, подготовка к плавному переходу к стереометрии.. в связи с этим предлагаются некоторые уроки геометрии в 7 классе, их можно проводить как в качестве факультативных занятий, так и в качестве дополнительных развивающих уроков по предлагаемой нам прКузнецовой Г.М.

В процессе своей работы я собираю и систематизирую необходимый материал для продолжения темы для 8-9 классов.

Известно, что  степень развитости ученика изменяется и оценивается его способностью самостоятельно приобретать новые знания, использовать в учебной и практической деятельности уже полученные знания. Вот почему в предполагаемых мною уроках большая роль отводится  конструированию, развитию внимания, воображения, пространственного и логического мышления, формировании творческой активности в познании мира и научного мировоззрения. Опыт показывает, что участие школьников в разработке отдельных тем на школьном, районном научных обществах, активная работа на таких уроках, которые предлагаются в моей работе, дают свои положительные результаты. Качество знаний по геометрии в 7-11 классах 45 %.

Нет сомнений в том, что математика является основой для изучения всех предметов естественнонаучного цикла.

По широте практического применения математическое образование несоизмеримо ни с какими другими видами знаний. Исторически сложились две стороны назначения  математики: практическая и духовная.

Практическая – количественная форма деятельности, духовная – развитие мышления человека. Системное мышление очень важно не только математику, но и естествоиспытателю, врачу и лингвисту, экономисту. Очень важно, что геометрия в её расширенном объёме важна для формирования научного мировоззрения, ибо нельзя понять, как устроен мир, не зная геометрии.

                                              Цели и задачи                

В процессе работы по обучению учащихся, возникает необходимость более раннего знакомства с геометрическими фигурами, их свойствами. Целью этой работы является общее развитие ученика, которое понимается как развитие ума, воли, чувств школьника и как надёжная основа усвоения ими знаний, умений, навыков. В программу заложен принцип развития по спирали:

1 виток – знакомство с новыми терминами, определениями, свойствами фигур, дети учатся представлять их наглядно, изображать и т. д.

2 виток – те же геометрические фигуры получают новые свойства, формулы – новый смысл, дети учатся их применять, доказывать.

3 виток – у детей возникают сомнения: а всегда ли истинно то, что мы знаем? А как будет, если ситуация измениться? Идёт полоса ответов на эти вопросы.

Предполагаемые результаты ведения пропедевтического курса  и развивающих уроков по геометрии:

подготовка к осознанному систематическому материалу

расширение теоретических и практических знаний к восприятию более сложных тем

развитие интереса к предмету

развитие логического мышления, умение видеть и понимать красоту окружающего мира

Критерии оценивания:

Дополнительные оценки по данному предмету в классный журнал, дневник учащихся, моральная оценка – поощрение в виде грамот, благодарностей.

                                Введение в геометрию                                                                                  

                  Содержание пропедевтического курса

                                                   4 класс

                                1 час в неделю, всего 34 часа

Что изучает геометрия?

Линии замкнутые и не замкнутые, с самопересечением и без.

Главные линии – прямая и окружность.

Радиус и диаметр окружности, хорда, построение окружности.

Углы. Виды углов, построение, измерение, обозначение, биссектриса угла, построение биссектрисы.

Ломаные. Многоугольники. Равновеликие многоугольники. Правильные многоугольники. Диагональ, основание, высота многоугольника.

Квадрат (периметр и площадь).

Прямоугольник (периметр и площадь).

Треугольник (периметр).

Виды треугольников (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный, равнобедренный, равносторонний).

Сумма углов треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника.

Геометрические тела. Предметы и формы. Прямоугольный параллелепипед.

Куб. объём.

Практическое применение.

Особенности работы с учащимися 4го класса заключаются в следующем:

А) занятия проводятся один раз в неделю;

Б) этот курс ознакомительный, поэтому не ставятся никакие официальные оценки, не проводятся контрольные работы;

В) используется много наглядного материала;

Г) практикуются творческие работы учащихся (рисунки, апликации, модели, сочинения-сказки).

Как показал опыт, учащиеся занимаются с большим интересом, не боятся ошибиться, высказывают своё мнение по любому вопросу.

Для осуществления обратной связи используется сигнал «Светофор». В конце каждого урока дети сигнализируют учителю карточками:

Красная – «ничего не понял»,

Синяя – «понял не очень хорошо»,

Зелёная – «всё хорошо понял».

                                                   5 класс

                                  1 час в неделю, всего 34 часа

Нужно ли изучать геометрию?

Разделы: планиметрия и стереометрия.

Основные геометрические фигуры: точка, прямая, плоскость.

Отрезок и ломаная (измерение, свойства)

Прямая и луч (свойства)

Выпуклые многоугольники. Единицы длины и площади.

Площадь треугольника.

Площадь многоугольника.

Основный свойства площади. Равновеликие фигуры.

Развёртки многогранников. Площадь поверхности.

Углы (свойства измерения углов). Смежные и вертикальные углы, их свойства.

Окружность. Круговая диаграмма.

Тела вращения. Практические измерения.

Особенности работы с учащимися 5-го класса заключаются в следующем:

А) занятия проводятся один раз в неделю;

Б ) во многих изучаемых вопросах требуется обоснование, доказательство, вывод;

В) со второй четверти вводятся оценки, оценивается работа на уроке, даются задания на дом, проводятся самостоятельные, практические и контрольные работы.

Привычка у ребят высказывать своё мнение не теряется, единственное ограничение для них: «Ты не имеешь права перебивать товарища!» поэтому вырабатывается умение слушать и учителя, и одноклассников; умение дать рецензию на ответ, поправить его, если это необходимо, и оценить, при этом велика роль взаимооценки учащихся;

Г) на уроках применяется много занимательных, игровых моментов и т. д.

                                                    6 класс

                                               всего 34 часа

Программа состоит из четырёх блоков.

                                                   1-й блок

Углы, образованные двумя пересекающимися прямыми, при пересечении двух прямых третьей.

Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые (определение и свойства).

Параллелограмм. Ромб. Трапеция.

Расстояние. Перпендикуляр.

Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и окружность.

                                                 2-й блок

Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Шар. Сфера.

                                                 3-й блок

Декартовы координаты на плоскости.

Координатная плоскость. Координаты середины отрезка.

Расстояние между точками.

Столбчатые диаграммы. Графики.

                                                4-й блок

Симметрия.

Осевая симметрия. Ось симметрии фигуры – многогранника, тела вращения.

Центральная симметрия. Центр симметрии фигур – квадрата, куба, круга, шара.

Зеркальная симметрия.

Практические применения.

Особенности работы с учащимися 6-го класса заключается в следующем:

А) курс 6-го класса разделён на 4 блока (по четвертям);

Б) после изучения каждого блока проводятся дифференцированный зачёт, контрольная работа;

В) преобладают групповые и парные формы работы, возрастает роль самооценки учащихся.

                              Тематическое планирование

                                             Литература

Беленкова Е.Ю., Лебединова Е.А. Задания для обучения и развития.-  М., интеллект-центр, 2000г.

Брунов Н. Пропорции античной и средневековой архитектуры. -М. Издательство академии архитектуры, 1975г.

Васготинский Н.А. Золотая пропорция, - М, Молодая гвардия, 1990г.

Зверев И.Д. Экология в школьном обучении: новый аспект образования. Серия «Педагогика и психология». – М, Знания 1980г.

Журнал «Квант» №8/73, № 4/74, № 6/78, № 1/79, № 1/90.

Кордемский Г.А. Математическая смекалка, - М, Просвещение, 1980г.

Саркисян А.А., Колягин Ю.М. Познакомьтесь с топологией. – М, Просвещение, 1976г.

Сб. статей под ред. П.Стратилатора. – М.: Учпедгиз, 1955.

Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир,1989.

Журнал «Математика в школе», 1994, №2, №3.

                                       Приложение 1                                                                                        

                          Учимся рассуждать и доказывать

Цели:

знакомство с методами рассуждения и доказательства;

развитие логического мышления;

знакомство с историей возникновения математики;

Предварительная  подготовка. Найти определение понятий: аксиома, определение, теорема, софизм. Подготовить сообщение об Евклиде.

                                                  Ход урока

1 Вводное слово учителя

Более двух тысяч лет назад в

Древней Греции получили первоначальное развитие

основные представления и обоснования науки геометрии.

Как наука геометрия оформилась к 3 в. до н. э. Благодаря трудам

геометрических математиков и философов Евклида, Фалеса, Пифагора, Гиппократа, Евдокса и др.

геометрия изучает свойства  фигур. Эти свойства выражаются различными предложениями:

определения;

аксиомы;

теоремы,

с которыми мы встречались не только на уроках геометрии, но и алгебры, физики, химии, а так же в повседневной жизни.

Работать будем в группах, в        каждой группе должен быть старший, который оценит работу каждого.

                Фрагмент страницы

                    первого печатного

                     издания «Начал»

                            Евклида

 2 Определения

Повторим, что такое определение, какие бывают виды определений.

        Определение- предложения, которые разъясняют данное понятие через уже известные понятия. Виды определений: путем показа, через род и вид, генетическое.

         Задания по группам. Дайте наиболее точное определение понятий: стул, квадрат, термометр, циркуль, прямоугольник.

          3 Аксиомы

Аксиомы – предложения, которые принимаются без доказательства. Аксиома – это истина, достойная признания.

          4 Теоремы

 Теоремы – предложения о свойствах фигур, истинность которых устанавливается путем рассуждений. Эти рассуждения называются доказательством. Всякая теорема имеет условие (что дано) и заключение (что надо доказывать). Теоремы формулируют, как правило в следующем виде.

           Если А (условие), то В (заключение).

           Если углы вертикальные, то они равны.

           Задание. В предложенных умозаключениях выделите условие и заключение.

Смежные углы равны.

Число, сумма цифр которого делится на 3, само делится на 3.

Квадрат четного числа является четным числом.

5 Прямая и обратная теоремы

Прямая теорема: если А, то В.

Обратная теорема: если В, то А.

Следует обратить внимание учеников на то, что в обратной теореме меняется местами условие и заключение.

          Задание. Для каждого из утверждений постройте ему обратное и определите, верно ли оно.

Смежные углы равны.

Число, сумма цифр которого делится на 3, само делится на 3.

Если число оканчивается на 5, то оно делится на 5.

Если треугольник равнобедренный, то у него углы при основании равны.

Вертикальные углы равны.

     6 Доказательство

Не всякое предложение, в котором есть условие и заключение, верно. Истинность всегда приходится доказывать. Математики всегда считают, что теорема верна, если она доказана.

Вопросы

1.Может ли в слове быть три гласные подряд? (докажите.)

2. Знаете ли вы жирафа? Чем он отличается от других животных?

Это длинношеее животное. В слове три гласные буквы. Приведен пример, но доказано ли утверждение?

                                                                             (да)

3. при доказательстве утверждения, что сумма двух нечетных чисел есть число четное, приведен пример: 2+5=8. достаточно ли этого примера?

                                                                               (нет)

Вывод. Пример иногда может служить доказательством, а иногда нет.

Некоторые виды доказательств.

1 Из аксиом и определений. Вспомните доказательство теоремы о равенстве вертикальных углов. Воспроизведите это доказательство. Как оно построено? Из чего вытекает каждый последующий факт?

                            (из определения смежных, вертикальных углов

                                                                                       и их свойств.)

2 Метод от противного ( лат.:«приведение к абсурду»). Предположим, что утверждении не верно, после чего приходим с помощью рассуждений к противоречию. В основе этого метода лежит здравый смысл. Не случайно именно с его помощью доказано большинство утверждений в Древней Греции. Этот метод любил использовать Евклид.

Сообщение об Евклиде (подготовлено учеником дома).

Задание. С помощью метода от противного докажите, что два смежных угла не могут быть острыми и два смежных угла не могут быть тупыми.

Работа в группах

Задание. Докажите правильность высказываний.

Число 17 не может быть корнем уравнения

131х+73х+1023х+19х+81х=100.

Доказательство. Пусть 17 – корень уравнения, тогда при подстановке его в уравнение вместо х получаем верное равенство, т. е. либо 100 должно делиться на 17, либо 100 должно делиться на (131+73+1023+19+81).

Но это не верно. Значит, данное предположение неверно и 17 не является корнем данного уравнения.

Хотя бы у двух учеников школы совпадает день рождения.

В 1931 г. А. М. Горький сказал, что «новые слова будут возникать и впредь».

 Паук – это не насекомое.

                                   ( у паука 8 лап, а у насекомых -6)

3 Контрпримеры. Иногда бывает удобно и возможно доказать утверждение, приведя всего один пример. Этот способ используют при опровержении фактов.

Задание. Опровергнуть факты, приведя всего один пример.

Птицы отличаются от других животных наличием крыльев.

Во всяком равнобедренном треугольнике угол при основании равен 60º.

Если у четырехугольника углы равны 90º, то это квадрат.

Все кошки черные.

6 Подведение итогов

Старшие в группах оценивают работу каждого члена группы. Работу старших оценивает вся группа. Оценочные листы по окончании урока сдаются учителю. Ученики, приготовившие доклады, получают оценки за оформление работы.

                                                Симметрия

                                                 Вокруг нас

Цель. Формирование понятия о симметрии и умения видеть явления симметрии в окружающем мире; развитие внимания, наблюдательности и интереса к предмету, развитие математических способностей учащихся.

                                                                   Я в листочке, я в кристалле,

                                                                  Я в живописи,  в архитектуре,

                                                                  Я в геометрии, я в человеке.

                                                                  Одним я нравлюсь, другие

                                                                  Находят меня скучной.

                                                                  Но все признают, что

                                                                  Я – элемент красоты.

                                             Ход занятия

Сегодня на занятии мы прикоснемся к удивительному математическому явлению – симметрии. В древности слово «симметрия» употреблялось как «красота», «гармония». Термин «гармония» в переводе с греческого означает «соразмерность, одинаковость в расположении частей». Известный немецкий математик нашего столетия Герман Вейль дал определение симметрии таким образом: «Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».

Принцип симметрии играет важную роль в математике, архитектуре и др. Посмотрим внимательно на рисунки (рис. 1 и 2). Что вы на них увидели?

                                                                           Рис. 1

                                                                                                Рис. 2

 Такие фигуры называются симметричными, а прямую, разъединяющую эти фигуры – осью симметрии. Если согнуть лист по этой прямой, то эти фигуры полностью совпадут, и мы будем видеть одну фигуру (продемонстрировать данное упражнение).

А как же получить симметричные фигуры? На этот вопрос нам поможет ответить следующее задание.

 Практическая работа № 1

Возьмите лист бумаги и перегните его пополам. Теперь разверните и на одной стороне постройте треугольник. Далее сложите лист по линии сгиба и прокалите вершины данного треугольника так, чтобы были проколоты обе половинки. Теперь разверните лист и соедините по линейке полученные точки – дырочки. Таким образом, мы с вами построили симметричный данному треугольник. Убедитесь в этом. Для этого сложите лист по линии сгиба и посмотрите через него на свет. Что вы видите? Это самый простой способ построения симметричных фигур.

А теперь давайте немного пофантазируем.

Практическая работа № 2

Одни ребята берут лист бумаги. Согнув его пополам, вырезают из него какую-нибудь фигуру, но так, чтобы линия сгиба не была повреждена.

Другие берут салфетку, сложенную вчетверо, и вырезают снежинку.

А теперь внимательно рассмотрим полученные фигуры. Линия сгиба вырезанной фигуры делит её на две равные части. Такая фигура называется симметричной относительно прямой (линии сгиба), а линия сгиба – осью симметрии.

Рассмотрим снежинку. Сколько у неё получилось линий сгиба(осей симметрии)?

Можно сделать вывод. Если внимательно рассмотреть геометрические фигуры, то среди них есть фигуры, имеющие одну или несколько осей симметрии. А есть фигуры, у которых осей симметрии нет.

Практическая работа № 3

У вас на столах имеется набор геометрических фигур. Работая совместно в группах, вы, сгибая данные фигуры любым доступным способом, постарайтесь совместить половинки фигур друг с другом. В процессе работы вы должны определить, какие фигуры обладают симметрией, а какие нет. Попробуйте определить и количество осей симметрии у каждой фигуры.

А скажите, у всех ли фигур вам удалось соединить половинки так, чтобы они полностью совпали? Какой вывод можно сделать о таких фигурах? (Данные фигуры не симметричны, то есть не обладают свойствами симметрии и осей симметрии не имеют.)

А какая фигура имеет больше всего осей симметрии? Конечно же круг. А вы знаете, что ещё в Древней Греции круг считали венцом совершенства?

                              Набор геометрических фигур

                                                                         равносторонний

                                       равнобедренный         треугольник

                                          треугольник

Во всех рассмотренных случаях мы имели дело с симметрией, которая называется осевой, так как данные фигуры симметричны (расположены одинаково) относительно прямой (оси). Но ведь существуют и другие виды симметрии, например центральная, поворотная и зеркальная (продемонстрировать по одной фигуре на каждый вид симметрии).

Сегодня мы с вами остановимся подробнее на зеркальной симметрии. Если поставить зеркало вдоль  оси симметрии фигуры, обладающей осевой симметрией, то мы увидим, что отражённая в зеркале половинка фигуры дополнит её до целой фигуры. А знаете ли вы, что не только геометрические фигуры имеют оси симметрии? Если внимательно присмотреться к печатным буквам латинского алфавита, то можно увидеть, что некоторые буквы обладают осевой симметрией. Например «Н» имеет горизонтальную и вертикальную ось симметрии.

                                                        Н                                                                                            

Практическая работа № 4

У вас на столах находиться алфавит. С использованием зеркала определите, какие из букв имеют горизонтальную, а также вертикальную симметрию, а какие вовсе не имеют симметрии. (В результате выполнения работы у учащихся должна получиться следующая картина)

Буквы «Л» и «Д» в другом шрифте имеют ось, поэтому их лучше написать от руки.

Из букв, которые обладают горизонтальной осью симметрии, можно составлять слова, которые тоже будут обладать горизонтальной симметрией. Например: КОФЕ.

Теперь предлагаю вам игру. Из букв, обладающих горизонтальной осью симметрии, составьте слова, которые также будут обладать горизонтальной симметрией. За 2 минуты составьте как можно больше слов.

Встретились ли кому слова, которые обладают вертикальной симметрией? Например, такие как ШАЛАШ, ТОПОТ,  ПОТОП. Мы рассмотрели проявление симметрии но плоскости. Но симметрия существует и в пространстве, но вместо оси симметрии там плоскость симметрию (демонстрация пространственных фигур, обладающей симметрией: куба, шара, призмы, пирамиды.)

Симметрия широко распространена в природе. Мы можем видеть её, когда смотрим на жуков, бабочек, листья деревьев (для демонстрации можно взять плакаты в кабинете биологии). Симметрия, характерная для представителей животного мира, называется билатеральной симметрией.

Так же издавна человек использовал симметрию в архитектуре (можно пригласить учителя ИЗО). Симметрия придаёт древним храмам, башням замков, современным зданиям гармоничность и законченность (привести пример здания, где прослеживается симметрия).

Однако симметрия существует там, где её не видно на первый взгляд. Физик скажет вам, что всякое твёрдое тело – это кристалл. Знаменитый крсталлограф Евграф Степанович Фёдоров сказал: «Кристаллы блещут симметрией». Химик скажет, что все тела состоят из молекул, а молекулы состоят из атомов. А многие атомы располагаются в пространстве по принципу симметрии (демонстрация молекул в увеличенном виде).

На нашем занятии мы рассмотрели различные виды симметрии. Мы увидели, что она встречается часто и повсеместно. Поэтому даже не искушённый человек обычно легко усматривает симметрию в относительно простых её проявлениях.

Итог занятия

С каким понятием мы сегодня познакомились? Какие виды симметрии вы запомнили? Что нового вы узнали?

(В конце занятия можно процитировать Леонида Мартынова.)

На зеркальной поверхности

Сидит мотылёк.

От познания истины

Бесконечно далёк.

Потому что, наверное,

И не ведает он,

Что в поверхности зеркала

Сам отражён.

                                     Геометрия на спичках

Форма урока: соревнования между группами одного класса

Педагогические возможности: для разной категории учащихся, глубокое знание математики не обязательно. Для сообразительных учащихся, обладающих пространственным воображением.

В начале учебного года у семиклассников появляется новый предмет – геометрия, значение которого трудно переоценить. Очень важно в первые месяцы привить любовь и уважение к предмету.

Коробок спичек – отличное пособие для геометрических задач и развлечений, требующих сообразительности. Из спичек можно составить всевозможные прямолинейные фигуры, превращать одну фигуру, в другую путём перекладывания спичек, составлять слова. Даже теоремы можно доказывать на спичках! Причём спички – самое демократичное пособие, которое есть в любом доме. Никаких тебе дорогостоящих головоломок и электронных игр, а эффект тот же. (Конечно, если при этом не играть с огнём.) Поиски решения любой задачи развивают мышление, повышают уровень математической грамотности, учат мыслить нестандартно. Поэтому я предлагаю вашему вниманию урок геометрии на спичках в 7-м классе под названием «Осторожно, спички!».

Краткие советы по проведению

На доске эпиграф.(Придумать самим)

По ходу урока на доске учитель или ведущий поясняет ответы участников или даёт (демонстрирует) верные решения. Столы в классе расставлены так, чтобы все группы находились изолированно друг от друга. После прочтения вопроса учителем команды обсуждают решение в течении 3 мин. Первой отвечает та команда, которая раньше нашла верное решение. В начале урока учитель должен сделать введение на 3-5 мин, в котором можно напомнить участникам о необходимости умения логически мыслить, рассуждать в любой сфере человеческой деятельности. Далее поясняется ход урока и правила соревнования.

Вопросы командам:

1 Задача для разминки «Домик». Переложив 1 спичку, нужно повернуть домик в другую сторону.(Потребуется 11 спичек)

                                                    Ответ:

2 Арифметическая задача. Переложив 1 спичку, превратите равенство из неверного в верное. Задача имеет насколько решений.

                                                   Ответ:

3 Задача на сообразительность. Как из пяти спичек, не ломая их сделать восемь?

Ответ:

4 Задача с квадратами. (потребуется 16 спичек.)переложив с одного места на другое 2 спички, сделайте из 5 квадратов 4 квадрата таких же размеров.

        Ответ:

5 Задача «Золотая рыбка». (потребуется 8 спичек). Передвинув 3 спички, заставьте рыбку плыть в другую сторону.

                                                    Ответ:

6 Задача о чистоте и порядке. (потребуется 5 спичек). Переложив 2 спички, уберите мусор из совка. При этом спичку, изображающую мусор, не трогать. «Пустой» совок не обязательно должен стоять на ножке, он может лежать на боку, быть повёрнутым, но не должен терять своей формы.                  

                                         Ответ:

7 Задача – шутка. Из тринадцати спичек, длиной в 4 см каждая, нужно сложить метр.

Ответ:

8 Шпионская задача «Осада крепости» из 16-ти спичек выложен «план крепости», окруженной глубоким рвом. Как при помощи двух досок – спичек, длина которых равняется ширине рва, пробраться в крепость?

                                                   Ответ:

9 Арифметическая задача. (Потребуется 12 спичек). Сначала в 1) убрать, а затем в 2) переложить оду спичку, получить верное равенство.

Ответы:

1)                                     2)

10 Абстрактная задача. Из шести спичек построить четыре равносторонних треугольника.

Ответ: задача в пространстве: тетраэдр.

Подведение итогов

Ведущий поздравляет команду – победительницу с победой и вручает каждому участнику удостоверение «Юный друг пожарного» со следующим текстом:

Наиболее отличившиеся участники получают оценку «отлично» по геометрии.

                                          Экология и геометрия

В современном мире экология как наука приобретает особое значение в связи с усилением воздействия человека на природу. Она уже не может считаться только наукой об отношениях живых организмов с окружающей средой. Задачами экологии на современном этапе является поиск новых путей существования человека и природы, изучение философских, социальных, экономических, образовательных и других проблем, стоящих перед обществом.

При преподавании школьных предметов имеется возможность продемонстрировать взаимосвязи между понятиями, принятыми в различных областях знаний, и процессами, протекающими в природной среде, в человеческом обществе.

При изучении геометрии в школе можно установить взаимосвязи между геометрическими понятиями и окружающим миром. Продемонстрируем это на примере изучения свойств «золотого сечения».

С древности, наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искала закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное, т. е. Пытались вывести «формулу красоты».

Ряд «формул красоты» известен. Это – правильные геометрические формы: квадрат, круг, равносторонний треугольник и т. д.; это – законы симметрии. Можно привести множество примеров присутствия симметрии в окружающем нас мире. Симметрию легко обнаружить в природных и рукотворных формах. Эстетическое наслаждение, получаемое человеком при наблюдении совершенных форм предмета, объясняется не только выполнением законов симметрии, но и присутствием так называемой «божественной» пропорции, «золотого сечения» а соотношении частей, на которые предмет делиться естественным образом. Соблюдение пропорций в природе, искусстве, архитектуре обозначает соблюдение определённых соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания. «Золотое сечение» являлось критерием гармонии и красоты во времена Пифагора и в эпоху Возражения. Знание об этом уникальном отношении частей к целому продолжают наполняться новым содержанием, проникая в самые разнообразные области человеческих знаний.

При изучении пропорций, прямоугольных треугольников, теоремы Пифагора, прямоугольников и правильных пятиугольников имеется возможность для ознакомления с понятием «золотого сечения». Одновременно с этим может быть найден подход к решению одной из задач воспитания экологической культуры – созданию целостной картины мира в сознании школьников. Подойти к решению этой задачи можно, используя в курсе планиметрии такие примеры, которые продемонстрируют связь математических понятий с окружающей действительностью.

Приведём примеры того, как понятие «золотое сечение» находит применение для описания закономерностей окружающего мира предметов и явлений.

При изучении понятия «пропорция» имеется возможность ознакомить школьников с «золотым сечением». Можно дать следующее определение: «золотым сечением» называют такое деление отрезка на две неравные части, при которой длина меньшей части так относится к длине большей части, как длина большей части к длине всего отрезка, т. е. При «золотом сечении» отрезка АВ точкой С (рис.1) имеет место следующая золотая пропорция: АС/СВ = СВ/АВ.

                                                   А      С                В

                                                                               Рис. 1

Число, равное соответствующим отношениям, называют коэффициентом «золотого сечения» и обозначают буквой . Приближенное значение этого числа с точностью до десятых долей равно 0,6.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый.

Звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду и в качестве талисмана, она считается символом здоровья и служила опознавательным знаком.

Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход, больной перед смертью просил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома о том, каким образом она появилась у входа. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его.

Пентаграмма была хорошо известна и в Древнем Египте. Но непосредственно как эмблема здоровья она была принята лишь в Древней Греции.

В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предполагать, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.

«Золотое сечение» в скульптуре.

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния.

Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения.

Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения». Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям.

Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского и Афины Парфенос.

« Золотое сечение» в архитектуре.

В книгах о «золотого сечения» можно найти замечание  о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. « Золотое сечение» дает наиболее спокойное отношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфеон (V в. до н. э.)

Парфеон имеет 8 колон по коротким  сторонам и 17 по длинным сторонам. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. если произвести деление храма  по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.

Известный русский архитектор Казаков в своем творчестве широко использовал «золотое сечение». Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб например ,»золотое сечение» можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту Казакова в Москве была построена Голицинская больница, которая в настоящее время называется первой клинической больницей имени Н.И, Пирогова.

Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В.Баженова.

Прекрасное творение Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то,  что он сильно обгорел в 1812 году. При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертеж нижнего этажа.

Многие высказывания зодчего заслуживают внимание и в наши дни. О своем любимом искусстве Баженов говорил: «Архитектура – главнейшее имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания… к достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождением является рассудок».

«Золотое сечение» в живописи.

Переходя к примерам «золотого сечения» и живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета.

Однажды Леонардо да Вини получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекали внимание простота и естественность облика. Леонардо согласился написать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

Сказка

Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так и сяк. И вот пришла за ним смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: «Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас научится, чтобы мог кормить сам себя». Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи.

Пришел первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер он сшил для нее красивую шелковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями – ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, зл ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. Он знал песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула.

Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: «Ты должна быть моей женой».

Но женщина ответила: «Ты меня создал – будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил – будьте мне братьями. А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь».

Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лиз, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом,  точно пробудившись ото сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано – художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезла с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество.

Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель…

Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о  том глубоком знании Леонардо строении человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили  о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой.

Несмотря на успех, Леонардо был мрачен, положение во Флоренции показалось художнику тягостным, он собрался в дорогу. Не помогли ему напоминания о нахлынувших заказах.

                                                  Лист  Мёбиуса

Оборудование

Модели односторонних поверхностей;

Солдатики (из бумаги или оловянные) по одному на парту;

Прозрачный цилиндр, муха и паук;

Бумажные ленты(10 штук)

Прямоугольный лист бумаги, «гармошка» из такого же листа и лист Мёбиуса

Фотографии из журнала «Квант», №4/78

Рисунки из книги Саркисяна А.А., Колягина Ю.М. «Познакомьтесь с топологией»

Выставка книг и журналов, в которых можно прочитать о листе Мёбиуса;

Всё для фокуса с насыщенным раствором калиевой соли. Пропитать полоску бумаги насыщенным раствором с обеих сторон;

Оформленная соответствующим образом доска;

Бумажные ленты, ножницы, клей, карандаши, линейки на каждой парте.

Что такое лист Мёбиуса?

1-й ученик. Что бы ты сказал, если тебе сшили рубашку без изнанки?

2-й ученик. Значит, её можно надевать с обеих сторон. Это здорово!

1-й ученик. Нет, тут дело посложнее: рубашка с одной стороны.

2-й ученик. Не морочь мне голову, таких рубашек не бывает.

1-й ученик. Конечно, я пошутил. Но вообще одностороннюю поверхность можно сконструировать. Вот, например, цилиндр (свёртывает в трубочку листок бумаги). Он представляет собой двухстороннюю поверхность. Если двигаться по одной его стороне ( водит концом карандаша по внешней стороне цилиндра), то, не пересекая «границы», нельзя очутиться на другой стороне, т. е. внутри цилиндра. А теперь смотрите. (Берёт длинную полоску бумаги и склеивает лист Мёбиуса). Я ставлю жирную точку на одной стороне этой ленты и буду водить карандашом по ней вправо.

2-й ученик. И ты надеешься придти в ту же точку, но на другой стороне этого листа? Этого не может быть, потому что этого не может быть никогда!

1-й ученик. Эх ты, Фома – неверующий! Смотри! (Все видят, что карандаш оказался с другой стороны листа). Теперь попробуй ты.

Сюрпризы листа Мёбиуса

1 Как склеить лист Мёбиуса?

(Учитель показывает, как склеить лист Мёбиуса.) мы получили знаменитое бумажное кольцо. У него даже есть своё название – лист Мёбиуса. Это односторонняя поверхность, её впервые рассмотрели независимо друг от друга в 1858-1865 гг. немецкие математики А.Ф Мёбиус и И.Б. Листинг.

2 Практическая работа

Склеить кольцо.

Одно разрезание

Два разрезания

3 Вывод

Вот такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из неё лист Мёбиуса. У этого листа много удивительных свойств. Сейчас вы в этом убедитесь.

4 Сколько сторон у листа Мёбиуса?

Лента, из которой сделан лист Мёбиуса, имеет две стороны. А у него самого, оказывается, только одна сторона. Это подтверждает:

Окраска листа

Модель – прозрачный цилиндр, муха и паук на внутренней и внешней стороне. А если их посадить на лист Мёбиуса?

Опыт с солдатиком – перевёртышем (круголистное путешествие проделывают сами ученики).

Фокус с насыщенным раствором калиевой соли (поджигать тлеющим огоньком).

Доклады учащихся

Мёбиус Август Фердинанд

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят лента Мёбиуса) открыл в 1868г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как и Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией давало достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляло время для размышлений. А. Ф. Мёбиус – в течении более чем 15 лет наблюдатель, а потом директор Лейпцигской астрономической обсерватории, был разносторонним ученым. Он сделал много интересных открытий, стал одним из крупнейших геометров девятнадцатого века. В возрасте 68 лет он сделал поразительное открытие – односторонние поверхности, одна из которых – лист Мёбиуса. Мебиус является одним из основателей современной топологии.

Что такое топология?

Ответить на вопрос о том, что такое топология, не просто. Для того,  чтобы в полной мере оценить задачи, которые решает эта научная дисциплина, необходимо серьёзное изучение многих весьма сложных вопросов.

Лист Мёбиуса – один из объектов топологии. Топология – «геометрия положения». Мы уже говорили об удивительных свойствах листа Мёбиуса: он имеет один край, одну сторону. Данные свойства не связаны с его положением в пространстве, с его понятием расстояния, угла и, тем не менее, они имеют геометрический характер. Изучением этих свойств занимается топология. Свойства этого типа, не смотря на кажущуюся их непривычность, связаны с наиболее абстрактными математическими дисциплинами – алгеброй и теорией функций. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывной деформациях (как если бы они были сделаны из резины). С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и то же. Сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Понятие и теоремы топологии полезны во всех областях математики, в технике, экономике, психологии.

Учитель. Топология – одна из наук, в которых не решены многие проблемы. Они ждут вас. Быть может, кто-то из вас внесёт свой вклад в её развитие.

Некоторые примыкающие к топологии математические факты могут быть использованы при решении интересных «занимательных»задач. Об этом рассказывает книга А.А. Саркисяна и Ю.М. Колягина «Познакомьтесь с топологией»

Эксперименты для всех

Возьмём ленту, разделим на несколько одинаковых полосок каждую сторону. Будем разрезать по этим линиям склеенный лист Мёбиуса.

1. На три полосы.

2. На четыре полосы.

3. На пять полос.

выводы:

Один разрез – одно большое кольцо;

Два разреза – сцеплены одно большое и одно маленькое кольца;

Три разреза – сцеплены два больших кольца;

Четыре разреза – на одном маленьком два больших кольца.

Лист Мебиуса в искусстве

Лист Мёбиуса – это наиболее известная односторонняя поверхность. О нём упоминается в художественной литература.

1.Приведём цитату из романа коста-риканского писателя Хоакина Гутьерреса «Умрём, Федерико?». «Сегодня учительница показала нам ленту Мёбиуса. Вот это здорово! Возьмёшь бумажную полоску – лучше от газеты, чтобы были длиннее, и увидишь, что полоска имеет две стороны; подтверждение этому – если муравей захочет поползать по одной стороне, он может сколько угодно делать это, но чтобы попасть на другую сторону, он должен обязательно перелезть через кромку. Поэтому и говорят, что полоска имеет две стороны. А вот лента Мёбиуса получается так. Надо перевернуть один конец (стороны) полосы, словно собираешься её закручивать, но делаешь всего один поворот и склеиваешь концы. Тогда бумага будет иметь только одну сторону, и любой, кто хочет, может проверить, если сомневается. Ведя пальцем, будто преследуешь муравья по всей ленте, вдруг убеждаешься в том, что обе стороны сошлись в одну и не надо пересекать кромку».

2. лист Мёбиуса на раз использовали художники и скульпторы. Довольно много разнообразных рисунков  с изображением листа Мёбиуса, оставил известный художник М. Эшер (1898 – 1917). Серию вариантов листа Мёбиуса создал скульптор Макс Билл (родился в 1908). В течении почти 20 лет он неоднократно обращался к листу Мёбиуса, стремясь выразить в скульптуре идею вечного движения и развёртывающейся в пространстве формы. Скульптура «Узел без конца» находится в национальном музее современного искусства в Париже.

3. ещё более романтическое описание листа Мёбиуса мы встречали в повести Э. Успенского «Красная рука, чёрная простыня, зелёные пальцы»

«…но более всего поразил Рахманина какой-то старинный то ли знак, то ли вензель, то ли орден очень и очень аккуратной работы. Никогда раньше он не видел ничего похожего. Это изделие напоминало или старинный герб иностранного дворянского рода, или герб страховой компании, торгующей научными приборами, потому что основу его составляла лента Мёбиуса.

Эта вещь понравилась Рахманину … В знаке совершенно точно проступал какой-то смысл, были заложены определённые пропорции и связи.

Рахманин зашёл в ванную и стал с мылом отмывать загадочный знак старой зубной щёткой. Знак с каждой минутой проявлялся, как хорошая цветная фотография. Он оказался многоэмалевым, тонкой, почти невозможной работы. На нём были написаны какие-то формулы и отлиты что-то означающие фигуры, как на средневековых гербах. Рука с мечом, перерубающая цепь, змея с красными глазами, цветные цветы и многое другое. Вещь была красивая, просто музейная».

4. немецкий математик Феликс Клейн в 1882 г. построил ещё одну одностороннюю поверхность, но уже замкнутую, которую в честь его назвали бутылкой Клейна. Неизвестный автор посвятил этому шуточное стихотворение.

Великий Феликс,

Славный Клейн,

Мудрец из Геттингема

Считал, что Мёбиуса лист –

Дар свыше несравненный.

Гуляя как то раз в саду,

Воскликнул Клейн наш пылко:

«Задача проста –

Возьмём два листа

И склеим из них бутылку!»

Ещё сюрпризы

Какой нужно взять бумажную полоску, чтобы склеить ленту Мёбиуса?

Ожидаемый ответ. Полоска должна быть длинной и узкой с возможно большим отношением длины к ширине. Скажем, из квадратного листа ленты Мёбиуса не склеишь.

Это верно, но с одной оговоркой, которую легко недооценить: ограничение размеров имеют значение лишь в том случае, когда бумагу не запрещается мять. Если же это возможно, то ленту Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но даже из прямоугольника любых размеров – склеиваемые стороны могут быть могут быть даже во сколько угодно раз длиннее несклеиваемых.

Сделать это можно так. Сложим прямоугольный лист в гормошку, перегнув его чётное число раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим ленту Мёбиуса, вставляя соответствующие части гармошки друг в друга. Лента Мёбиуса склеена, но лоист бумаги оказался смятым.

Задание на дом

1 Изготовьте лист Мёбиуса и окрасьте его, не переходя через край ленты.

2 Изготовьте 4 полоски бумаги. Две из них разделите на две части, а две – на три части. Что получиться, если перед склейкой:

Ленту перекрутить дважды, а затем разрезать;

Ленту перекрутить трижды, а затем разрезать?

Конструкторская смекалка

1 Как составить цепочку в три звена из трёх лент, чтобы при разрезании любого звена вся цепочка распалась на три части?

2 Как составить цепочку в пять звеньев из пяти лент так, чтобы существовало одно звено, при разрезании которого цепочка распалась бы на пять отдельных частей

3 Как составить цепочку в пять звеньев из пяти лент, чтобы при разрезании любого звена вся цепочка распалась на пять отдельных частей?

Замечательные кривые

Цели:       1 Рассмотреть примеры замечательных кривых, показывая                           удивительный мир геометрии.

                 2 Формировать пространственное воображение.

                 3 Развивать пространственное мышление.

Основная задача:          Научиться различать по виду и изображать замечательные кривые.

                                                  Эллипс

Возьмите простой лист бумаги, прикрепите к нему в двух точках нитку, натягивайте карандашом эту нитку (рис. 1).

Эта линия называется эллипсом. Все точки эллипса, как видно из построения, обладают одним свойством: сумма расстояний от них до двух точек плоскости (эти точки называются фокусами эллипса) постоянна.

     На самом деле эллипсы в нашей жизни            

     Встречаются гораздо чаще, чем кажется.

Например, когда мы режем наискосок колбасу,

То получающийся кусок  имеет эллиптическую форму.

Планеты движутся вокруг солнца по эллиптическим

                                                                                                     Рис.1

орбитам, причём солнце находится в одном из фокусов. У эллипса есть целый ряд свойств, которые могут иметь самые неожиданные применения. Так, если мы сделаем зеркало в форме эллипса и поместим в одном из фокусов источник света, то лучи, отразившись от зеркала, соберутся в другом фокусе.

Окружность – частный случай эллипса, она получается, если фокусы эллипса совпадают.

                                                   Гипербола

Для этой кривой мы не можем предложить, как в предыдущем случае, достаточно простой «гиперболический циркуль», позволяющий вычерчивать гиперболу и одновременно показывающий её основное свойство. Поэтому начнём с указания основного свойства, задающего гиперболу                                                                                                      АМ1–М1В=ВМ2-М2А

Гипербола – это линия, для всех точек которой разность до двух заданных точек плоскости (фокусов гиперболы) есть величина постоянная (рис. 2).

Гипербола состоит из двух частей (двух отдельных ветвей). Все точки одной ветви.                                                                                        

Ближе к одному фокусу (соответствующим образом берется разность расстояний), а другой к другому.

                         М1

         М2

                                В

   А

             Рис.2

.

                                                   Парабола

Эта замечательная кривая не так уж редка в природе. Например, камень, брошенный

человеком под углом к поверхности Земли, описывает параболу.

Все только что рассмотренные линии (эллипс, гипербола и парабола) объединяются общим свойством. Каждая из них может быть получена при пересечении конуса плоскостью.

Поэтому их называют КОНИЧЕСКИМИ СЕЧЕНИЯМИ (рис.3)

                      Рис. 3                                                                

                                          Спираль Архимеда

Пусть по радиусу равномерно вращающегося диска с постоянной скоростью ползёт муравей. Проползая вперёд, он одновременно смещается в сторону вращения диска. Таким образом, путь муравья представляет кривую. Она называется спиралью Архимеда (с латыни спираль означает изгиб, извив).

                                                   Синусоида

Сделайте из плотной бумаги, свернув её несколько раз, трубочку. Разрежьте эту трубочку наклонно. Если трубочку не разворачивать, то в сечении будет эллипс. Какую линию образует разрез, если развернуть одну из частей трубочки? Перерисуйте эту линию на лист бумаги.

Получается одна из замечательных кривых, называемая синусоидой.

                                                     Кардиоида

Вырежьте два одинаковых картонных круга. Один из них закрепить неподвижно. Второй приложите к первому, отметьте на его краю точку А, наиболее удалённую от центра первого круг. Прокатите без скольжения подвижный круг по неподвижному и понаблюдайте, какую линию опишет точка А. Начертите эту линию.

Это кардио. Такое название она получила из-за сходства с сердцем (с греческого кардио обозначает сердце).

     Приложение 2

                                    Геометрия в стихах

 Стихи написаны учениками средней школы, их легко запомнить и они станут помощниками в учёбе.

               Отрезок

Вам стишок читаю новый,

Кто запомнит – молодец.                      А                           В

У отрезочка любого

Есть начало и конец.

                   Луч

Вдруг на небе из-за серых тёмных туч

Показался долгожданный солнца луч,                  А             В

У которого, открою вам секрет,                         Луч АВ. Точка А - начало

Есть начало, а конца, ребята, нет.                      Луча АВ. Конца у луча НЕТ

                Прямая

Всё, что в жизни нашей свято,

Мы не в праве отрицать.                              К                  М

У прямой же нет, ребята,                             Прямая КМ или МК

Ни начала, ни конца.

                Шкала

Там, где труд не знает лени,

Хорошо идут дела!

Там, где числа и деленья,

Получается шкала.

Длина каждого деленья –                                          Шкалы:

Единица измеренья.                               Термометра                   часов

                 Угол

У человека два плеча,                                                 В

А в сутках день да ночка.

Углом назвали два луча –                             О                 А                                        

С началом в общей точке.                              АОВ или      ВОА

      Развёрнутый угол

На прямой отмечаете точку,

Два луча отмечаете точно,                            В           М           А  

А лучи, дополняя друг друга,                          АМВ - развёрнутый

Образуют развёрнутый угол.

 Как получить прямые углы

Кому не приятна за труд похвала,

Разгонит, которая тучи.                                    

Развёрнутый угол дели пополам,                              

Прямые углы ты получишь.

           Прямой угол

Часто снег идёт зимой

И приносит радости.                                       900

Угол, помните, прямой –                                  

Девяносто градусов.

           Тупой угол

Каждый день решай подольше;                         К        Р

Наш совет тебе, Деменьшин,

Не сходи с математической тропы.

Уголок прямого больше,                                                О             М

А развёрнутого меньше,                                                 МОК - тупой

Называют в математике тупым.

              Острый угол                                               В             С

Оля, Таня и Вова

Отличаются ростом.

Угол меньше прямого                                              О                   А                            

Называется острым.                                                       АОС - острый

       Биссектриса угла                                                                                                                                                          

Задают вопрос Борису:

Что такое биссектриса?                                            С

Математик-виртуоз        К

Так ответил на вопрос:

Это луч, который нам                                      

Делит угол пополам.                                                  В                  А

Он выходит на века                                                             АВК =     КВС

Из вершины уголка.                                             Луч ВК – биссектриса угла