вычисление площадей различных фигур
методическая разработка по геометрии (8 класс) по теме

Конспект урока по геометрии :

« Решение задач с использованием свойств площадей»

Цели урока:

развивающие- формирование и развитие:

а) мыслительных операций (сравнения, абстрагирования, обобщения, конкретизации,  анализа,  синтеза);

в) форм мышления: умозаключений по индукции и аналогии;

образовательные – формирования навыков решения сюжетных задач;

воспитательные - формирование предприимчивости (успешной стратегии поведения при наличии выбора решений); интереса к  математике.

План урока:

1) Сообщение учителя

2)Задача: «Смотри»

3)Задача: «Не верь глазам своим»

4)Задача с центроидом в прямоугольном треугольнике

5) Рефлексия

 Ход урока:

1)Мотивация:

При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов  нет, и выбрать наиболее подходящую данному случаю теорему не просто. Поэтому желательно в каждой теме выбрать общие положения полезные  каждому  из нас. Для успеха в наших поисках повторим ранее изученные свойства площадей и  познакомимся с  некоторыми полезными свойствами (слайд 1)

 1.Если Ф1 = Ф2 ,то S1 = S2

2. Sф  = S1 + S2 +S3 + …..+Sn

3.Если а- сторона квадрата и а=1,то S=1

4. а)Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликими называют фигуры ,площади  которых  равны)

б)Три  медианы треугольника делят его на 6 меньших  треугольников, имеющих одинаковую площадь. Точка пересечения медиан называется центроидом (в физике это называется - цент масс)

в)Центроид, начиная от вершины, делит медиану на отрезки в соотношении 2:1

Историческая справка:

Оставим на некоторое время эти свойства и вспомним историю зарождения науки – геометрии. Возникла в Вавилоне, и за тысячу лет до рождения Пифагора, вавилоняне знали теорему , которую принято называть теоремой Пифагора. Многое из Вавилона ушло потом в другие страны, в том числе в Индию.

Итак- первая задача:

В одной из древнейших рукописей сохранился чертеж, никаких рассуждений не написано, кроме одного слова «СМОТРИ»- вот такой метод решения. Попробуем и мы посмотреть и догадаться, в чем тут дело? (слайд3)

                    после рассуждений приходим к выводу:

1.Sкв = S1 + S2 + 4Sтреуг.      2. Sкв = S3 + 4Sтреуг. Следовательно

S1 + S2 = S3  или a2 + b2 =c2 ,так как  S1 и S2 – площади квадратов, построенных на катетах a и b ; S3- площадь квадрата , построенного на гипотенузе c.

Итак –первый путь – опора на чертеж, т.е.- смотри и рассуждай(к слову сказать – «теорема» , «театр» происходят от греческого  «теорео», означавшего «рассматриваю»)

Вторая задача: « Сравните площади квадрата и прямоугольника с помощью свойств  площадей» (квадрат и прямоугольник у каждого на парте). Решим задачу двумя способами:

1)Разрежем квадрат и положим полученные части на прямоугольник, другими словами « замостим» прямоугольник частями квадрата. Весь прямоугольник замощен? Вроде да? Вывод: Sкв. = Sпр.

2) Но давайте обратимся к теории (к расчетным формулам)

Sкв. = a2  т.к. а=8, то S= 64

Sпр. = a * b ; т.к. a=5 , b = 13 , то S=5* 13 = 65 ?

Вывод: Sпр. > Sкв.?? Мистика ? В чем  дело? (рассуждаем… и для тех, кто не  догадался , приводим доводы) Оказывается нас подвел рисунок. Нам показалось, что когда эти части квадрата кладутся на прямоугольник , то отрезки  EF и DH дважды ложатся на диагональ A1C1. На самом деле это не так, и эти отрезки попадают на стороны очень вытянутого четырехугольника A1F1C1H1 ,площадь которого равна 1см. В такой неожиданный результат!

Итак: Не всегда верь своим глазам!

А теперь решим задачу с использованием двух путей – опору на чертеж и теорию, применяя  свойства  медиан  треугольника.

Задача: В прямоугольном треугольнике AKC  проведены медианы AD,  KB     и  CF. Из точки О прoведена  высота  OH к катету AK.   AK =12 , KC = 18;

Найти : площадь треугольника BOC;  длину отрезка AO; площадь треугольника FOH

Решение:

          1.Назовите свойство одной медианы треугольника.

2. Назовите   свойство трех  медиан.

3.Найдите  площадь     AKC, затем –      OBC (решена первая часть задачи  SOBC = 18 )

4.Как называется точка О ? (центроид), как делит он медиану?

5. Как найти медиану  AD ? (по теореме Пифагора)

 6.Найдите теперь AO (AO= 10)

7.  Чему равна площадь     AOK ?(36) По какой формуле  можно  еще определить площадь этого треугольника? (S= ½ AK*OH) Найдите теперь OH (OH= 6)

8.Посмотрите на треугольник AHO. Что можете о нем сказать? (это египетский треугольник),тогда  OH =6, значит  FH= 2. Ну а теперь осталось найти площадь       FOH  по известной нам формуле

(S  FOH = 6)

Ответ: SBOC = 18 ; AO = 10 ;  SFOH = 6

Итак : теория подтвердила опору на чертеж!

Итог урока:  

Что нам помогло решать задачи? Что нового узнали?

Чертеж –это наглядность.

Опора на чертеж – дело не всегда надежное.

Нужно при решении хорошо знать теорию , чтобы выбрать наиболее подходящий к данной задаче способ.

Заключение:

В древней Греции всех ораторов учили геоиетрии. На дверях школы было написано «НЕ ЗНАЮЩИЙ ГЕОМЕТРИИ, ДА НЕ ВОЙДЕТ СЮДА!»

Почему? Да потому, что геометрия учит доказывать, а речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает  свои выводы и умеет отстоять свою точку зрения. Такой человек может очень много добиться в жизни!

 Сапасибо за урок, вы молодцы!