Симметрия в математике, физике и биологии
методическая разработка по геометрии (7 класс) по теме

Введение

        Мир геометрии окружает нас с самого рождения. Ведь все что мы видим вокруг (прямоугольник окна, загадочный узор снежинки, дома - параллелепипеды, капля воды, велосипедная  шина, узел на веревке, похожие животные и т.д.), так или иначе относятся и к геометрии, ничто не ускользает от её внимательного взгляда.

        Красота в природе не создаётся, а лишь фиксируется, выражается  в отличие от искусства и техники. Среди бесконечно разнообразия форм живой и неживой природы в изобилие встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно  привлекает нас. К числу таких образов относится растения, насекомые, кристаллы.

        Для познания природы в жизни необходимы энергичные поисковые работы в направлении симметрии и биологических законов сохранения. Рано или поздно удастся глубже проникнуть в сущность живого и объяснить ход эволюции, её вершины, тупики, не известные сейчас ветви, теоретически возможные, действительные числа типов, классов, семейств организмов. Существует антисимметрия окружающего пространства, земли, света, что не всегда  возможно равновесие в природе. Особый интерес к проблеме симметрии в биологии вызван помимо прочих факторов еще и тем, что понятие симметрии выросло на изучении живых организмов в первую очередь человека. Само по себе оно дано греческими ваятелями и слово симметрия отвечающее понятию красоты или гармонии. Теоретическая работа, в которой обсуждались идеальные математические пропорции частей тела человека(рис.7). Нас с детства интересовал вопрос почему мы так сильно похожи с братом друг на друга. Учась дистанционно в новосибирской математической школе мы столкнулись впервые с понятием симметрия. У нас возникла идея, на основании математики, то есть математической формулы, доказать существование симметрии при рождении детей.

Мы решили изучить  в биологии симметрию и найти связь данных понятий в математике. В основу мирового порядка богом положены числа. Число есть сущность всех вещей, и организация Вселенной в ее определениях являет собой  гармоничную систему чисел и их отношений. Математические законы, управляющие природой, являются источником жизни. Заинтересовал нас вопрос почему в параллельном классе обучаются сестры двойняшки(см.Приложение.Фото1), но совершенно не похожи (т.е. не симметричны). Даже кошки в природе бывают симметричны (Рис 10). Смотрели передачу про Игоря  Талькова (см.Приложение. Фото2) ему была предсказана судьба по его портрету. Предсказатель Павел Глоба определил полную симметричность черт лица предупредил его о скором несчастии. Предсказание сбылось. Люди, которые занимаются хиромантией, также используют симметричность ладони. Каждое утро мы проходим мимо мини-рынка «Багульник», где наблюдаем полную симметричность в его строении. Мы пришли к выводу, что данная тема является актуальной, так как вся гармония в природе строится на симметрии. Поэтому мы решили разгадать тайну данной науки.

Перед собой мы поставили следующую цель: рассмотреть и исследовать симметрию в математике для того чтобы разгадать тайны связанные с симметрией в биологии и других науках.

Задачи:

1. Изучить виды симметрии на плоскости и в пространстве.
2. Заглянуть в тайны, связанные с анатомией человека.
3. Найти формулу симметрии на космическом уровне.

I.Из истории симметрии

Симметрия является фундаментальным свойством природы, представление о котором, как отмечал академик В. И. Вернадский (1863—1945), «слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений». «Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в  и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм».

Первоначальное понятие о геометрической симметрии как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», что и означает в переводе с греческого слово «симметрия», с течением времени приобрело универсальный характер и было осознано как всеобщая идея инвариантности (т. е. неизменности) относительно некоторых преобразований.

Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения, считается древнегреческий математик Фалес Милетский (625-547 г. до н.э.). Именно благодаря Фалесу геометрия начала превращаться из свода практических правил в подлинную науку. До Фалеса доказательств просто не существовало! Слово симметрия выражало однородное, соразмерное, пропорциональное, гармоничное в объекте, понималось  как «тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое»
          Каким же образом проводил Фалес свои доказательства? Для этой цели он как использовал движения.

Во времена античной истории идеей движения пользовался и знаменитый Евклид, автор «Начал» – книги, пережившей более двух тысячелетий. Евклид был современником Птолемея I , правившего в Египте, Сирии и Македонии в 305-283 г. до н.э. Движения в неявном виде присутствовали, например, в рассуждениях Евклида при доказательстве признаков равенства треугольников: «Наложим один треугольник на другой таким-то образом». По Евклиду, две фигуры называются равными, если они могут быть «совмещены» всеми своими точками, т.е. перемещая одну фигуру как твёрдое целое, можно точно наложить её на вторую фигуру. Для Евклида движение не было ещё математическим понятием. Впервые изложенная им в «Началах» система аксиом стала основой геометрической теории, получившей название Евклидовой геометрии
В Новое время продолжается развитие математических дисциплин. В XI веке создаётся аналитическая геометрия. Профессор математики Болонского университета Бонавентура Кавальери (1598-1647) издаёт сочинение «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного». Согласно Кавальери, любую плоскую фигуру можно рассматривать как совокупность параллельных линий или «следов», которые оставляет линия, передвигаясь параллельно самой себе. Аналогично даётся представление о телах: они образуются при движении плоскостей.

Таким образом, геометрический объект или физическое явление считаются симметричными, если с ними можно сделать что-то такое, после чего они останутся неизменными. Например, пятиконечная звезда, будучи повернута на 72° (360°: 5), займет первоначальное положение, а ваш будильник одинаково звенит в любом углу комнаты. Первый пример дает понятие об одном из видов геометрической симметрии — поворотной, а второй иллюстрирует важную физическую симметрию — однородность и изотропность (равнозначность всех направлений) пространства. Благодаря последней симметрии все физические приборы (в том числе и будильник) одинаково работают в разных точках пространства, если, конечно, не изменяются окружающие физические условия. Легко вообразить, какая бы царила на Земле неразбериха, если бы эта симметрия была нарушена!

Симметрия в биологии (биосимметрия). На явление симметрии в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции пифагорейцы (5 в. до н. э.) в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 в. появились единичные работы, посвященные симметрии растений (французские учёные О. П. Декандоль, О. Браво), животных (немецкий - Э. Геккель), биогенных молекул (французские - А. Вешан, Л. Пастер и др.). В 20 в. биообъекты изучали с позиций общей теории симметрии (советские учёные Ю. В. Вульф, В. Н. Беклемишев, Б. К. Вайнштейн, голландский физикохимик Ф. М. Егер, английский кристаллографы во главе с Дж. Берналом) и учения о правизне и левизне (советские учёные В. И. Вернадский, В. В. Алпатов, Г. Ф. Гаузе и др.; немецкий учёный В. Людвиг). Эти работы привели к выделению в 1961 особого направления в учении о симметрии  - биосимметрики. Разработка учения о симметрии биообъектов позволит углубить представления как об их свойствах и функциях, так и о происхождении и сущности жизни.

II. Симметрия в математике

        На рисунке 1(см.ПриложениеI) показан поворот точки А вокруг точки О, центр поворота, на 900. При повороте точка А переходит в точку А1. Отметим на плоскости точку О (рис. 2) и проведем через неё прямую АО. На этой прямой отложит от точки О отрезок ОА1 равный отрезку АО, но по другую сторону от точки О получим развёрнутый угол АОА1. Это значит что точку А1, можно получить поворотом точки А на 1800 вокруг точки О. Точки А и А1 называют симметричными относительно точки О, а точку О называют центром симметрии (рис. 3).

Здесь красно- желтые рыбы симметричны относительно точки О, а выделенные точки являются центрально симметричными точками. Фигуры симметричные относительно какой либо точки, называют центрально-симметричными фигурами. Фигура центрально-симметричную данной, можно получить поворотом исходной фигуры на 1800. При повороте формы и размеры фигуры не меняются, значит, центрально-симметричные фигуры равны.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

   Симметрия относительно точки или центральная симметрия (рис.5.4, 5.5, 5.6, 5.7) - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

  Рис.5.4         Рис.5.5            Рис.5.6              Рис.5.7  

 Центральную симметрию имеют многие геометрические тела. К ним следует отнести все правильные многогранники (за исключением тетраэдра), все правильные призмы с четным числом боковых граней (рис.5.Зв), некоторые тела вращения (цилиндр,  тор, шар).

Осевая симметрия

Если точки симметричны какой-либо прямой, то имеет место осевая симметрия, саму прямую называют осью симметрии, а о фигурах , которые можно перегнуть так, чтобы их половинки совпали, говорят, что  они имеют ось симметрии или симметричны относительно некоторой оси (рис. 4).

Симметричные точки расположены на прямой, перпендикулярные оси симметрии и находятся на равном расстояние от неё, поэтому чтобы построить точку, симметричную точки М, проведем через неё прямую МО перпендикулярную оси симметрии а, и отложим на ней отрезок ОМ1, равный отрезку ОМ (рис. 5).

Осевая и центральная  симметрия, как мы поняли,  является движением.

Движение – это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.

Именно таким путём Фалес доказал ряд первых теорем геометрии. Если плоскость повернуть как твёрдое целое вокруг некоторой точки О на 180о, луч ОА перейдёт в его продолжение ОА’. При таком повороте (его ещё называют центральной симметрией с центром О) каждая точка А перемещается в такую точку А’, что О является серединой отрезка АА’ (рис.1).
      Пусть О – общая вершина вертикальных углов АОВ и А’ОВ’. Но тогда ясно, что при повороте на 180о стороны одного из двух вертикальных углов как раз перейдут в стороны другого, т.е. эти два угла совместятся. Значит, вертикальные углы равны (рис.2).
       Доказывая равенство углов при основании равнобедренного треугольника, Фалес воспользовался осевой симметрией: две половинки равнобедренного треугольника он совместил перегибанием чертежа по биссектрисе угла при вершине (рис.3). Тем же способом Фалес доказал, что диаметр делит круг пополам.
III. Симметрия в биологии

 Окружающая  нас природа богата  предметами, содержащими симметрию мимо которой невозможно пройти. Поэтому в биологии особое внимание заслуживает изучение различных видов симметрии в живом и неорганическом мире. Это привело к широкому использованию представлений структурной симметрии и зоологии, ботанике, молекулярной биологии. Структурная симметрия проявляется прежде всего того или иного закономерного повторения. В классической теории структурной симметрии  развитой немецким ученым И.Ф. Гесселем, и Е.С. Федоровым вид симметрии описан как совокупность элементов симметричных относительно точек, линий и плоскостей связанно тесно с математическими понятиями. Например, вид симметрии – цветок   Рис. 1

Вид симметрии – фигура бабочки (Рис.2,5). Одна плоскость, делящая ее на две половинки, левую и правую –двусторонняя симметрия.

В живой природе как и вне живой из-за различных ограничений встречается значительно меньше число видов симметрии , чем возможно теоретически. Например, на низших этапах развития встречаются представители всех классов точечной симметрии вплоть до организмов, характеризующихся симметрией правильных многогранников и шаров. Рис.3.

Однако на более высоких ступенях развития встречаются животные с аксиальной симметрией (рис.6) и актиноморфной симметрией. Рис. 4.Ассиммметрия характерна для листьев большинства видов растений, двухсторонняя симметрия в известной степени для внешней формы тела человека, позвоночных животных и многих беспозвоночных. Эта симметрия связана с движением вверх- вниз, влево- вправо. Изучая на математическом уровне физические и биохимические свойства живой природы нашло еще один вид симметрии – диссиметрия.

Разработка учения о симметрии биообъектов позволит углубить представления как об свойствах и функциях, так и о происхождении и сущности жизни. Описывая тот или иной вид симметрии без какого либо глубокого анализа невозможно найти причин их появлений.

Заключение

Мы узнали много нового и интересного о симметрии  в биологии и математике и хотим,  чтобы данная тема продолжала своё изучение в других науках. Поиск материала дал возможность заглянуть нам в космос (Рис.11)  как в науку, где симметрия выстраивает галактики по своим математическим законам и формулам. Интересно, что созвездия и галактики возможно  и параллельные миры всё это движение, которое ещё в глубокой древности были предсказано. Архитектура (Рис.9), наука, механика , техника , живопись , скульптура и всё вокруг нас в природе и человеке есть гармония , где живёт симметрия.

Свою работу рекомендуем в качестве дополнительного материала для углубленного изучения в биологии и математике. Посвящаем симметрия тебе:

О симметрия! Гимн тебе пою!

 Тебя повсюду в мире узнаю.

Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,

Ты в ёлочке, что у лесной дорожки .

С  тобою в дружбе и тюльпан, и роза  рой,

И снежный рой-творение мороза!

(рис.8)

Ньютон считал, что существует абсолютное пространство, свободное и независимое от каких-либо тел…,где существуют и правят математические понятия. Одно из них является симметрия!

Литература

1. Жёлудев И. С. Cимметрия и её приложения. – М.: Энергоатомиздат, 1983г.

2. Компанеец А. С. Симметрия в микро- и макромире. –М.: НАУКА, 1978г., 206с.

3. Пидоу Дэн. Геометрия и искусство М.: Мир, 1979г.

4. Сонин А. С. Постижение совершенства: симметрия, асимметрия, диссимметрия, антисимметрия. –М.: ЗНАНИЕ, 1987г., 208с.

5. Трофимов В. Введение в геометрическом многообразии с симметриями М.: МГУ 1989г

6. Урманцев Ю. А. Симметрия природы и природа симметрии. –М.: МЫСЛЬ, 1974г., 232с.

7. Шубников А. В. Избранные труды по кристаллографии. –М.: НАУКА, 1975.

8. http://1september.ru/

Оглавление:

1. Введение………………………………………………………………...………………1

2. Историческая справка …………………………………………………………………2

3.Математическое   определение…….……………………………………….…………3

4.Биология и симметрия ………………………………………………………..……….4

5.Сущесвование симметрии в жизни…………………………………………….……..5

6.Заключение……………………………………………………………………..………6

7.Литература………………………………………………………………………………9