Упражнения в формировании творческого мышления учащихся на уроках математики.
статья по геометрии по теме

Упражнения в формировании творческого мышления учащихся на уроках математики.

Творческое  мышление - неотъемлемое свойство человека.

В дидактике творческую деятельность характеризуют следующими признаками:

1)самостоятельный перенос знаний и умений в новую ситуацию.

2)видение новой проблемы в знакомой ситуации.

3)видение новой функции объекта.

Самостоятельное комбинирование известных способов деятельности в новый.

4)видение структуры объекта.

5)альтернативное мышление.

6)построение принципиально нового способа мышления в оличие от других известных или не являющегося комбинацией известных способов.

   В процессе выполнения упражнений школьного курса геометрии формируются все указанные черты творческой деятельности.

  Проиллюстрируем сказанное на такой задаче.

Если хорды АВ и СД окружности пересекаются в точке Р, то АР*ВР=СР*ДР (1)

Как доказать это равенство(1)?

В учебнике геометрии не встречалась теорема, заключением которой являлось бы требование доказать равенство двух произведений отрезков. Однако изучались теоремы, предметом которых было равенство отношений отрезков. Поэтому необходимость преобразования равенства(1) в равенство отношений служит основанием для постановки вопроса: как доказать равенство отношений отрезков?

   Для этого надо доказать подобие треугольников, сторонами которых являются заданные в задаче отрезки АР, ВР, СР, ДР. Можно построить две различные пары таких  треугольников АРС и ВРД, ВРС и АРД, что обусловливает два пути поиска способа  решения. Легко установить, что указанные треугольники подобны.

  В плане развития творческого мышления важен не только процесс поиска способа решения задачи, но и заключительный этап работы с задачей. Он позволяет построить вокруг данной  задачи целый блок задач, являющихся конкретизацией, обобщением данной и решаемых тем же способом, что и данная задача.

  Во-первых, отметим интересную геометрическую интерпретацию равенства(1).Произведение АР*ВР можно рассматривать как численное значение площади прямоугольника со сторонами АР и ВР, тогда равенство(1) можно истолковать как равенство площадей прямоугольников, построенных на отрезках АР и ДР, с высотами, равными соответственно РВ и РС. Далее, если рассмотреть такое расположение хорд, что одна из них является диаметром окружности, а другая перпендикулярна первой, то это приведет к известному результату, связывающему перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, и отрезки диаметра, на которые он делится основанием этого перпендикуляра. Учитывая, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, полученное соотношение можно интерпритировать как зависимость между перпендикуляром, опущенным из вершины прямого угла на гипотенузу, и отрезками, на которые делит гипотенузу основание перпендикуляра.  

  Серию аналогичных задач получаем, рассмотрев случай, когда прямые, пересекающие окружность, имеют общую точку вне окружности, причем метод их решения тот же, что и данной задачи.

  Весьма полезно в рассматриваемом аспекте конструирование словесных формулировок полученных соотношений. Так, например, если доказано, что РА*РВ=РС*РД, где АВ и СД - хорды, а Р - точка пересечения прямых АВ и СД, лежащая вне данной окружности, то в случае совпадения точек А и В,С и Д указанное соотношение имеет вид РА*РА=РС*РС, или РА = РС. Очевиден творческий потенциал упражнения на конструирование словесной интерпритации полученного равенства.

  Сопоставляя приведенные рассуждения с перечисленными признаками творческого мышления, видим, что в процессе решения рассматриваемой задачи формируются все черты творческой деятельности.

  Продуктивное мышление является необходимой составной частью деятельности человека по адаптации к изменяющимся взаимоотнощениям человека и внешней среды. Оно наиболее интенсивно в тех ситуациях, когда человек вынужден действовать в изменившихся условиях, вырабатывать новую для него стратегию действий.

Ситуацию, в которой человек понимает, в чем состоит проблема, и осознает, что известными ему методами она не решается, в психологии называют проблемной. таким образом, формирование творческого мышления связано с разрешением проблемных ситуаций, потому выделение путей создания проблемных ситуаций является важной задачей методики математики. Разрешение проблемной ситуации опирается  на ее преобразование. Поэтому умение переформулировать содержание задачи является важнейшим элементом творческого мышления.

  В физиологии установлено, что продуктивная фаза мышления связана с деятельностью всей адаптационной системы человека. Следовательно, творческую фазу нельзя вызвать по желанию. Адаптационная система включается независимо от нашей воли с появлением нового нейронного пути, соответствующего возникновению в сознании новой для него идеи. Наступив спонтанно, творческая фаза протекает по законам адаптационной системы и не может управляться внешними воздействиями. Фаза творческого мышления длится то время, в течение которого в крови сохраняется повышенная концентрация адаптивных гормонов.

Рассмотрим некоторые необходимые условия творческого мышления

.Очевидно, появление новой идеи, конструирование нового способа действия основываются на наличии стандартных приемов, фактов. Без последних невозможно появление оригинальной идеи или способа действия. Поэтому необходимым условием творческого мышления является наличие в памяти больщого объема понятий, теорем, приемов. Очевидно, что, чем связаннее понятия, факты, тем они быстрее восстанавливаются в памяти. Цельное восприятие проблемной ситуации возможно при наличии в памяти крупных блоков знаний и умений. Отсюда выявление логических связей между теоремами, систематизация понятий, обобщение изучаемых понятий и суждений являются важным условием творческого мышления. Появление творческой фазы связано с анализом проблемной ситуации. Выполнение упражнения, имеющего характер проблемной ситуации, должно занимать не менее 10 минут(продолжительность фазы творческого мышления),ибо в противном случае новое упражнение вызовет сбой фазы. Это подтверждает положение о нецелесообразности использования перед решением задачи большого числа вспомогательных задач, являющихся элементами основной. Такое дробление задачи снизит ее творческий потенциал, а использование большого числа задач-элементов будет препятствовать протеканию творческой фазы мышления, если она и будет вызвана выполнением какого-либо упражнения этой серии. Однако не следует увлекаться и такими упражнениями, выполнение которых занимает более 20 минут.

  Особо подчеркну роль прикладных задач, решение которых связано с переводом их условия на математический язык,  умением строить, исследовать и применять модели. Важны упражнения, выполнение которых вскрывает истоки основных математических понятий, методов, выяснение связей между понятиями. При выполнении упражнений на усвоение алгоритмов целесообразно прибегать к специальным приемам, организующим проблемную ситуацию в сознании школьников.

  Это может достигаться разнообразием в формулировках задач, использованием упражнений на выполнение обратных действий, выполнением упражнений различными методами, упражнениями на самостоятельное составление задач.

   Например, упражнение, суть которого состоит в решении уравнения х∙х-5х+6=0,может быть предложено в различных формулировках:

Решите уравнение х∙х-5х+6=0.

 Найдите корни уравнения х∙х-5х+6=0.

  При  каких  значениях  х значение трехчлена х²-5х+6 равно 0?

   Найдите корни трехчлена х∙х-5х+6.

 Найдите значения аргумента, при которых функция f(х)=х·х-5х+6принимает значение, равное 0.

 При каких значениях х значение суммы х·х+6 равно значению произведения 5х?

      Упражнение:«В равенство (5х+х)²=*+*+81 впишите вместо звездочек одночлены так, чтобы получилось тождество»-основано на выполнении действий преобразования квадрата двучлена в трехчлен и трехчлена в квадрат двучлена.

      Однако следует иметь в виду, что обилие формулировок может затенить суть дела, потребовать дополнительного времени на «разгадывание»учеником формулировки.

Полезно предлагать самим школьникам составлять эквивалентные формулировки данных задач. Такая работа будет способствовать формированию приема переформулировки задачи, имеющего важное значение в выполнении упражнений. Несколько хуже с реализацией указанных приемов в пособиях по геометрии. Для них характерны однообразие формулировок задач, отсутствие упражнений на составление задач, незначительное число упражнений, выполнение которых требует испольэования взаимно-обратных действий.