угол между прямой и плоскостью
презентация к уроку по геометрии (11 класс) по теме

Слайд 1

Решение задач по математике С2 Нахождение угла между прямой и плоскостью

Слайд 2

Прямая и плоскость пересекаются , если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости . Прямая перпендикулярна к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Слайд 3

Проекцией точки М на плоскость α называется либо сама точка М , если М лежит в плоскости α , либо точка пересечения плоскости α и прямой, перпендикулярной к плоскости α и проходящей через точку М , если точка М не лежит в плоскости α . α α

Слайд 4

Проекцией прямой a на плоскость α называют множество проекций всех точек прямой a на плоскость . α α

Слайд 6

Определение. Нормальным вектором плоскости (или нормалью плоскости ) называют вектор, перпендикулярный данной плоскости. Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла: два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы к каждой плоскости. Отложим их от точки О.

Слайд 7

Вычислять угол между векторами мы умеем по формуле Но! Мы при решении задач можем выбрать нормали так, что угол между векторами будет тупой. А угол между плоскостями не может быть тупой.

Слайд 8

Итак, если угол между нормалями острый, то мы сразу получаем угол между плоскостями (формула со знаком «+»). Если угол между нормалями тупой, то чтобы получить косинус острого угла, надо взять полученное числовое значение для косинуса со знаком «–». А лучше и проще применить знак модуля.

Слайд 10

DB 1 2 . Нормаль ко второй плоскости , которую я и строить не берусь… Но по условию это сечение проходит перпендикулярно прямой В 1 D . Значит, В 1 D перпендикуляр к плоскости. Выберем нормаль B 1 D. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = . Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA 1 D 1 D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B 1 D, если расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD равно . D 1 B A D B 1 C 1 A 1 5 Расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD? z x C 1. Нормаль к плоскости А DD 1 DC Решим задачу методом координат. Введем нормали к плоскостям. y

Слайд 11

(0; 5 ; 0) Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = . Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA 1 D 1 D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B 1 D, если расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD равно . D 1 B A D B 1 C 1 A 1 5 Я выбрала очень удобно нормальные векторы. Ведь это радиус-векторы. Координаты радиус-вектора такие же, как и координаты конца вектора. Значит, нам надо найти координаты точек В 1 и С. z x C y ( ; 5 ; ) DB 1 1. DC 2. ( ; 5 ; ) (0; 5 ; 0)

Слайд 12

3. DB 1 ( ; 5 ; ) DC (0; 5 ; 0) Теперь найдем тангенс. 1 tg 2 + A = 1 co s 2 A т.к. – острый угол