Презентации к урокам математики в основной школе
презентация к уроку по геометрии по теме

Слайд 1

способов решения тригонометрического уравнения или еще раз о sin x – cos x=1 красоте математики. 7

Слайд 2

Математики видят ее в: гармонии чисел и форм, геометрической выразительности, стройности математических формул, решении задач различными способами, изяществе математических доказательств, порядке, богатстве приложений универсальных математических методов. Проблема красоты привлекала и привлекает величайшие умы человечества.

Слайд 3

Но красота математики выражается не только в красоте форм ,наглядной выразительности математических объектов, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями. Ее привлекательность будет усиливаться за счет эмоционально-экпрессивной составляющей - оригинальности, неожиданности, изящества. Математики живут ради тех славных моментов, когда проблема оказывается решенной, ради моментов озарения , инсайта , восторга

Слайд 4

Можно ли насладиться решением уравнения sinx-cosx=1? Да, если стать его исследователем! способы решения уравнения sinx-cosx=1 и , поверьте, красота математики станет вам доступной!

Слайд 5

Универсальные методы решения уравнения sin x – cos x=1 Мы уже говорили о богатстве приложений универсальных математических методов. При решении уравнений одним из них является метод разложения на множители . Можно ли применить его к решению уравнения Sin x –cos x = 1? На первый взгляд , кажется что нет… А если использовать специфические тригонометрические преобразования

Слайд 6

Мы не просто в правой части уравнения получили ноль , мы выделили выражение 1 + cos x … Как вы думаете зачем Рассуждаем Преобразуем исходное уравнение Sin x – cos x = 1 к виду Sin x – ( 1 + cos x) = 0 .

Слайд 7

Ну , конечно , вы догадались ! Необходимо перейти к половинному аргументу , применив формулу повышения степени и формулу двойного аргумента Итак …

Слайд 8

Разложение левой части уравнения на множители sinx-cosx=1 1-й способ

Слайд 9

Произведение равное нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому однородное уравнение первой степени.

Слайд 10

Делим обе его части на что противоречит тождеству Получим Ответ :

Слайд 11

А может вы заметили , что левая часть уравнения sin x – cos x является однородным выражением первой степени относительно sin x и cos x и тут же огорчились , поняв , что само уравнение не является однородным ( в правой части – не ноль) ? неоднородное уравнение первой степени превращается ( вот здорово!) в однородное уравнение второй степени относительно sin x и cos x . Конечно , вы разгадали этот фокус . Трах-тибидох … Не огорчайтесь . Немного математической магии … и по волшебству

Слайд 12

Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса sinx-cosx=1 Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей : 2-й способ И так далее, как в предыдущем способе …

Слайд 13

Тригонометрия удивительна тем , что она даёт собственные оригинальные способы преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение : Но увы, в левой части уравнения, мы видим разноименные функции. Как изменить название функции на «кофункцию» ? Есть изящный способ!!! Вы уже догадались? Нет? А всего лишь нужно применить формулу приведения!

Слайд 14

3- й способ. Преобразование разности ( или суммы) тригонометрических функций в произведение . sinx-cosx=1 Запишем уравнение в виде : Применяя формулу разности двух синусов, получим Ответ :

Слайд 15

Другим универсальным методом решения уравнений является замена переменной. И хотя для данного уравнения этот способ не самый простой , но он применим , причем в двух вариантах! В первом случае используется основное тригонометрическое тождество А во втором – универсальная подстановка .

Слайд 16

4 -й способ Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций sinx-cosx=1 Так как Возведем обе части полученного уравнения в квадрат

Слайд 17

В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима (обязательна!) проверка. Выполним ее. Полученные решения эквивалентны объединению трех решений : х у π /2 π - π /2

Слайд 18

Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверим Левая часть : Правая часть : 1. Следовательно,

Слайд 19

5 -й способ Выражение всех функций через tgx (универсальная подстановка) по формулам : С учетом приведенных формул уравнение sinx-cosx=1 запишем в виде

Слайд 20

Умножим обе части уравнения на ОДЗ первоначального уравнения – все множество R .

Слайд 21

При переходе к из рассмотрения выпали значения, при которых не имеет смысла, т.е. Следует проверить, не является ли х= π +2 π k решением данного уравнения. Левая часть : sin( π +2 π k)-cos( π +2 π k)=sin π -cos π =0-(-1)=1. Правая часть : 1. Значит, х= π +2 π k , k€Z – решение уравнения. Ответ :

Слайд 22

На ряду с универсальными методами решения уравнений, есть и специфические. Наиболее ярким из них является метод введения вспомогательного угла (числа). Благодаря этому приёму исходное уравнение легко сводится к простейшему – Последний метод, предлагаемый нами, связан также с нестандартным преобразованием тригонометрического уравнения – возведением обеих частей в квадрат. И хотя он является коварным в плане приобретения посторонних корней, но подкупает своим оригинальным способом сведения исходного уравнения к простейшему! просто и красиво!

Слайд 23

6 -й способ Введение вспомогательного угла (числа) sinx-cosx=1 В левой части вынесем за скобку ( корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sinx и cosx ). Получим Ответ :

Слайд 24

С помощью тригонометрического круга легко установить, что решение распадается на два случая х у π /4 3 π /4

Слайд 25

7- способ Возведение обеих частей уравнения в квадрат sinx-cosx=1

Слайд 26

Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений : Проверка показывает, что первое и четвертое решения – посторонние. Ответ : x 0 y π /2 π - π /2

Слайд 27

ВСЁ! Точнее почти всё! Осталось выбрать метод решения, победивший в номинации: Самый простой; Самый оригинальный; Самый неожиданный; Самый универсальный … УДИВИТЕЛЬНОЕ И КРАСИВОЕ ВСЕГДА РЯДОМ! ДЕРЗАЙТЕ!!!

Слайд 1

“Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”. Иоганн Кеплер 1

Слайд 2

История теоремы Пифагора 2

Слайд 3

№ Историческое место дата 1 Древний Китай (математическая книга Чу-пей) ~2400 г. до н. э. 2 Древний Египет (гарпедонапты или "натягиватели веревок") 2300 г. до н. э. 3 Вавилон (Хаммураби ) 2000 г. до н. э. 4 Древняя Индия (сборник Сульвасутра ) 600 г. до н. э. 5 Пифагор 570 г. до н. э. Хронология развития теоремы до Пифагора: 3

Слайд 4

Исторический обзор начнём с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей . В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". 4

Слайд 5

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты , или " натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. 5

Слайд 6

Очень легко можно воспроизвести способ построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 и 4 м от одного конца. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра . 6

Слайд 7

Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой первых греческих математиков, таких, как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но её систематизация и обоснование . В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку." 7

Слайд 8

В самом древнем индийском геометрическом сборнике « Сульвасутра » («Правила верёвки», 600 год до н.э.), представляющем собой своеобразную инструкцию по сооружению алтарей в храмах, даются правила построения прямых углов при помощи верёвки с узлами, расстояния между которыми равны 15, 36 и 39 падас (мера длины). 8

Слайд 9

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал её полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". 9

Слайд 10

Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеству доказательств теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана. 10

Слайд 11

Приведём различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков. 11

Слайд 12

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". Евклид. Гравюра на меди. Примерно XVIII в. 12

Слайд 13

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит: "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол". 13

Слайд 14

В Geometria Culmonensis ( около 1400 г .) теорема читается так : Also, wird das vierecke Feld , gemessen an der langen Wand, so also gross ist als bei beide Vierecke , bei zwei werden gemessen von den zwei Wanden des deren , bei zwei gemeinde , tretten in dem rechten Winkel . В переводе это означает: "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу". 14

Слайд 15

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол". Чертёж к теореме Пифагора в средневековой арабской рукописи 15

Слайд 16

Существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 2. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. 3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах. 16

Слайд 17

и способы её доказательства 17

Слайд 18

Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии. Даже те, кто в своей жизни навсегда «распрощался» с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина такой популярности теоремы Пифагора объясняется её простотой, красотой, значимостью. 18

Слайд 19

ГИПОТЕНУЗА КАТЕТ КАТЕТ Это прямоугольный треугольник 19

Слайд 20

На этом свойстве прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора. Она показывает зависимость между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим — И таким простым путем К результату мы придём. 20

Слайд 21

1. Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур. Здесь вы можете увидеть доказательство теоремы Пифагора, которое основано на равновеликости фигур, из которых они состоят. Это доказательство считается одними из самых простых из-за своей наглядности. 21

Слайд 22

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. Доказательство Пифагора 22

Слайд 23

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. Почтовая марка по случаю переименования острова Самос в остров Пифагорейон. На марке надпись: « т.Пифагора. Эллас. 350 драхи». 23

Слайд 24

2. Аддитивные доказательства. Аддитивные доказательства - это доказательства, которые основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе. 24

Слайд 25

Доказательство Эпштейна Дано: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С; С∈EF; PO||EF; MN||EF; CD⊥EF. Доказать: квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах Доказательство. Треугольники 1 совпадают при повороте друг друга на 90° ⇒ они равны. Треугольники 2 совпадают при осевом отображении относительно оси EF и параллельном переносе, т.е. они тоже равны. При параллельных переносах и поворотах совпадают и все остальные треугольники, т.е. они тоже равны между собой. Из всего этого следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах. Теорема доказана. 25

Слайд 26

3. Доказательства методом построения Здесь вы найдете доказательства, для осуществления которых использовались дополнительные построения. 26

Слайд 27

1. Построим треугольник ABC с прямым углом С. Доказательство Гофмана A B C a b c F D E 2. Построим BF=CB, BF  CB 3. Построим BE=AB, BE  AB 4. Построим AD=AC, AD  AC 5. Точки F, C, D принадлежат одной прямой. 27

Слайд 28

Что и требовалось доказать! 6. Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF= Е CB . Треугольники ADF и ACE равновелики. 7. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC , получим: 1/2а 2 +1/2 b 2 =1 / 2 с 2 8. Соответственно: а 2 + b 2 = с 2 A B C D F E b c Доказательство Гофмана a 28

Слайд 29

4. Алгебраический метод доказательства Эти доказательства, основанные на применении в геометрии алгебраических формул. Это достаточно легкие доказательства, не требующие никаких дополнительных построений. 29

Слайд 30

Доказательство Мёльманна 1. Площадь данного треугольника с одной стороны равна 0,5 ab , с другой 0,5 pr , где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности ( r=0 , 5(a+b-c)). A C B a b c 30

Слайд 31

Что и требовалось доказать! 2. Имеем: 0, 5ab=0 , 5pr=0 , 5( a+b+c ) ·0 , 5( a+b -c) 0,5 ab =0 , 5( a+b+c ) · 0 , 5 ( a+b -c) а b= 0 , 5( а 2 + ab – ac + ab + b 2 – bc + ca + cb - с 2 ) а b= 0 , 5( а 2 + b 2 - с 2 +2ab )/·2 2 а b = а 2 + b 2 - с 2 + 2ab а 2 + b 2 - с 2 =0 3. Отсюда следует, что с 2 = а 2 + b 2 Доказательство Мёльманна A C B a b c 31

Слайд 32

5. Доказательства методом разложения Простейшие доказательства теоремы, для понимания которых достаточно одного взгляда на чертёж. Мы предлагаем несколько доказательств, которые не требуют пояснений. Это доказательства способом разложения квадратов на катетах и гипотенузе на отдельные фигуры. 32

Слайд 33

Доказательство Перигаля Доказательство Перигаля очень легкое. Два квадрата, построенные на катетах, расположены рядом. Надо разделить эту фигуру всего на 3(!) части, чтобы сложить из них квадрат на гипотенузе. На иллюстрации наглядно дано это разрезание. 33

Слайд 34

6. Доказательство методом вычитания Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем. Доказательства методом вычитания - доказательства при помощи вырезания определенных фигур из равных по площади частей. 34

Слайд 35

На рисунке к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь, что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. 35

Слайд 36

7. Другие доказательства. Доказательство с помощью косинуса угла. Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла cosA=AD/AC=AC/AB. Отсюда АВ*AD=AC*АС. Аналогично cos B=BD/BC=BC/AB. Отсюда АВ*BD=BC*BC. Складывая полученные результаты почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим: AC*AC + BC*BC = AB*AB. Теорема доказана. 36

Слайд 37

Занимательные задачи по теме: "Теорема Пифагора". 37

Слайд 38

Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнёс его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: “Как озера вода здесь глубока?” Древнеиндийская задача 38

Слайд 39

Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3 м) ? Решение. Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 . Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB 2 – AC 2 = BC 2 , (Х + 0,5) 2 – Х 2 = 2 2 , Х 2 + Х + 0,25 – Х 2 = 4, Х = 3,75. Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута. 3, 75 • 0,3 = 1,125 (м) Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м. 39

Слайд 40

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота? Задача индийского математика XII в. Бхаскары 40

Слайд 41

Задача Бхаскары Решение. Пусть CD – высота ствола. BD = АВ По теореме Пифагора имеем АВ = 5 . CD = CB + BD, CD = 3 + 5 =8. Ответ: 8 футов. 41

Слайд 42

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба? Задача арабского математика XI в 42

Слайд 43

Решение Итак, в треугольнике АDВ: АВ 2 =ВD 2 +АD 2 АВ 2 =30 2 +Х 2 АВ 2 =900+Х 2 ; в треугольнике АЕС: АС 2 = СЕ 2 +АЕ 2 АС 2 =20 2 +(50 – Х) 2 АС 2 =400+2500 – 100Х+Х 2 АС 2 =2900 – 100Х+Х 2 . Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время. Поэтому АВ 2 =АС 2 , 900+Х 2 =2900 – 100Х+Х 2 , 100Х=2000, Х=20, АD=20. Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы. Ответ: 20 локтей. 43

Слайд 44

"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать." Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого 44

Слайд 45

"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? " Задача из китайской "Математики в девяти книгах" 45

Слайд 46

Практическое применение теоремы Пифагора 46

Слайд 47

Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом: d 2 =2 a ², d = a . 47

Слайд 48

Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b . Мы имеем d ²= a ²+ b ² . d = 48

Слайд 49

На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d , являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали равна а). Отсюда имеем d 2 = a 2 +( а) 2 , d 2 =3 a 2 , d = a . 49

Слайд 50

Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a , b , с и получить для диагонали выражение d = 50

Слайд 51

Считать приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка. Заметим, что расчёт площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: "Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь." 51

Слайд 52

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром p = b /6. 52

Слайд 53

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все ещё ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал. 53

Слайд 54

Пифагоровы тройки 54

Слайд 55

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) — проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение а 2 + b 2 = c 2 . 55

Слайд 56

Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения — тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (а 2 + b 2 = c 2 )— называются пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами а, b и целочисленной гипотенузой c . 56

Слайд 57

Эти тройки можно найти по формулам: b =( a 2 -1)/2, c =( a 2 +1)/2. а 3 5 6 7 9 11 13 15 17 19 21 39 b 4 12 8 24 40 60 84 112 144 180 20 80 c 5 13 10 25 41 61 85 113 145 181 29 89 Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей, которые мы перечислим без доказательств: Один из «катетов» должен быть кратным трём. Один из «катетов» должен быть кратным четырём. Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти. 57

Слайд 58

Древневавилонский клинописный текст, содержащий 15 наборов пифагоровых троек, среди которых (четвёртая строка) есть тройка 12709, 13500, 18541: 12709 + 13500 = 18541. Нью-Йорк. Плимптоновский фонд библиотеки Колумбийского университета. 58

Слайд 59

И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (а 2 + b 2 = c 2 ) в натуральных числах был поставлен и решён только пифагорейцами. Общая постановка, какой бы то ни было математической задачи, была чужда как древним египтянам, так и древним вавилонянам. Только с Пифагора начинается становление математики как дедуктивной науки, и одним из первых шагов на этом пути было решение задачи о пифагоровых тройках. Первые решения уравнения (а 2 + b 2 = c 2 ) античная традиция связывает с именами Пифагора и Платона. 59

Слайд 60

Теорема Пифагора В литературе 60

Слайд 61

Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему. Но неужели мы можем встречать эту теорему только в геометрии? Нет, конечно, нет! Теорема Пифагора встречается в разных областях наук. Например: в физике, астрономии, архитектуре и в других. Но так же Пифагор и его теорема воспеты в литературе. Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц об этой теореме и его авторе. 61

Слайд 62

Родился Пифагор где-то между 600 и 590 гг. до Рождества Христова и жил около ста лет. Много странных легенд дошло до наших дней о его рождении. Некоторые из них утверждают, что он не был обычным смертным человеком, а был одним из богов, принявших человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человечество. Бог-Творец как геометр Легенда о рождении Пифагора 62

Слайд 63

За 1000 лет античной традиции реальные и вызывающие глубокое уважение к личности Пифагора сведения были перемешаны со множеством легенд, сказок и небылиц. Легенды наперебой объявляли Пифагора чудотворцем; сообщали, что у него было золотое бедро, что люди видели его одновременно в двух разных городах говорящим со своими учениками, что однажды, когда он с многочисленными спутниками переходил реку и заговорил с ней, река вышла из берегов и громким сверхчеловеческим голосом воскликнула: «Да здравствует Пифагор!», что в Тиррении он умертвил своим укусом ядовитую змею, унесшую жизни многих тирренцев, что он предсказывал землетрясения, останавливал повальные болезни, отвращал ураганы, укрощал морские волны. Легенда о Пифагоре 63

Слайд 64

Порфирий рассказывает о Пифагоре такую историю: в «Таренте он увидел быка на разнотравье, жевавшего зеленые бобы, подошел к пастуху и посоветовал сказать быку, чтобы тот этого не делал. Пастух стал смеяться и сказал, что не умеет говорить по-бычьи; тогда Пифагор сам подошел к быку и прошептал ему что-то на ухо, после чего тот не только тут же пошел прочь от бобовника, но и более никогда не касался бобов, а жил с тех пор и умер в глубокой старости в Таренте при храме Геры, где слыл священным быком и кормился хлебом, который давали ему прохожие». 64

Слайд 65

Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии, Пифагор устроил себе жилье под землей, а матери велел записывать на дощечках всё, что происходит и когда, а дощечки спускать к нему, пока он не выйдет. Мать так и делала; а Пифагор, выждав время, вышел, иссохший, как скелет, предстал перед народным собранием и заявил, будто пришел из Аида, а при этом прочитал им обо всём, что с ними случилось. Все были потрясены прочитанным, плакали и рыдали, а Пифагора почли Богом. И тем не менее основной тон всех преданий о Пифагоре был один: «Ни о ком не говорят так много и так необычайно» (Порфирий). 65

Слайд 66

Много ещё различных чудес можно было бы рассказать о Пифагоре. Но главное «чудо», прославившее в веках имя великого эллина, было в другом. Это чудо Пифагора состояло в том, что он вывел человечество из лабиринтов мифотворчества и богоискательства к берегам океана точного знания. Утренние купания пифагорейцев в волнах Ионического моря были и ежедневной прелюдией к плаванию по океану знания. Только целью плавания на сей раз были не поиски золотого руна, а поиски сокровища, куда более ценного. То были поиски истины. 66

Слайд 67

Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель своего времени. Познакомимся с некоторыми его философскими высказываниями… 67 Пифагор. Гравюра из старинной книги.

Слайд 68

Мысль — превыше всего между людьми на земле. Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно). По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих). Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык). Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду). В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах). 68

Слайд 69

Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принёс в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя ещё Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики. Легенды об открытии теоремы Пифагора 69

Слайд 70

О теореме Пифагора Уделом истины не может быть забвенье, Как только мир её увидит взор, И теорема та, что дал нам Пифагор, Верна теперь, как в день её рожденья. За светлый луч с небес вознес благодаренье Мудрец богам не так, как было до тех пор. Ведь целых сто быков послал он под топор, Чтоб их сожгли как жертвоприношенье. Быки с тех пор, как только весть услышат, Что новой истины уже следы видны, Отчаянно мычат и ужаса полны: Им Пифагор навек внушил тревогу. Не в силах преградить той истине дорогу, Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат. Суть истины вся в том, что нам она-навечно, Когда хоть раз в прозрений её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас, как для него, бесспорна, безупречна. На радостях богам был Пифагором дан обет: За то, что мудрости коснулся бесконечной, Он сто быков заклал, благодаря предвечных; Моленья и хвалы вознес он жертве вслед. С тех пор быки, когда, учуют, тужась, Что к новой истине людей опять подводит след, Ревут остервенело, так что слушать мочи нет, Такой в них Пифагор вселил навеки ужас, Быкам, бессильным новой правде противостоять, Что остается? - Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать. 70

Слайд 71

Так, оптимист Михайло Ломоносов (1711-1765) писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принёс в жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось». 71

Слайд 72

А вот ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не может доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принёс в жертву бессмертным богам». 72

Слайд 73

Когда был подожжён дом Милона, где собрались пифагорейцы, когда стали рушиться подпорки и перекрытия, державшие крышу, Пифагор в задумчивости сидел в центре большой залы. Великий мудрец и не помышлял сделать хоть одно движение к своему спасению. Тогда ученики Пифагора бросились в огонь и проложили в нем дорогу учителю, чтобы он по их телам, как по мосту, вышел из объятого пламенем дома. Пифагора спасли, но страшной ценой—ценой жизней его единомышленников. Оставшись один, Пифагор так затосковал, что удалился из города и там лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения была для Пифагора лишена смысла. Легенды о смерти Пифагора 73

Слайд 74

Фрагмент фильма «Приключения Электроника» Ералаш 74

Слайд 75

Эпилог. Вечный кладезь мудрости. 75

Слайд 76

Учение Пифагора не погибло в кротонском пожаре. Подобранные горсткой оставшихся в живых учеников зерна этого учения не только были сохранены, но и дали обильные всходы. Благодарная память единомышленников сохранила для человечества имя Пифагора — выдающегося математического гения, творца акустики, основоположника теории музыки, «Коперника древней астрономии», основателя религиозного братства — прообраза средневековых монашеских орденов, богослова и реформатора, человека высокой нравственности, личности богатой, противоречивой и загадочной, стоящей на рубеже пробуждающейся науки и пышно цветущей мифологии. 76

Слайд 77

И чем дальше неумолимое время уносит нас от времени Пифагора, тем острее видится поразительная прозорливость эллинского мудреца, объявившего два с половиной тысячелетия назад, что «Всё есть число». Если снять с этого тезиса мистическую паутину, то нам откроется гениальное пророчество, определившее весь последующий путь развития науки. Тогда древний пифагорейский тезис примет современное звучание: математика есть ключ к познанию всех тайн природы. 77

Слайд 78

Именно так определяет роль Пифагора в истории естествознания современный американский математик и историк науки М. Клайн : «Но то ли по счастливому стечению обстоятельств, то ли благодаря гениальной интуиции пифагорейцам удалось сформулировать два тезиса, общезначимость которых подтвердило всё последующее развитие науки: во-первых, что основополагающие принципы, на которых зиждется мироздание, можно выразить на языке математики; во-вторых, что объединяющим началом всех вещей служат числовые отношения, которые выражают гармонию и порядок природы». 78

Слайд 79

В Абдерах в 430—420-х гг. до н. э. (т. е. менее чем через 100 лет после смерти Пифагора) произошло невиданное событие: в Абдерах были выпущены монеты с изображением Пифагора и подписью. Абдерские монеты — это не только первый в истории чеканный портрет философа, но это и первое на греческих монетах подписанное изображение человека. И таким человеком оказался не царь, не тиран, не полководец, а мудрец! Что касается Пифагора-математика, то он, видимо, навсегда останется первым и последним математиком в истории человечества, чей профиль удостоился столь высокой чести! 79

Слайд 80

Самосская монета с изображением Пифагора. II - III вв. Прорисовка. Конечно, это не портрет Пифагора, а обобщённый образ учёного. 80

Слайд 81

Но для учёного важнее не внешние атрибуты славы, а признание и дальнейшая жизнь его идей. И здесь Пифагору также светила счастливая звезда. Идеями Пифагора пронизано творчество Платона — величайшего философа в истории человечества. Плотин, Порфирий, Ямвлих, Прокл, первая женщина философ и математик Гипатия, растерзанная толпой фанатиков-христиан,— все они были страстными приверженцами Пифагора. Неоплатонизм, уходящий корнями в древнее пифагорейство, стал мощным философским течением, идущим из античности в современность. Идеи неоплатоников питали Аврелия Августина (354—430) и Иоанна Скота Эриугену (810—877), Николая Кузанского (1401 —1464) и Джероламо Кардано (1501 —1576), Томмазо Кампанеллу (1568—1639) и Джордано Бруно (1548—1600), Фридриха Шеллинга (1775— 1854) и Георга Гегеля (1770—1831), Владимира Соловьева (1853—1900) и Сергея Булгакова (1871 —1944), Павла Флоренского (1882—1937?) и Алексея Лосева (1893—1988). 81

Слайд 82

Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую простоту и целесообразность её законов, построенных на единых математических принципах, окрыляла творчество титанов современного естествознания от Иоганна Кеплера (1571 —1630) до Альберта Эйнштейна (1879—1955). Это и есть путеводная звезда современного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор. 82

Слайд 83

“Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”. Иоганн Кеплер 83

Слайд 1

Содержат алгоритм решения. карточки-задания по теме "Конус"

Слайд 2

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30 ° , равен половине гипотенузы. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов . Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне . Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними. ВСПОМНИТЕ,ПРИГОДИТСЯ!!!

Слайд 3

В А С О 13 5 Н L=13, R=5 Найти: Н. Дано: Инструкция: Рассмотри треугольник ВОС и сразу найдешь решение по теореме…

Слайд 4

В С А О < АВС=90 , L=3 НАЙТИ: R, H. 0 Дано: Алгоритм решения: Определите < ОВС Из треугольника ОВС найдите ВО по определению косинуса угла Из треугольника ОВС найди ОС по теореме… Предложи свой способ решения.

Слайд 5

120° В А С О 6 Дано: < АВС=120 , L=6 НАЙТИ: R,H. 0 Алгоритм решения: Определите величину угла ОВС Определите величину угла ВСО Примените в треугольнике ОВС свойство катета , лежащего против угла… Найдите ОС из треугольника ОВС по теореме… Предложите свой способ решения.

Слайд 6

C А К В 12 О 10 Дано:АВС- РАВНОСТОРОННИЙ, L=12, R=10 Найти: ОК, Н. Алгоритм решения: 1.Найдите АК, пользуясь те, что треугольник АВС равносторонний. 2. Вычислите АК из треугольника АОК по теореме… 3. Найдите ВО из треугольника ВОС по теореме… Предложите свое решение.

Слайд 7

В С А О К Дано:Н=12, < ОКВ=30, АС=60. 0 Найти: R,L. Алгоритм решения: Из треугольника ОКВ найдите ВК по свойству катета, лежащего напротив угла 30 ° Из треугольника ОВК найдите ОК по теореме … Найдите АК Из треугольника АОК найдите АО по теореме… Из треугольника АОВ найдите образующую. Предложите свой способ решения. 12

Слайд 8

А В С  Дано: L=10 , =30 ° Найти: R Алгоритм решения: Рассмотрите треугольник АВО. Найдите катет ВС , используя свойство угла 30 ° в прямоугольном треугольнике. Найдите катет АО в этом же треугольнике по теореме… Предложите более короткий способ решения. О

Слайд 9

А В С О Дано: R=3 , треугольник АВС прямоугольный Найти: площадь треугольника АВС Алгоритм решения: Определите, где в треугольнике АВС прямой угол Вспомните необходимую формулу Найдите АС. Определите вид треугольника АВС по длине сторон Обозначьте сторону АВ=х , составьте уравнение используя теорему… Подставьте найденные величины в формулу Предложите другой способ решения.

Слайд 10

А В С О Дано: H= 6 3,треугольник АВС равносторонний Найти: R Алгоритм решения: Зная, что треугольник АВС равносторонний, обозначив гипотенузу АВ=2х, катет АО=…,составьте и решите уравнение, зная длину ВО и используя теорему…. Предложите другой способ решения.

Слайд 11

C А К В О Дано: H=15 , R=20 , АОС=60 ° Найти:площадь треугольника АВС. Алгоритм решения: 1.Вспомните необходимую формулу площади треугольника 2.Определите вид треугольника АОС, зная что угол АОС равен 60 ° , запишите чему равно АС 3. Запишите АК=…,т.к…. 4.Из треугольника АОК найдите ОК по теореме… 5. Из треугольника ВОК найдите ВК по теореме… 6. Подставьте найденные величины в формулу площади и вычислите. Предложите свое решение.

Слайд 1

«Единичная окружность в тригонометрии»

Слайд 2

Зачем нужна единичная окружность? Рис.1 Единичная окружность необходима при изучении тригонометрических функций и построении их графиков, часто используется в решении тригонометрических уравнений и неравенств при отборе корней. Цель: повторить, как устанавливается соответствие между действительными числами на числовой прямой и точками единичной окружности; рассмотреть использование единичной окружность при решении различных задач. Автоматический показ

Слайд 3

Содержание Урок 1 – «Отображение точек числовой прямой на точки единичной окружности» Урок 2 – «Способ записи координаты точки единичной окружности» Урок 3 – «Метод лепестков» Урок 4 – «Числовые промежутки на единичной окружности» Урок 5 – «Решение тригонометрических неравенств» Автоматический показ Итог

Слайд 4

Урок 1 Определение Способ задания соответствие между множеством действительных чисел и точками единичной окружности (криволинейная система координат) Упражнения (тесты) На содержание

Слайд 5

Определение единичной окружности Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной окружностью . Зададим соответствие между множеством действительных чисел и точками единичной окружности следующим образом: Рис.2 Автоматический показ Урок 1

Слайд 6

Способ задания соответствия между множеством действительных чисел и точками единичной окружности Координатную прямую с началом отсчета в точке А будем «наматывать», как нитку, на единичную окружность сначала в положительном направлении – против хода часовой стрелки, Рис. 3 Вернуться потом в отрицательном – по ходу часовой стрелки. Автоматический показ Урок 1

Слайд 7

Так как длина окружности вычисляется по формуле , то можно получить изображение таких чисел на окружности как: Рис.4 Урок 1

Слайд 8

Смотрите рис.3 2.Каждая точка окружности изображает бесконечное множество действительных чисел. 3. Точки A, B, C, D назовем узловыми. 1. Каждому действительному числу соответствует единственная точка окружности. К упражнению I ,1 А В С D Рис.5 Автоматический показ Урок 1 Обратите внимание, что построенное отображение не является однозначным: Фактически, мы получили принципиально новую систему координат – криволинейную . Но точка единичной окружности имеет одну координату . (Почти все также, как и в прямоугольной системе координат.)

Слайд 9

Упражнение I .1 Назовите по одному положительному или отрицательному числу, которые не записаны на модели единичной окружности, но соответствуют каждой из узловых точек. Выбери ответ: Рис.6 На упражнение I .2 Урок 1

Слайд 10

Упражнение I .2 Выберите точки на единичной окружности, соответствующие числам: A A F G P F G P C D L M B E K N A F G P B E K N C D L M Рис.7 Нажмите здесь: Урок 1

Слайд 11

Урок 2 Способы записи чисел, соответствующих одной точке единичной окружности Упражнения : II.1 II.2 На содержание

Слайд 12

Способы записи чисел, соответствующих одной точке единичной окружности На окружности дана произвольная точка , которая получается поворотом точки на угол радиан вокруг точки О. При обходе окружности на целое число оборотов мы попадаем в исходную точку, а значит, точке окружности наравне с некоторым числом соответствует и любое число вида . В данном случае точке соответствуют числа . К упражнению II. 1 Автоматический показ Урок 2

Слайд 13

Упражнение II. 1 Выберите все числа, соответствующие указанным точкам единичной окружности 1 4 3 2 На содержание На упражнение II .2 Урок 2

Слайд 14

Вернуться к упражнению II. 1 Ошибка

Слайд 15

Вернуться к упражнению II. 1

Слайд 16

Вернуться к упражнению II. 1

Слайд 17

Вернуться к упражнению II. 1

Слайд 18

К упражнению II.2 Вернуться к упражнению II. 1

Слайд 19

Упражнение II.2 Выберите все числа, соответствующие указанным точкам единичной окружности 1 2 3 4 На содержание На урок 3 Урок 2

Слайд 20

Правильно! Вернуться к упражнению II.2 На содержание

Слайд 21

Ошибка! Вернуться к упражнению II.2

Слайд 22

Урок 3 Отбор чисел (Метод «лепестков») Пример1 Пример 2 Упражнения На содержание

Слайд 23

Отбор корней ( Метод « лепестков » ) Решение многих тригонометрических уравнений приводит к совокупности или системе их корней. Для грамотной записи ответа, требующей, в частности, исключения повторяющихся чисел, мы используем единичную окружность. Каждой серии чисел присваивается лепесток определенного цвета: Пример 1 Переписать данное условие так, чтобы в них не было повторений. Автоматический показ Урок 3

Слайд 24

Решение Теперь перенесем лепестки в нужные места тригонометрической окружности х y О Остается только записать числа, соответствующие точкам, около каждой из которых расположен хоть один лепесток Ответ: Автоматический показ Урок 3

Слайд 25

Пример 2 Переписать данное условие так, чтобы в них не было повторений. Решение Каждой серии чисел опять присваиваем лепесток определенного цвета. Теперь перенесем лепестки в нужные места тригонометрической окружности х y О Мы видим, что ни у одной точки не собрались три лепестка, поэтому запись упростить невозможно Ответ: На пример 3 Автоматический показ Урок 3

Слайд 26

Пример 3 Запишите без повторений значения х, заданные следующими условиями. Решение Недопустимые точки на единичной окружности будем отмечать крестиками, а точки вида выделим светлыми лепестками. х y О Выражение задает четыре точки единичной окружности, из которых только две допустимы. Ответ: На пример 4 Автоматический показ Урок 3

Слайд 27

Пример 4 Запишите без повторений значения х, заданные следующими условиями. Решение Каждой серии чисел опять присваиваем лепесток определенного цвета, а недопустимые точки на единичной окружности будем отмечать крестиками. х y О Точки, у которых стоит хотя бы один лепесток, но нет запрещающего знака соответствую числам: Автоматический показ Урок 3

Слайд 28

Переписать данное условие так, чтобы в них не было повторений в заданиях 1 и 2. Выбери ответ: Выбери ответ: Упражнения 3)Выбрать наибольшее отрицательное число. 4)Переписать данное условие так, чтобы в них не было повторений Выбери ответ: Выбери ответ: Урок 3 На урок 4

Слайд 29

Правильно! Упражнение I ,1 Упражнение I , 2

Слайд 30

Ошибка! Вернуться к упражнению I , 2 Вернуться к упражнению I ,1

Слайд 31

Урок 4 Запись промежутков Упражнения На содержание

Слайд 32

Запись промежутков Запиши все числа, соответствующие точкам выделенной дуги (или двух дуг) на рисунке: Решение Около одного из концов дуги записываем одно из чисел, соответствующих этой точке. Рисуем стрелку, направленную к другому концу отмеченной дуги. Стрелка снабжается знаком « + », если движение направлено против хода часовой стрелки, и знаком « - » минус, если оно идет по ходу часовой стрелки. Записываем соответствующее число около второго конца дуги. Записываем ответ с учетом, что каждой точке единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел. Пример Ответ: Автоматический показ Урок 4

Слайд 33

Упражнения Поставь в соответствие числовому промежутку номер рисунка 1 2 3 4 6 5 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 Урок 4 На урок 5

Слайд 34

Урок 5 Решение тригонометрических неравенств (примеры) Задание На содержание

Слайд 35

Урок 5 Пример Решить неравенство: Решение Рассмотрим единичную окружность: 1)Проведем прямую 2)Заштрихуем точки на оси y , для которых 3)Выделим точки единичной окружности, которые им соответствуют. M N 4 )Вдоль заштрихованной дуги М N проведем стрелку в положительном направлении (против часовой стрелки). 5)Роль начальной точки играет точка М , а конечной точка N . 6 )Ядро решения неравенства - 7)Точкам M и N «присваиваем имена» - 8)»Ядро» ответа - 9)Ответ: Автоматический показ

Слайд 36

Урок 5 Самостоятельная работа Реши неравенство: Ответ Ответ Ответ

Слайд 37

Урок 5 Ответ: К самостоятельной работе

Слайд 38

Урок 5 Ответ: К самостоятельной работе

Слайд 39

Урок 5 Ответ: К самостоятельной работе На итог

Слайд 40

Подведем итог Теперь ты можешь приступать к решению заданий повышенной сложности по тригонометрии, то есть к решению тригонометрических уравнений и задач. Ведь ты теперь знаешь и умеешь Смотри

Слайд 41

Содержание Урок 1 – «Отображение точек числовой прямой на точки единичной окружности» Урок 2 – «Способ записи координаты точки единичной окружности» Урок 3 – «Метод лепестков» Урок 4 – «Числовые промежутки на единичной окружности» Урок 5 – «Решение тригонометрических неравенств» Смотри список литературы и других ресурсов

Слайд 42

Литература и другие ресурсы для самостоятельной работы Практикум по элементарной математике. Тригонометрия. Авторы – В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович, Москва, «Вербум – М», 2000. Лев Великович "Лоцман абитуриента в океане математики" http://www.trizway.com/show.php?id=63&pg=1#a1 (Подключись к Интернету, скопируй эту ссылку в адресную строку в обозревателе и нажми « Enter » ). Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина http://mathnet.spb.ru/ (Подключись к Интернету, скопируй эту ссылку в адресную строку в обозревателе и нажми « Enter » ). Не упускай своих возможностей! Твой учитель! На содержание

Слайд 1

Центральная и осевая симметрия

Слайд 2

Симметричность точек относительно прямой Симметричность фигуры относительно прямой Симметричность точек относительно точки Симметричность фигуры относительно точки Симметрия на координатной плоскости Симметрия вокруг нас Математики о симметрии Проверим знания Задания Содержание

Слайд 3

Симметричность точек относительно прямой Определение Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему Задание Постройте точку C 1 , симметричную точке C относительно прямой а A 1 A a O B A A 1 a Т AO = OA 1 C 1 a C

Слайд 4

Симметричность фигуры относительно прямой Определение Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре А D B C M K N P a b c

Слайд 5

Какие из данных фигур имеют ось симметрии? Сколько? Подумай!

Слайд 6

Симметричность точек относительно точки Определение Точки A и A 1 называются симметричными относительно точки О , если О – середина отрезка AA 1 Задание Постройте отрезок A 1 B 1 , симметричный отрезку AB относительно точки О A O A B B 1 O A 1 A 1

Слайд 7

Симметричность фигуры относительно точки Определение Фигура называется симметричной относительно точки , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре. Какие из данных фигур имеют центр симметрии? A B C D O

Слайд 8

Симметричность на координатной плоскости y x A B (4;3) C y x A A 1 B 1 B C C 1 (-4;3) (4;-3)

Слайд 9

Симметричность на координатной плоскости y y x x A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M K K 1 M 1

Слайд 10

Симметрия в природе

Слайд 11

Симметрия в архитектуре

Слайд 12

Симметрия в искусстве

Слайд 13

Математики о симметрии Математик любит прежде всего симметрию Максвелл Д. Красота тесно связана с симметрией Вейль Г. Симметрия … является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство Вейль Г . Для человеческого разума симметрия обладает, по - видимому, совершенно особой притягательной силой Фейнман Р.

Слайд 14

Проверим знания Постройте отрезок С 1 D 1 , симметричный отрезку С D относительно прямой а Постройте треугольник M 1 N 1 K 1 , симметричный треугольнику MNK относительно точки O С D M K N O a C 1 D 1 K 1 N 1 M 1

Слайд 15

Сколько осей симметрии имеет отрезок, прямая, луч? Какие из данных букв имеют ось симметрии? Имеют ли центр симметрии отрезок, прямая, квадрат? Какие из данных букв имеют центр симметрии? М А Н Е Ю О Ы М А Н Е Ю О Ы Задания