Исследование циклоиды
статья по геометрии по теме

Шунчев Н.В., Линнус К.

ИССЛЕДОВАНИЕ ЦИКЛОИДЫ

Кривая циклоида очень интересна для изучения, однако не так просто найти посвященную ей литературу. В большинстве таких источников циклоида упоминается только вскользь или рассматривается не достаточно полно.

Цель данной работы:

- изучение свойств циклоиды;

- углубление и обобщение знаний о циклоиде;

- расширение геометрических представлений.

Актуальность работы. Циклоида используется при решении различных задач. В связи с углублением знаний по математике в скором времени может понадобиться подробная информация о различных кривых, в том числе и о циклоиде.

Основные свойства циклоиды. Первым кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564-1642) - знаменитый итальянский, астроном, физик и просветитель. Он же и придумал название «циклоида», что значит: «напоминающая о круге».

Приложим к нижнему краю доски линейку и будем катить по ней обруч или круг, прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать циклоиду.

Рис. 1.

Подобно прямой линии, циклоиду представляют бесконечной кривой, т.е. что круг (его называют производящим кругом) катится по прямой (направляющей прямой) неограниченно долго. При этом получается кривая, состоящая из бесконечного ряда арок. Отдельные арки соединяются в точках, в которых имеют общую (вертикальную) касательную. Эти точки называются точками возврата циклоиды. Они соответствуют самым низким положениям той точки катящейся окружности, за которой мы следим и которая описывает циклоиду. Самые высокие положения находятся посередине между точками возврата и называются вершинами циклоиды. Отрезок прямой между двумя соседними точками возврата называется основанием арки циклоиды.

Начнем с исследования касательной и нормали к циклоиде. Можно доказать ряд утверждений:

- угол между касательной к циклоиде (в произвольной точке) и направляющей прямой равен дополнению до 90° половины угла поворота радиуса производящего круга;

- угол между нормалью к циклоиде (в любой ее точке) и направляющей прямой равен половине «основного угла» («основным углом» называется угол поворота радиуса катящегося круга);

- нормаль к циклоиде проходит через «нижнюю» точку производящего круга;

- касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга;

- cинус угла между касательной к циклоиде в точке М и вертикалью пропорционален корню квадратному из «высоты» точки М.

Построение циклоиды. Построение циклоиды производится в следующей последовательности:

1. На направляющей горизонтальной прямой откладывают отрезок АА12, равный длине производящей окружности радиуса r, (2πr);

2. Строят производящую окружность радиуса r, так чтобы направляющая прямая была касательной к неё в точке А;

3. Окружность и отрезок АА12 делят на несколько равных частей, например на 12;

4. Из точек делений 11, 21, ...121 восстанавливают перпендикуляры до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности в точках 01, 02, ...012;

5. Из точек деления окружности 1, 2, ...12 проводят горизонтальные прямые, на которых делают засечки дугами окружности радиуса r.

Полученные точки А1, А2, ...А12 принадлежат циклоиде.

Рис. 2.

Параметрические уравнения циклоиды. Допустим, что нам дана циклоида, образованная окружностью радиуса а. Параметрические уравнения циклоиды будут иметь вид:

 (0≤ t ≤ 2π).

Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой.

Задача №1. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрически

и осью Ох.

Рис. 3.

Решение.

Задача №2. Найти длину одной арки циклоиды

Решение.

Имеем , а поэтому

 = 8a.

Задача №3. Найти площадь поверхности S, образованной от вращения одной арки циклоиды.

Решение.

В интегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площади поверхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке [a,b] параметрически: x=φ(t), y=ψ(t) (а ≤t ≤b)

|S|=.

Применяя эту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:

Задача №4. Найти объем тела, полученного при вращении арки циклоиды.

Решение.

.

Выводы. В ходе выполнения данной работы были выяснены основные свойства циклоиды; было показано, как строить циклоиду; решили ряд задач на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой. Как оказалось циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах, в физике.

Литература:

1. Берман Г.Н. Циклоида. – М., 1980
2. Веров С.Г. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды // Квант. – 1975. - №5
3. Веров С.Г. Тайны циклоиды// Квант. – 1975. - №8.
4. Гаврилова Р.М., Говорухина А.А., Карташева Л.В., Костецкая Г.С.,Радченко Т.Н. Приложения определенного интеграла. Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1 курса физического факультета. — Ростов н/Д: УПЛ РГУ, 1994.
5. Гиндикин С.Г. Звездный век циклоиды // Квант. – 1985. - №6.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. – М.,1969.
7. www.vevivi.ru