Теорема Пифагора.
план-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему

ГБОУ СОШ № 225

Г. МОСКВА

Конспект урока по теме:

«Теорема Пифагора»

Выполнила

учитель математики

Дорошенко Н.И.

2013г

Тип урока: усвоение и первичное закрепление новых знаний.

Цели и задачи урока:

1. Образовательные: доказать теорему Пифагора, познакомить с многообразием способов ее доказательства.  Показать обучающимся тесную связь между алгеброй и геометрией, нацелить  их на последовательную и систематическую подготовку к ГИА, познакомить обучающихся с некоторыми фактами из биографии Пифагора, формировать познавательный интерес, совершенствовать приёмы устных вычислений.                                                                                        
2. Воспитательные: воспитывать познавательную активность, повышать интерес к изучению математики; формировать  у детей математическую грамотность и культуру, аккуратность, внимание, навыки самоконтроля и взаимоконтроля.
3. Развивающие:  развивать мышление, память, навыки аргументированной математической  речи, навыки доказательного воспроизведения в процессе деятельности; формировать творческую активность и самостоятельность у обучающихся  в процессе обучения.

Средства обучения: компьютер, мультимедийный проектор, презентация, чертежные инструменты.

Сообщения и презентации к уроку: «Легенды о Пифагоре и его теореме», «Доказательства теоремы Пифагора»; кроссворд.

На уроке используются: информационно-коммуникационные технологии, здоровьесберегающие технологии, проблемное обучение, личностно-ориентированная технология обучения.

Формы организации деятельности учащихся:  Фронтальная, индивидуальная, в парах.

План урока:

1. Организационный этап.
2. Проверка домашнего задания.
3. Актуализация знаний.
4. Постановка цели и формулирование темы урока.
5. Изучение нового материала.
6. Различные способы доказательства теоремы Пифагора.
7. Физкультминутка.
8. Первичное закрепление материала.
9. Решение задач.
10. Постановка домашнего задания.
11. Подведение итогов.

Ход урока

Литература:

 Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 8 класс. М. Вако.2008г.

Книга для учителя. Геометрия 7 -9. Поурочные разработки. В.И. Жохов, Г.Д.Карташева, Л.Б. Крайнева. М.: Просвещение 2011г.

Журнал «Квант» № 2, 1992.

А.В. Фарков. Математические олимпиады в школе 5 – 11 классы. Москва. Айрис – пресс. 2009

1. Учительский портал. Реферат: "Проблемное обучение на уроках математики.  http://www.uchportal.ru/publ/15-1-0-981

1. ПИФАГОР - ЦИТАТЫ, ВЫСКАЗЫВАНИЯ И АФОРИЗМЫ http://www.omg-mozg.ru/pifagor.htm

Школа цифрового века. http://festival.1september.ru/articles/533462/

Учебный проект «Пифагор Самосский».  Материал из http://letopisi.ru/index.php/

Стихотворение из статьи Теорема Пифагора. Гущина Елена Сергеевна, Захарова Юлия Викторовна.

А.Е. Захарова, И.И. Зубарева, Московский городской педагогический университет,   2011 г. «Урок математики в современной школе».

 Пифагор - «Золотые стихи». http://ru.philosophy-of-religion.org.ua/golden_verses_of_pythagoras.html

Реферат. Теорема Пифагора. http://www.bestreferat.ru/referat-95516.html

Википедия. Теорема Пифагора. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%CF%E8%F4%E0%E3%EE%F0%E0

История теоремы Пифагора. http://moypifagor.narod.ru/history.htm

Приложения:

1. Способ работы  «Руки на парте». Эта форма работы используется с целью предупреждения возможного перехвата инициативы наиболее сильными обучающимися в ходе устных упражнений. После того, как учитель задал вопрос, ученики обдумывают его, но рук не поднимают, даже если знают ответ. Учитель спрашивает того, кого считает нужным, и после того как ученик ответил, никак не комментируя его ответ, обращается к другому ученику с вопросами: «N, ты согласен?» После ответа «Да» или «Нет», следует вопрос «Почему?».  В такой ситуации дети должны внимательно слушать ответы своих товарищей, чтобы  иметь возможность грамотно их прокомментировать.
2. Способ работы «Светофор».  «Светофор» – это карточки красного, зеленого и желтого цветов, которые имеются на парте у каждого обучающегося. Работа организуется следующим образом: учитель задает вопрос. Некоторое время дети обдумывают ответ. По просьбе учителя один из учеников озвучивает ответ. По просьбе учителя высказать свое мнение,  каждый ученик поднимает карточку: «зеленую», если согласен с ответом; «красную», если не согласен; «желтую», если не знает правильного ответа.

3.Сообщение Юсуповой Севинч  «Легенды о Пифагоре и его теореме»:

Существует замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника, справедливость которого была доказана Пифагором. Теорема Пифагора имеет богатую историю. Задолго до Пифагора она была известна египтянам, вавилонянам, китайцам и индейцам.

За восемь веков до нашей эры эта теорема была хорошо известна индейцам, под названием «Правило веревки» и использовалось ими для построения зданий, алтарей, разделов земельных участков, которые по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую фигуру, ориентированную относительно четырех сторон горизонта.

Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались бечевкой, разделенной на двенадцать равных частей. В первом узле, в четвертом узле и в восьмом узле стояли колышки. Они вбивались в землю так, что веревка была натянута до прямой линии. При этом образовывался прямоугольный треугольник. Затем бечевку растягивали на земле так, что получался прямоугольный треугольник  со сторонам 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника противолежащий стороне с пятью делениями, был прямой. Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц иногда называют Египетским, который вероятно, использовался для определения прямых углов при построении зданий.

На протяжении веков были даны многочисленные доказательства этого факта. В наше время мы его знаем как теорему Пифагора.

Про жизнь Пифагора достоверно почти ничего не известно, но с его именем  связано большое количество  легенд. Слово Пифагор можно перевести как вещающий (прорицающий) как Пифия. Версия о том, что Пифагор это имя не собственное, а прозвище, представляется наиболее правдоподобной.

Пифагор Самосский был не только математиком, но и философом. Он первым вводит в обращение слово «философ». До него ученые называли себя мудрецами – теми, кто «знает». Пифагор называет себя философом – тем, кто «пытается узнать». О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 году  до нашей эры в  Древней Греции на острове «Самос»,  который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове. Пифагор перебрался в город  Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру.  И только потом ему было  разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то он поехал домой, чтобы там создать свою школу. Однако по дороге домой Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на родине он оставался недолго. Вскоре Пифагор поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

Для нас Пифагор – математик. В древности было иначе. Геродот называет его "выдающимся софистом", то есть учителем мудрости. Для своих современников Пифагор прежде всего был религиозным пророком, воплощением высшей божественной мудрости. Пифагор был разносторонней личностью. Он занимался и медициной, и музыкой, и астрономией, а так же был четыре раза подряд олимпийским чемпионом. Поскольку учение Пифагора было тайным, то оно, видимо не записывалось. Вот почему не сохранилось ни одной строчки трудов самого Пифагора, скорее всего он их просто не писал.

Пифагор Самосский – великий греческий учёный. Его имя знакомо каждому школьнику. Известность Пифагора связана с названием теоремы  Пифагора. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист  Плутарх, греческий ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие.

  Легенды о теореме послужили поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель-романист А. Шамиссо, написал следующие стихи:

 Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в её далёкий век.

4. Доказательство теоремы учителем:

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:

Прямоугольный треугольник,

a, b – катеты, с - гипотенуза

Доказать:   c2 = a2 + b2

Доказательство.

1. Продолжим катеты прямоугольного треугольника: катет а - на длину b, катет b –  на длину а.

- До какой фигуры можно достроить треугольник? Почему до квадрата? Чему будет равна сторона квадрата?

2. Достроим треугольник до квадрата со стороной  а + b.

- Как можно найти площадь этого квадрата?

3. Площадь квадрата равна:

- Разобьем квадрат на части: 4 треугольника и квадрат со стороной  с.

- Каким образом ещё можно найти площадь исходного квадрата?

- Почему равны получившиеся прямоугольные треугольники?

4. С другой стороны:    

5. Приравняем получившиеся равенства:

Теорема доказана.

2. Формулировки теоремы Пифагора

Теорема Пифагора: Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты       a и b, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе c.

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на  катетах.

Алгебраическая формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

У Евклида: В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол.

Стихотворная:

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдём:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим

И таким простым путем

К результату мы придём.

5. Кроссворд.  Подготовила ученица 8 класса.

Задания:

По вертикали:

1. Название стороны прямоугольного треугольника.
2. Ее доказывают на уроках математики.

4.   Фамилия ученого – математика.

По горизонтали:

1.Предмет, изучаемый в школьном курсе.

3. Измеряем с помощью транспортира.

4. Ее используем при построении в математике.

5.Доказывал теорему Пифагора.

6. Его имя носит теорема.

Ответы:

По вертикали:

1. Гипотенуза.
2. Теорема.

4.   Лейбниц.

По горизонтали:

1. Геометрия.

3. Угол.
4. Линейка.
5. Евклид.
6. Пифагор.

6. Физкультминутка:

На разминку

На разминку становись!

Вправо-влево покрутись

Повороты посчитай,

Раз-два-три, не отставай, (Вращение туловищем вправо и влево.)

Начинаем приседать —

Раз-два-три-четыре-пять.

Тот, кто делает зарядку,

Может нам сплясать вприсядку.

(Приседания.)

А теперь поднимем ручки

И опустим их рывком.

Будто прыгаем мы с кручи

Летним солнечным деньком. (Дети поднимают прямые руки над головой, потом резким движением опускают их и отводят назад, потом резким движением снова вверх и т. д.)

А теперь ходьба на месте,

Левой-правой, стой раз-два. (Ходьба на месте.)

Мы за парты сядем, вместе

Вновь возьмёмся за дела. (Дети садятся за парты.)

7.     Способы доказательства теоремы Пифагора.

 Сейчас известно более трёхсот доказательств теоремы Пифагора. Мы сейчас поговорим о нескольких способах:

       1.Простейшее доказательство: «Квадрат, построенный на

гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах». (Доказательство устно, по рисунку слайда 9  презентации).

        2.В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

         Евклид опускал высоту  из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

     3.Старейшее доказательство (содержится в одном из произведений Бхаскары)

Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а, АЕ = b); Пусть СКВЕ = а, DLCK, AMDL

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,  значит KL = LM = ME = EK = a-b.

 .                        

4. Доказательство древних индусов. 

Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные,  т.е.     с2 = а2 + b2.

Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не  записывали его, а сопровождали лишь одним словом: «Смотри!»