Методические рекомендации по изложению темы Площади плоских фигур для учащихся 7-9 классов
методическая разработка по геометрии (7 класс) на тему

ГБС(К)ОУ школа № 26 V вида Краснодарского края г. Краснодара

 Методические рекомендации по изложению темы

«Площади плоских фигур»

по геометрии

 в 7 - 9 классах

Выполнила: учитель математики

Стояновская Л.И.

2014 г.

Аннотация. В методической разработке даётся построение доказательств формул площадей плоских фигур посредством повторяющегося методического приёма. Разработка может быть полезна учителям математики коррекционных школ.

1. Введение.

Математика в школе относится к числу наиболее отвлечённых, абстрактных учебных дисциплин. Эта особенность учебного предмета является причиной дополнительных трудностей, которые испытывают учащиеся коррекционных школ, вследствие наблюдающихся у них различного рода отклонений физического и психического развития. Одним из способов преодоления трудностей понимания и усвоения учащимися учебного материала может стать хорошо продуманные методические разработки тем и уроков, упрощающие академический стиль учебника.

Показательными для этой цели являются уроки геометрии, объектами изучения которой являются плоские и объёмные фигуры, легко отождествляемые с реальными телами в быту и технике. Настоящая методическая разработка написана к учебной теме «Площади плоских фигур».

При разработке темы преследовалась цель: найти методические приёмы, которые удовлетворяли бы требованиям научности изложения но, вместе с тем, имели бы элементы большей наглядности и простаты подачи материала. Для достижения цели применялись два приёма:

• Рисункам, сопутствующим доказательствам формул площадей, придаётся целенаправленная контрастность, при которой выделяются элементы рисунка, требующие на уроке наибольшего внимания учащихся.

• Для доказательства формул площадей плоских фигур используется один и тот же методический приём на протяжении всей темы, что устраняет, на мой взгляд, излишнее многообразие приёмов для учащихся, испытывающих отставание в умственном развитии.

Изучение темы «Площади плоских фигур» целесообразно начинать с нахождения площади прямоугольника. Прямоугольники ограничивают поверхности большого количества тел, окружающих школьника. Прежде всего, жилище: пол, потолок, стены, окна, двери, поверхность стола, книги, тетради и т.п. – всё это прямоугольники разных площадей. Доказательство формулы площади прямоугольника в данной методической разработке является исходным пунктом, позволяющим далее обосновывать, без привлечения каких-либо новых логических понятий, формулы площадей других плоских фигур от треугольника до круга включительно.

2. Единицы измерения площади.

Площадь – одна из основных математических величин, характеризующая геометрические фигуры (реальные тела, объекты и т.п.). В простейших случаях площадь измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов со стороной, равной единице длины. Квадрат со стороной 1 м является основной единицей измерения площади. Эта единица называется квадратный метр (м2).

    1 м                                               Для измерения больших площадей (поверхности озёр, морей, тер-

        риторий государств и т.д.) используют более крупную единицу

1 м        площади – квадратный километр (км2). Малые поверхности                                

        (площади) измеряются квадратными сантиметрами (см2).

3.  Нахождение площади прямоугольника.

Определение:  Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны равны (рис. 1).

            B        a        C

b
A                                                    D

                   рис. 1

Пусть дан прямоугольник ABCD, площадь которого нужно определить. Введём обозначения: длина прямоугольника BC = AD = a (м); ширина AB = CD = b (м). Разобьём сторону BC точками K, L, M, N на равные отрезки BK = KL = LM = MN = NC длиной 1 м каждый (рис2а). Точно также разобьём сторону CD точками Q, F, на равные отрезки CQ = QF = FD длиной 1 м каждый. Через точки K, L, M, N проведём прямые параллельные сторонам  AB и CD прямоугольника. Соответственно через точки F, Q проведём прямые параллельные сторонам BC и AD. В результате прямоугольник ABCD окажется покрыт единичными квадратиками с площадью 1 м2 каждый. Площадь всех квадратиков равна площади прямоугольника ABCD. Как найти число всех квадратиков?

          B           K          L          M          N           C                                B                                                                  C  

Q                    E

F

D

                       рис. 2а                                                                                          рис. 2б 

Выделим на прямоугольнике полоску BCQE (рис. 2б). Так как её ширина 1 м, а длина «a» метров, то на ней помещается «a» единичных квадратиков. Столько же квадратиков поместится на второй, третьей и т. д. горизонтальных полосках, равных полоске BCQE. Всего полосок «b». Легко понять, что число всех единичных квадратиков, покрывающих прямоугольник ABCD, равно числу квадратиков на одной полоске, умноженному на число полосок. Итак,

  SABCD = Sпрямоуг. = ab

Вывод: площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.

4. Площадь квадрата.

Определение:  квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис. 3).

Пусть дан квадрат ABCD. Введём обозначение: AB = BC = CD = DA = a (м). Площадь квадрата, так же как и площадь прямоугольника, равна произведению его длины на ширину. Но у квадрата длина «а» равна ширине «а». Следовательно,

            B                a                   C

SABCD  = Sквадр. = а∗а = а2

       A                                          D       Вывод: площадь квадрата равна квадрату его стороны.

        рис. 3

Вывод формул площади других плоских фигур (треугольника, параллелограмма, трапеции, круга) достигается путём последовательного применения для всех случаев одного и того же методического приёма: геометрическая фигура разбивается на треугольники, сумма площадей которых составляет площадь данной фигуры. Этот наглядный способ доказательства развивает познавательное воображение ученика, способствует более осмысленному восприятию материала урока.

5. Площадь прямоугольного треугольника.

Определение:  треугольник – это замкнутая плоская фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, соединяющими эти точки.  Треугольник, у которого  один из углов прямой, называется прямоугольным.

Любой прямоугольник ABCD (рис. 4) делится своей диагональю BD на два равных прямоугольных треугольника ABD и BCD (рис. 4а).

           B                  a                C                                   B     B               a               C  

b              →           b                b

         A                                   D                                     A                                 D     D

        рис. 4        рис. 4а 

А равные фигуры имеют равные площади. Следовательно, площадь каждого прямоугольного треугольника равна половине площади прямоугольника.

SABC = SBCD =  SABCD

С помощью введённых обозначений площадь прямоугольного треугольника можно записать в виде S = ab. В прямоугольном треугольнике стороны AD = a, AB = b, образующие прямой угол, называются катетами.

Вывод:  площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

6. Площадь произвольного треугольника.

Первый вариант.

Пусть дан не прямоугольный разносторонний треугольник ABC со сторонами a, b, c (рис. 5). Опустим из вершины B на основание AC = a высоту BD = h. Высота BD разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника ABD и BCD (рис. 5а).

                       B                                                           

b          c                                →              

          A        C                                          

                                            D               a       рис. 5

        B      B

                                               h

             A        D             C

        рис. 5а 

Известно, что площадь фигуры равна сумме площадей частей, из которых она состоит. Следовательно, площадь треугольника  ABC можно представить как сумму площадей треугольников ABD и BCD.

SABC  = SABD + SBCD      (1)

Но  SABD =  AD∗h;          SBCD =  DC∗h,    где AD и h – катеты  Δ ABD; DC и h – катеты  Δ BCD. Подставим значения площадей треугольников в равенство (1). Получим:

SABC  =  AD∗h +   DC∗h =   h (AD + DC)       (2)

Сумма (AD + DC) = AC = a. Заменим в равенстве (2) сумму в скобках на равную ей величину «а», получим

S =  ah       (Ι)

Получили формулу площади произвольного разностороннего треугольника.

Вывод: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Второй вариант.

Высота h в треугольнике ABC и сторона AB = b являются соответственно катетом и гипотенузой в прямоугольном треугольнике ABD (рис. 5б).

                 B

   b                h

            α

            A        D        a        C

                      рис. 5б   

Обозначим угол при вершине A буквой α. Отношение катета h, лежащего против угла α, к гипотенузе b есть синус угла α: Выразим из этого равенства величину h: h = b∗Произведение b∗ , определяющее вершину h, подставим в формулу (Ι) площади разностороннего треугольника.

S =  ab       (ΙΙ)

Вывод:  площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними.

7. Площадь параллелограмма.

Определение: Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Пусть дан параллелограмм  ABCD (рис. 6). Проведём диагональ DB . Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника: ABD и DBC (первый признак равенства треугольников: угол A =  углу C; AB = DC; AD = BC, рис. 6б).

         A        B                                                       A          B   B

        →                    

           h

        D        C                                                                       D  D             а        C

                                           рис. 6                                                                                                        рис. 6а 

Так как площади треугольников одинаковы, то площадь параллелограмма можно представить как удвоенную площадь одного треугольника, например, DBC  (рис. 6).

Sпарал. = SABCD  = 2SDBC         (1)

Обозначим основание параллелограмма  DA = a. Эта сторона является также основанием треугольника DBC. Опустим  из вершины B на основание треугольника высоту h, которая будет также высотой параллелограмма, так как определяет расстояние между параллельными сторонами AB и DC. Запишем известную формулу площади треугольника:

Sпарал. =  ah

Подставим это значение площади треугольника в равенство (1). Получим формулу площади параллелограмма:

Sпарал. =2∗  ah = ah

Итак,  

Sпарал. =  ah

Вывод:   площадь параллелограмма равна произведению основания параллелограмма на его высоту.

8. Площадь ромба.

Вариант  первый.

        а

     а              hhh                    а

ммff

h

а

рис. 7

Вариант  второй.

             B

        A          d1    O         C

      d2

D

                      рис. 8

                                B

             A         d1    O             C        

                                    D

рис. 8а

9. Площадь трапеции. 

Определение: трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны.

Пусть дана трапеция ABCD (рис. 9). Параллельные стороны AD и BC называются основаниями трапеции. Обозначим основания AD = a, BC = b.

                                                b 

                       B                                                                 C

           A        D

                                                 a       рис. 9

Проведём диагональ трапеции BD. Диагональ делит трапецию на два треугольника ABD и BCD. Очевидно, что площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников:

SABCD = SABD + SBCD            (1)

                      B     B                             b                          C                         E        

                           h                 h

       A                  F        a        рис. 9а                                     D

В треугольнике ABD опустим высоту BF = h на основание «a» (рис. 9а). В треугольнике  BCD опустим высоту DE = h на продолжение основания «b». Высоты треугольников равны, т.к. они определяют расстояние между параллельными основаниями «a» и «b» трапеции. Высота треугольника является одновременно и высотой трапеции. Запишем формулы площадей треугольников:

SABC =  ah;   SBCD =  bh.

Подставляя значения площадей треугольников в равенство (1), получим формулу площади трапеции:

SABCD =  ah +  bh = (a + b)∗h     или    SABCD =  h

Вывод:  площадь трапеции равна произведению полу суммы оснований на высоту.

10.  Площадь круга.

                                  R        

                            О        

                         рис. 10

        рис. 11

                             рис. 12

                                            A

                                                           B                          

                             рис. 13

            (Ι)

Очевидно, что при достаточно большом числе сторон площадь многоугольника будет практически совпадать с площадью круга. Т.е.,

                  (ΙΙ)

Зададим вопрос: при каком числе сторон n площадь правильного вписанного многоугольника можно отождествлять с площадью круга? Произведение , стоящее перед  , не зависит от радиуса круга. Начиная с n ≥ 150 (см. таблицу), это число с точностью до сотых долей имеет постоянное значение 3,14…

Постоянство множителя (числа) перед R2 при увеличении n от150 до 10000 служит признаком того, что площади многоугольника и круга совпадают с точностью до сотых долей. Число 3,14… обозначают буквой греческого алфавита  (пи). Заменяя произведение   буквой  в равенстве (Ι), получим формулу площади круга:

Sкр R2 .      

Примечание.  Найти точное (математически точное) значение площади круга по формуле  R2 нельзя, т.к. число , известное в математике как трансцендентное число, представляется бесконечной непериодической дробью. Для практических целей ограничиваются числом 3,14…