Конспект урока "Признаки равенства прямоугольных треугольников" 7 класс Атанасян
план-конспект урока по геометрии (7 класс) на тему

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Примечание

Организационный момент

Здравствуйте, садитесь.

Сегодня мы продолжим изучать тему:"Признаки равенства прямоугольных треугольников", записываем в тетрадь число и тему.

Перед уроком на доске написать число, тему, задание на урок,  чертежи для актуализации.

Актуализация знаний

Начнем урок с того что сейчас кто то один  пойдем к доске и докажет теорему о равенстве прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе.

(вызываю к доске Юлю, на левой доске)

А пока мы с вами  решим задачи по готовым чертежам.

Смотрим на доску.

Первая задача.

Итак, как будем доказывать, с чего начнем?

Так, и какой вывод мы делаем?

Хорошо, смотрим на вторую задачу.

Что надо доказать и что у нас надо для этого есть? Чем мы можем воспользоваться?

Верно, переходим к следующей задаче.

Что делаем в этой задаче?

Хорошо, все задачи мы решили.

Теперь послушаем Юлю.

Пожалуйста, сначала формулировку, потом  доказательство.

Молодец, садись!

(поставить оценку)

Доказательство:

1) Треугольник ABC  

равнобедренный с основанием ВС, поэтому

АВС =АСВ.

2)∆BPD =∆CFD по катету

(ВР = CF по условию) и  

прилежащему острому углу (В=С ).  

3) Из пункта 2 следует, что в равных треугольниках BPD и CFD, 

BD = DC

Нужно сначала доказать равенство углов, а чтобы доказать равенство углов, надо доказать равенство

∆MNP и ∆FРN

Доказательство:

1) ∆MNP = ∆FPN по двум катетам

(MN = FP по условию, NP — общий катет),следовательно

MPN =FNP.

2) В ∆NKP два угла равныKPN =KNP ,

поэтому  ∆NKP- равнобедренный.

Доказываем, что ∆АВМ = ∆АСМ

Доказательство:

∆АВМ = ∆АСМ по гипотенузе и острому углу

(1=2 - т.к АМ биссектриса, АM- общая гипотенуза)

Из равенства этих треугольников

следует, что ВМ=МС

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых углы С и С1 —прямые, AB=A1B1, ВС=В1С1.

Докажем, что ∆АВС=∆А1В1С1. Так как C=C1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина С совместится с вершиной C1, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С1А1 и C1B1 Поскольку СВ=С1В1, то вершина В совместится с вершиной В1. Но тогда вершины А и А1 также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка А совместится с некоторой другой точкой А2 луча C1A1, то получим равнобедренный треугольник А1В1А2 в котором углы при основании А1А2 не равны A2 — острый, a А1 — тупой, как смежный с острым углом B1А1С1. Но это невозможно, поэтому вершины А и А1 совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC и А1В1С1 , т. е. они равны.

На доске:  

1)  

          Дано: ∆АВС- равнобедренный
            АВ=АС,
            DP ⊥AB,
            DF ⊥AC,
            ВР = СF.        

    Доказать:
    BD=DC

2)

 Дано:

 ∆MNP и ∆FPN-прямоугольные

МР и NF пересекаются в точке К

 MN = FP.

Доказать:

∆NKP- равнобедренный

3)

  Дано:

МВ⊥АВ,

МС⊥АС,

AM-биссектриса А.

Доказать:

ВМ=МС.

Практическая часть

Итак мы вспомнили с вами признаки равенства прямоугольных треугольников, переходим к решению задач. Открываем дидактические материалы, С-21 В-4, В-6

№1.

Читаем условие

(вызываю к доске

Выходи к доске. Рисуй чертеж к задаче.

Что будем делать?

Хорошо, садись.

(поставить оценку)

Теперь переходим к В-6.

№1

Читаем условие.

Есть идеи?

Обязательно записываем ответ.

Правильно, садись.

(поставить оценку)

№2

Читаем условие.

С чего начнем?

Правильно, что потом будем делать?

А с чего начнем доказательство?

Да, а что будем строить?

Хорошо, садись.

(поставить оценку)

На сторонах АВ и ВС треугольника ABC взяты точки D и Е соответственно. Из этих точек опущены  перпендикуляры DK и ЕР к прямой AC, DK = ЕР, ADK = PEC. Докажите, что АВ = ВС

Сначала рассмотрим ∆АDK и ∆СEP.

Доказательство:

Рассмотрим ∆АDK и ∆СEP (прямоугольные)

1) ∆АDK = ∆СEP

по катету и острому углу (AK=PC, ADK=CPE по условию)

2)Т.к. ∆АDK = ∆СEP => А=С

3) Т.к. А=С,=> ∆АВС- равнобедренный, АВ=ВС.

Через точку К, взятую на стороне АВ  треугольника ABC, проведена прямая, перпендикулярная АВ и  пересекающая сторону АС в точке D. Известно, что

KDB = KDA, АС = 30 см, ВС = 15 см. Найдите  

периметр треугольника BDC.

Решение:

Рассмотрим ∆BDK и ∆KDA

1)DK- общий катет, KDB = KDA по условию, => ∆BDK = ∆KDA по катету и острому углу.

2)т.к. ∆BDK = ∆KDA => BD=DA =>BD - медиана

3)т.к СD=DA=BD =15 см => Р∆ВDС= 45 см.

Ответ: 45 см.

Отложим биссектрисы, отметим точку пересечения.

С дополнительного построения

Перпендикуляры из точки О к сторонам АВ, АС и СВ.

Доказательство:

1) ОК ⊥ АВ,ОМ ⊥ ВС, ОР⊥АС.

Рассмотрим ∆OKB=∆ОМВ

 2) ОВ- общая гипотенуза

КВО=МВО(т.к. ВО биссектриса.)

Рассмотрим ∆OМС=∆ОРС

3) ОС- общая гипотенуза

МСО=РСО(т.к. СО биссектриса.)

4)из (2) и (3) => КО=МО,МО=РО => КО=РО.

Рассмотрим ∆ КАO=∆РАО

5) КО=РО из (4)

АО- общая гипотенуза.

6)т.к ∆ КАO=∆РАО, то КАO=РАО => A- биссектриса.

С-21 В-4  

 №1                                    

  Дано: ∆АВС

D ϵ AB, E ϵ BC,

DK⊥AC, EP⊥AC,

ADK=CPE, DK=PE.

Доказать:

АВ=ВС

С-21 В-6

№1

Дано:

∆ABC

ВС=15 см

АС=30 см

K ϵ AB, DK⊥AB, D ϵ AC

KDB = KDA,

Найти:

Р∆ВDС-?

№2

Дано:
∆ABC

АL-биссектриса угла А.

BO и CO биссектрисы внешних углов В и С.

Доказать:

AL∩BO=O

Подведение итогов

Итак, сегодня на уроке мы с вами повторили признаки равенства прямоугольных треугольников.

Какие, еще раз давайте проговорим, бывают признаки равенства прямоугольных треугольников?

Хорошо.

На следующем уроке будет самостоятельная работа в начале урока, а затем  начнем новую тему.

По двум катетам

По катету и острому углу

По гипотенузе и острому углу

По гипотенузе и катету

Домашнее задание

Открываем дневники, записываем задание на дом:

С-21, В-3,В-5.

Урок окончен, спасибо за внимание!

Записывают

На доске написать.