Экзаменационные билеты по геометрии-7 класс
материал по геометрии (7 класс) на тему

Билет №1.

1. Точка. Прямая. Отрезок.
2. Равнобедренный треугольник. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.
3. Задача на построение.

А) Дан отрезок АВ. Постройте окружность, для которой отрезок АВ

     является диаметром.

      Б) Постройте прямоугольный треугольник, у которого один катет равняется

           данному отрезку, а другой в два раза меньше гипотенузы.

4. Задача на тему «Признаки равенства треугольников».

А) В треугольнике АВС АВ=ВС. Точки М и Н середины сторон АВ и ВС.

     МD и НЕ перпендикулярны к прямой АС. Докажите, что ∆АMD=∆CНЕ.

Б) Даны равносторонние треугольники АВС и А1В1С1. О и О1 –  

     соответственно точки пересечения медиан этих треугольников, ОА=О1А1.

     Докажите, что ΔАВС=ΔА1В1С1.

В) На сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС отмечены точки С1, А1, В1 

     соответственно, так что отрезки СС1, АА1, ВВ1 пересекаются в точке О.

     На отрезке ОС взята точка С2, а на отрезках ОА и ОВ точки А2 и В2 

     соответственно; ОА1=ОА2, ОВ1=ОВ2, ОС1=ОС2. Докажите, что

     треугольники А1В1С1 и  А2В2С2 при наложении совместятся.

Билет №2.

1. Луч.
2. Первый признак равенства треугольников.
3. Задача на построение.

А) Начертите произвольный треугольник АВС. Постройте биссектрису АМ.

      Б) Даны отрезки PQ, P1Q1, P2Q2. Постройте равнобедренный треугольник

          АВС, в котором основание АС равняется  PQ, биссектриса АD равняется

          P1Q1, а расстояние от точки D до прямой АВ  равняется P2Q2.

4. Задача по теме «Сумма углов треугольника».

А) В равнобедренном треугольнике угол при основании на 27о меньше угла,

     противолежащего основанию. Найдите углы треугольника.

Б) В тупоугольном равнобедренном треугольнике один из углов в четыре

     раза больше другого. Медиана треугольника, проведенная к основанию

     равна а. Найдите боковую сторону.

В) Внутри треугольника АВС взята точка М, через которую проведены

     прямые, пересекающие стороны АВ и ВС в точках К и Е. <МКА=140о,

     <МЕС=130о, <А=60о, <С=80о. Найдите <КМЕ.

                                                      Билет №3.

1. Угол.
2. Равнобедренный треугольник. Свойство медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.
3. Задача на построение.

А)  Начертите произвольный треугольник АВС. Постройте прямую АМ,

      параллельную прямой ВС.

      Б)  Постройте треугольник по высоте и двум отрезкам, на которые эта

            высота делит сторон треугольника.

4. Задача по теме «Параллельные прямые». 

Билет №4.

1. Сравнение отрезков и углов.
2. Неравенство треугольника.
3. Задача на построение.

А) Начертите произвольный треугольник АВС. Постройте медиану ВD.

Б) Построить прямоугольный треугольник с углом, равным 30о,

    по данной гипотенузе.

4. Задача по теме «Параллельные прямые».

А) Отрезки АВ и СD – диаметры некоторой окружности. Докажите,

     что  прямые АС и ВD параллельны.

Б) Точки В и D лежат по разные стороны от прямой АС. Известно, что  

     АВ║DС, АD║ВС. Докажите, что <АВС=<АDС, АВ=DС, АD=ВС.

В) На биссектрисе ВД равнобедренного треугольника АВС взята точка Е.  

     Через эту точку проведены прямые, параллельные сторонам АВ и ВС  

     и пересекающие основание АС в точках Н и К. Докажите, что АН=КС.

Билет №5.

1. Измерение отрезков.
2. Прямоугольный треугольник и его свойства.
3. Задача на построение.

А) Построить прямую, проходящую через заданную точку и

     перпендикулярную к данной прямой (точка лежит на данной прямой).

Б) Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу,

    противолежащему основанию.

4. Задача по теме «Равнобедренный треугольник».

А) В треугольнике АВС <ВАС=<ВСА, биссектрисы АА1 и СС1 пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС – равнобедренный.

Б) В треугольнике АВС внешние углы при вершинах А и В равны. Докажите, что 2АС>АВ.

В) В треугольнике АВС АВ=ВС. Внутри треугольника отмечена точка D так, что

Билет №6.

1. Измерение углов.
2. Второй признак равенства треугольников.
3. Задача на построение.

А) Даны отрезки a и b. Постройте равнобедренный треугольник по основанию a и боковой стороне b.

Б) Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и высоте, проведенной из вершины прямого угла.

4. Задача по теме «Равнобедренный треугольник».

А) Разность двух сторон  тупоугольного равнобедренного треугольника равна 8 см, а его периметр равен 38 см. Найдите стороны треугольника.

Б) В равнобедренном треугольнике АВС угол В – тупой. Высота ВD равна 8 см. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника АВD равен 24 см.

В) В треугольнике АВС внешние углы при вершинах  А и С равны. Найдите длину биссектрисы  ВD, если периметр треугольника АВС равен 36 дм, а периметр треугольника АВD равен 24 дм.

Билет №7.

1. Аксиома. Теорема. Доказательство. Теорема, обратная данной. Метод доказательства от противного.
2. Третий признак равенства треугольника.
3. Задача на построение.

А) Даны отрезок a и угол В. Построить равнобедренный треугольник с

     основанием, равным a, и углом при основании, равным углу В.

Б) Постройте прямоугольный треугольник по катету и противолежащему

     ему острому углу.

4. Задача по теме «Начальные понятия геометрии».

А) Угол МРК является частью угла МРН, равного 105о. Найдите угол МРК, если известно, что он в четыре раза меньше угла КРН.

Б) Угол АОВ равен 43о. Внутри этого угла проведен луч ОС. Найдите угол между биссектрисами углов АОС и ВОС.

В) На окружности последовательно отмечены точки А, В, С, D; АВ=СD. Докажите, что АС=ВD.

Билет №8.

1. Треугольник.
2. Вертикальные углы и их свойства.
3. Задача на построение.

А) Начертите треугольник МРК с тупым углом Р. Постройте высоту КА.

Б) Постройте равнобедренный прямоугольный по данной гипотенузе.

4. Задача по теме «Окружность».

А) В окружности с центром О проведены три радиуса ОВ, ОС, ОА, <АОВ=<ВОС. Докажите, что <ОАВ=<ОСВ.

Б) В окружности с центром О проведены три радиуса ОА, ОВ, ОС, так что ОВ перпендикулярен АС и отрезки ОВ и АС пересекаются. Докажите, что АВ=ВС.

В) В окружности с центром О проведены две непараллельные равные хорды АВ и СD. Точка М – середина хорды АВ, а точка Н – середина хорды СD. Докажите, что <НМО=<МНО.

Билет №9.

1. Классификация треугольников по углам.
2. Расстояние между параллельными прямыми.
3. Задача на построение.

А) Постройте середину данного отрезка.

Б) Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из

     вершины третьего угла.

4. Задача по теме «Смежные и вертикальные углы».

А) Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 162о. Найдите остальные углы.

Б) Дан треугольник АВС. На продолжении сторон АВ и ВС за вершину В отмечены точки D и E соответственно; о,      3 * <А=<С. Найдите угол, смежный с углом А.

В) Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О, причем ОА=ОD. На отрезке АD отмечена точка Р так, что

Билет №10.

1. Классификация треугольников по сторонам.
2. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.
3. Задача на построение.

А) Постройте равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной

     данному отрезку а, и углом, противолежащим основанию, равным

     данному углу В.

Б) Постройте треугольник по углу и, проведенными из вершины этого угла,

    биссектрисе и высоте.

4. Задача по теме «Окружность».

А) Найдите расстояние между центрами касающихся окружностей, если их радиусы равны 31 см и 52 см.

Б) Расстояние между центрами двух касающихся окружностей равно 18 см. Найдите радиусы окружностей, если один из них в 4 раза меньше другого.

Билет №11.

1. Медианы треугольника.
2. Смежные углы и их свойства.
3. Задача на построение.

А)  Постройте треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Б)  Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и медиане, проведенной к гипотенузе.

4. Задача по теме «Равнобедренный треугольник».

А) В равнобедренном треугольнике угол при основании в 4 раза больше угла между боковыми сторонами. Найдите углы треугольника.

Б) Боковая сторона равнобедренного треугольника в 2 раза больше основания и на 12 см  меньше периметра треугольника. Найдите стороны треугольника.

В) В равнобедренном треугольнике один из внешних углов равен 130о. Найти углы треугольника.

Г) Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Билет №12.

1. Биссектрисы треугольника.
2. Признаки равенства прямоугольных  треугольников. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
3. Задача на построение.

А) Постройте прямоугольный треугольник по двум катетам.

Б) Постройте равнобедренный треугольник по углу, противолежащему основанию, и высоте, проведенной к боковой стороне.

4. Задача по теме «Сумма углов треугольника».

А) Один из внутренних углов треугольника в 3 раза больше другого, а внешний угол, смежный с третьим внутренним углом, равен 100о. Найдите все внутренние углы треугольника.

Б )

В) Один из углов треугольника равен разности двух других. Докажите, что данный треугольник – прямоугольный.

Билет №13.

1. Высота треугольника.
2. Свойство двух прямых, перпендикулярных к третьей прямой.
3. Задача на построение.

А) Постройте угол, равный данному.

Б) Постройте угол, равный 75°

В) Постройте треугольник АВС, у которого угол А вдвое меньше угла В и равен данному углу Р, а сторона АВ равна данному отрезку КМ.  

4.  Задача по теме «Признаки равенства треугольников».

А) На высоте АН равнобедренного треугольника АВС с прямым углом А взята точка О. Докажите, что треугольники АОВ и АОС равны.

Б) В равнобедренном треугольнике АВС ВD – высота, проведенная к основанию. Точки М и Н принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно. Луч DВ – биссектриса угла МDН. Докажите, что АМ=НС.

В) В треугольнике АВС на высоте ВD отмечена точка О; <ОАD=<ОCD. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ и ВС.

Билет №14.

1. Соотношение между сторонами и углами треугольника.
2. Признаки параллельности прямых.
3. Задача на построение.

А) Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему острому углу.

Б) Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и проведенной к ней высоте.

4. Задача по теме «Смежные углы».

А) Углы АВD и АВС смежные, луч ВО – биссектриса угла АВD. Найдите <ОВD, если <АВС=40о.

Б) На сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС взяты точки, М, Р, К соответственно, так что лучи КМ и КР являются биссектрисами углов АКВ и ВКС. Докажите, что <МКР=90о.

В) Дана окружность с центром О и диаметром АВ. Вне окружности взята точка М, так что прямые МА и МВ пересекают окружность в точках С и D соответственно; АС=CD=BD. Докажите, что АС=ОВ.

Билет №15.

1. Перпендикулярные прямые.
2. Сумма углов треугольника.
3. Задача на построение.

А) Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

Б) Постройте равносторонний треугольник, у которого периметр в полтора раза больше периметра данного треугольника.

4. Задача по теме «Параллельные прямые».

А) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и Н соответственно; <А=<ВМН=50о, <С=60о. Найдите <МНС.

Б) В треугольнике АВС <А=50о, <С=80о. Докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника при вершине С лежит на прямой, параллельной прямой АВ.

В) На одной стороне неразвернутого угла взяты точки А и С, на другой В и D, так что АВ║СD. Точка М принадлежит отрезку АВ; <МСА=

Билет №16.

1. Перпендикуляр, наклонная, проекция.
2. Равнобедренный треугольник. Свойство высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.
3. Задача на построение.

А) Постройте треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Б) Постройте треугольник АВС, у которого сторона АС вдвое меньше стороны АВ и равна данному отрезку ЕК, а угол А равен половине данного угла Р.

4. Задача по теме «Смежные углы».

А) Один из смежных углов в пять раз меньше другого. Найти эти углы.

Б) Основание АС равнобедренного треугольника АВС продолжено за вершины А и С. На продолжениях соответственно отложены равные отрезки АD и СЕ. Докажите, что ВD=ЕВ.

В) На окружности с центром О последовательно взяты точки А, В, С, D, E так, что точки А и Е – концы диаметра; o, o. Докажите, что ВD=АС.

Билет №17.

1. Расстояние от точки до прямой.
2. Внешний угол треугольника и его свойства.
3. Задача на построение.

А) Постройте прямую, параллельную данной прямой, так, чтобы расстояние между прямыми было равно данному отрезку.

Б) Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к боковой стороне.

4. Задача по теме «Равнобедренный треугольник».

А) Найдите периметр треугольника, если два его угла равны, а две стороны имеют длины 20 см и 10 см.

Б) В треугольнике АВС o, <А=40о. Точка D принадлежит стороне АС. Причем угол BDC – тупой. Докажите, что АВ>BD.

В) В треугольнике МРК o, <Р=100о. На стороне МР отмечена точка D так, что о. Сравните отрезки MD  и DP.

Билет №18.

1. Параллельные прямые (определение). Углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых секущей.
2. Равнобедренный треугольник. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника.
3. Задача на построение.

А) Постройте треугольник по трем сторонам.

Б) Постройте прямоугольный треугольник по катету и высоте, опущенной на гипотенузу.

4. Задача по теме «Начальные понятия геометрии».

А) Отрезки АВ, ВС, СD последовательно отложены  на одной прямой АС=BD=18 см, ВС=7 см. Найдите AD.

Б) Отрезки АЕ, ЕК, КВ последовательно отложены на одной прямой, а точки С и D лежат по разные стороны от этой прямой; АЕ=ВК, АС=BD, СК=DЕ. Докажите что ∆АСК=∆ВЕD.

В) На отрезке АВ отмечены точки С и D, так что точка С лежит между точками А и D. Точка М не принадлежит прямой АВ. Медианы треугольников МАС и МDВ, проведенные из вершины М, равны по 11 см. Найдите угол между этими медианами, если АВ=15 см, СD=7 см.

Билет №19.

1. Аксиома параллельности прямых и следствия из нее.
2. Равнобедренный треугольник. Признак равнобедренного треугольника.
3. Задача на построение.

А) Постройте равнобедренный треугольник по основанию и сумме боковых сторон.

Б) Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

4. Задача по теме «Признаки равенства треугольников».

А) В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Точки М, Н и К – середины сторон АВ, ВС, АС соответственно. Докажите, что ∆АМК=∆КНС.

Б) Даны треугольники АВС и А1В1С1 с высотами СD и C1D1; 1=45o, CD=C1D1, АВ=А1В1. Докажите, что ∆АВС=∆А1В1С1.

В) На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и Н. Отрезки АН и МС пересекаются в точке D; MD=DН, <НАС=<МСА. Можно ли совместить наложением отрезки ВМ и ВН?

Билет №20.

1. Окружность.
2. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе.
3. Задача на построение.

А) Построить биссектрису данного угла.

Б) Постройте прямоугольный треугольник АВС, где угол В равен 90°, по стороне ВС и биссектрисе СМ.

4. Задача по теме «Сумма углов треугольника».

А) В треугольнике АВС <А=20о, <В=100о. На стороне АВ отмечена точка D так, что o. Найдите углы треугольника ВСD.

Б) В треугольнике АВС <А=100о. Биссектрисы СС1 и ВВ1 пересекаются в точке D. Найдите угол ВДС.

В) На окружности с диаметром АВ взята точка С; <САВ=70о. Найдите <СВА и <АСВ.