Вычисление объемов геометрических фигур-подготовка к ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс) на тему
Рассмотрены задачи ЕГЭ по вычислению объемов геометрических фигур
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 obem_konusa_i_tsilindra.ppt | 1.23 МБ |
| obem_piramidy.ppt | 1.18 МБ |
| obem_tsilindra_i_prizmy.ppt | 1.34 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 0 . В ответе укажите . А О 2 С 30 0 3 х 1 0 х В 9 1 1 Просят найти
Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза? V = S o H 1 3 О r h 1 3 h 3 х 1 0 х В 9 3 V 1 V 2 Найдем отношение объемов
Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза? О r V 1 V 2 V = S o H 1 3 3 х 1 0 х В 9 5 2 , 2 Найдем отношение объемов 1,5 r
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150. 3 х 1 0 х В 9 5 0 Найдем отношение объемов 150 1 V ц. 150 3 =
Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на . А О 10 С 3 х 1 0 х В 9 1 2 8 6 Просят найти
Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на . 45 0 3 х 1 0 х В 9 9 Просят найти 6 3 3 45 0
6 Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на . 3 х 1 0 х В 9 7 2 Просят найти 6 А В С
Повторение. Если вы забыли формулы взаимосвязи между R , r и a для правильного четырехугольника (квадрата), всегда легко их вывести. Например, можно получить эти формулы так: r С В A R a a 2 45 0 K т. О – точка пересечения диагоналей квадрата Радиус вписанной окружности r D O 2 a r Радиус описанной окружности R
Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на . О А В С S D 4 4 6 3 х 1 0 х В 9 1 6 Просят найти 2 4 ?
Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду? О А В С S D 3 х 1 0 х В 9 2 Найдем отношение объемов 2 a r R r
Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. 3 х 1 0 х В 9 2 Найдем отношение объемов 16 8 16 V 2 1 = V 1 V 2 h 2 h r 2 r
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите . О 9 90 0 13 3 х 1 0 х В 9 5 7 8 7 , Просят найти Искомая фигура составляет четвертую часть от всего конуса
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите . О 9 90 0 12 3 х 1 0 х В 9 2 4 3 Просят найти Искомая фигура составляет части от всего объема конуса 3 4
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите . О 12 60 0 27 3 х 1 0 х В 9 2 1 6 Просят найти Искомая фигура составляет часть от всего объема конуса 1 6
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите . О 9 60 0 27 3 х 1 0 х В 9 5 , 6 0 7 Просят найти Искомая фигура составляет части от всего объема конуса 5 6
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите . 6 90 0 5 3 х 1 0 х В 9 4 5 Просят найти Искомая фигура составляет часть от всего объема цилиндра 1 4
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите . 1 90 0 5 О О 1 3 х 1 0 х В 9 5 3 , 7 Искомая фигура составляет части от всего объема цилиндра 3 4
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите . 12 60 0 6 3 х 1 0 х В 9 1 4 4 Просят найти Искомая фигура составляет часть от всего объема цилиндра 1 6
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите . 15 60 0 5 3 х 1 0 х В 9 5 , 9 3 7 Просят найти Искомая фигура составляет части от всего объема цилиндра 5 6
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите . 2 О 1 3 4 О 3 х 1 0 х В 9 1 4 Просят найти От верхнего цилиндра берем только половинку 1
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите . 5 5 2 3 х 1 0 х В 9 1 0 5 Просят найти
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Найдем отношение объемов Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза? V = S o H 1 3 3 х 1 0 х В 9 8 h a 2 a 2 h a ab S sin 2 1 =
Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды. 3 х 1 0 х В 9 4 Н 3 4 V = S o H 1 3 12 16
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна . 3 х 1 0 х В 9 5 0 , 2 V = S o H 1 3 1 1 a ab S sin 2 1 = 1 1 60 0
3 х 1 0 х В 9 3 . Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен . 2 2 V = S o H 1 3 ? a ab S sin 2 1 = 2 2 60 0 3 3
3 х 1 0 х В 9 4 Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза? A F B C D E Найдем отношение объемов V = S o H 1 3 h 4 h
3 х 1 0 х В 9 7 1 1 1 60 0 ? . Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро. A F B C D E 1 1 ? 1 S 6 2 3 3 О Из АО S по теореме Пифагора найди ребро AS . a ab S sin 2 1 = 1 1 60 0 Для правильного 6-уг. сторона равна радиусу описанной окружности. Можно вычислить площадь правильного шестиугольника, разбив его на 6 треугольников.
3 х 1 0 х В 9 2 0 0 . В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем. Н 6 10 10 V = S o H 1 3 a S = кв. 2
3 х 1 0 х В 9 4 8 . Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 0 . Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды. . Н S D C B V = S o H 1 3 ? 6 Из SHG : Из SHA : 3 6 = ab S пр. 3 12 G 6 0 0 6 A 6 0 0
3 х 1 0 х В 9 4 , 5 Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды. A В С S A S B C V = S o H 1 3 3 3 3 3 3 3 Задача очень простая, если догадаться опрокинуть пирамиду на удобную грань, например, SCB . Основание – прямоугольный треугольник SCB , высота AS . ab S 2 1 = 3 3 катет катет высота
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45 0 . Найдите объем пирамиды. 3 х 1 0 х В 9 4 8 . . A F B C D E 4 4 S О К V = S o H 1 3 45 0 ? ? 4 4 4 60 0 a ab S sin 2 1 = 4 4 60 0 Можно вычислить площадь правильного шестиугольника, разбив его на 6 треугольников. 2 3 2 3 2 3 2 Найдем ОК по теореме Пифагора К О С
Найдем отношение объемов Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды B 1 ABC . V пир. = S o H 1 3 A B C D B 1 C 1 D 1 A 1 V приз. = S o H h h 12 3 х 1 0 х В 9 2 2 S ABC =
Пирамида AD 1 CB 1 получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам — ABCB 1 , D 1 B 1 CC 1 , AA 1 D 1 B 1 и ADCD 1 . А объем каждой из них легко посчитать — мы делали это в предыдущей задаче. Например, найдем объем пирамиды ABCB 1 . Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD 1 CB 1 . C 1 A B C D A 1 B 1 D 1 Найдем отношение объемов V пир. = S o H 1 3 V пар. = S o H 4,5 3 х 1 0 х В 9 1 , 5 Четыре пирамиды по углам — ABCB 1 , D 1 B 1 CC 1 , AA 1 D 1 B 1 и ADCD 1 Объем пирамиды АD 1 CB 1 h 2 S ABC =
Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба. Найдем отношение объемов V пир. = S o H 1 3 3 х 1 0 х В 9 2 h h 2 1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 12
От треугольной призмы, объем которой равен 150, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части. h Найдем отношение объемов V пир. = S o H 1 3 V приз. = S o H 150 3 х 1 0 х В 9 5 0
F E A B C D A B C D E F Объем треугольной пирамиды SABC , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF , равен 8. Найдите объем шестиугольной пирамиды. S У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Убедимся в этом, изменим расположение букв… Одинаковая высота, но площадь оснований различна. Найдем отношение объемов V пир. = S o H 1 3 8 3 х 1 0 х В 9 4 8 V 1 V 2 Поработаем с выносным чертежом. Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в 6 раз меньше, чем у шестиугольной.
Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB . Найдите объем треугольной пирамиды EABC . S B D A C O h 2 1 Точка E – середина ребра SB , значит, точка N – середина SO (по т. Фалеса). Высота пирамиды EABC равна половине высоты пирамиды SABCD . E N Найдем отношение объемов V пир. = S o H 1 3 12 3 х 1 0 х В 9 3 2 S ABC =
От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. B S C A М N S А В С М N У треугольной пирамиды и отсеченной пирамиды, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Убедимся в этом, изменим расположение букв… Одинаковая высота, но площадь оснований различна. Работать можно с любым из этих чертежей. Найдем отношение объемов V пир. = S o H 1 3 12 3 х 1 0 х В 9 3 a b V 2 V 1 a ab S sin 2 1 =
Найдем объем пирамиды NABC . Сравним его с объемом всей пирамиды SABC , составив отношение. Основания у них одинаковые – треугольник АВС. А высоты разные, сравним их. По т. Фалеса FP:SP = 2:3 . Тогда, если SP=h , то FP= h, NO= h 2 3 2 3 Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. S C A B N 1 часть 2 части P Надо сравнить объемы пирамид NABC и NSAC . Найдем объем пирамиды NABC . Затем из V SABC ( это 15) вычтем V NABC , , найдем V NSAC . O F h 3 2 15 3 х 1 0 х В 9 1 0
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
10 см V 2 В цилиндрический сосуд налили 1200 см 3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 10 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см 3 . 1200 12 10 12 см 1200 см 3 V 1 Объем детали будет равен объему вытесненной жидкости – это известно нам из курса физики. Найдем отношение объемов 3 х 1 0 х В 9 0 1 0 0
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого? Ответ выразите в сантиметрах. 27 27 см V 3 х 1 0 х В 9 3 h 2 V d 3d 1 1 Найдем отношение объемов Объем жидкости не изменился, т.е. V 1 =V 2 27 1 1 9 h =
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1500 см 3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 28 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см 3 . 1 5 00 2 5 3 25 см 1 5 00см 3 V 1 Объем детали будет равен объему вытесненной жидкости – это известно нам из курса физики. Найдем отношение объемов 3 х 1 0 х В 9 1 8 0 3 см
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах. 16 см V h V a a 4 a 4 a 16 3 х 1 0 х В 9 1 1 1 Найдем отношение объемов Объем жидкости не изменился, т.е. V 1 =V 2 16 1 1 16 h = a ab S sin 2 1 =
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. 3 х 1 0 х В 9 1 2 5 6 8 10 5
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. 3 х 1 0 х В 9 4 2 2 2 2 d
Объем первого цилиндра равен 12 м 3 . У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах. 3 х 1 0 х В 9 9 Найдем отношение объемов 12 4 12 V 3 =
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 27. 3 х 1 0 х В 9 8 1 Найдем отношение объемов 27 1 27 V ц. 3 =
9 a Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в девять раз? 3 х 1 0 х В 9 7 2 9 Найдем отношение объемов a V 2 V 1
Диагональ куба равна . Найдите его объем. 3 х 1 0 х В 9 8 a a a Для прямоугольного параллелепипеда d 2 = a 2 + b 2 + c 2 d 2 = 3 a 2 Для куба
Объем куба равен 24 . Найдите его диагональ. 3 х 1 0 х В 9 6 a a a Для прямоугольного параллелепипеда d 2 = a 2 + b 2 + c 2 d 2 = 3 a 2 Для куба 8 3
x 4 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда. 3 х 1 0 х В 9 3 2 4 2 Для прямоугольного параллелепипеда d 2 = a 2 + b 2 + c 2 6
Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба. 3 х 1 0 х В 9 2 х+1 1 куб 2 куб (x+1) 3 x a ребро x 3 V Объем куба увеличится на 19. Составим и решим уравнение: (х+1) 3 = х 3 + 19 на 1 9 > Исходный куб Новый куб
S = a 2 sina A a D B b C a a A B C D параллелограмм ромб S = a b sina C a A B b S = a b sina 2 1
d 1 d 2 B C D A параллелограмм ромб S = d 1 d 2 sina 2 1 A d 2 D B d 1 C S = d 1 d 2 sin 90 0 2 1 A B C D d d S = d 2 sina 2 1 прямоугольник 1
Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 9, а боковые ребра равны . 3 х 1 0 х В 9 3 , 5 1 0 9 9 9 9 9 9 60 0 9 Например, можно вычислить площадь правильного 6-уг., разбив его на 6 треугольников.
Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 0 . Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 0 и равно 2. Найдите объем параллелепипеда. 3 х 1 0 х В 9 1 , 5 2 1 1 D 1 60 0 O C 1 B 1 A 1 A B C D 60 0 ? h
Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы. 3 х 1 0 х В 9 8 Найдем отношение объемов a ab S sin 2 1 = Обе призмы имеют одинаковую высоту 32 2 a V 2 a V 1 h
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы. 3 х 1 0 х В 9 2 0 5 Применим результат, полученный в предыдущей задаче
Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы. r r 3 х 1 0 х В 9 3 2 r 2 r 2 r 2 r
Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2 и наклонены к плоскости основания под углом 30 0 . 3 х 1 0 х В 9 1 8 30 0 2 2 2 2 2 2 60 0 Например, можно вычислить площадь правильного 6-уг., разбив его на 6 треугольников. O h ?
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30 0 , 30 0 и 45 0 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда. Найдем длину, ширину и высоту параллелепипеда. 30 0 a 30 0 c 3 х 1 0 х В 9 4 45 0 b
Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABCA 1 . C A B A 1 D 1 C 1 B 1 D Найдем отношение объемов V пир. = S o H 1 3 V приз. = S o H 3 х 1 0 х В 9 1 , 5 2 S ABD = h 9
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок: "Решение задач.Вычисление объемов тел".
Представлены карточкидля работы в группах к уроку .К каждой задаче приведено рещение....
Вычисление объемов пирамиды по заданному алгоритму
Конспект интегрированного урока (математика + информатика) с использованием активных форм обучения....
Вычисление объемов геометрических тел с помощью определенного интеграла
Разработка открытого урока по алгебре и начала анализа в 11 классе...
Презентация "Вычисление площадей фигур". Подготовка к ЕГЭ и ГИА.
В данной презентации представлены задачи на вычисление площадей фигур по чертежу....
Решение практико-ориентированных задач на вычисление объемов и площадей геометрических тел
Актуальность проблемы использования задач с практическим содержанием в курсе геометрии не вызывает сомнения, так как условия естественного развития личности обучающегося наиболее полно реализуются в с...
презентация "Вычисление объемов и площадей поверхности геометрических тел"
презентация "Вычисление объемов и площадей поверхности геометрических тел"...