«Описанная и вписанная окружности треугольника. Урок решения одной задачи»
методическая разработка по геометрии (9 класс) по теме

Урок повторения геометрии. 9 класс

Учебник: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов  «Геометрия, 7 – 9»

Тема урока: «Описанная и вписанная окружности треугольника. Урок решения одной задачи»

Цели урока: научить учащихся анализировать теоретические знания, методы и приёмы с точки зрения их применимости к данной в задаче ситуации, прививать интерес к предмету, развивать мышление учащихся.

Ход урока.

Организационный момент: учитель сообщает учащимся цели и задачи урока.

I. Учащимся предлагается отыскать основные способы вычисления радиуса вписанной окружности при решении следующей задачи:

В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, боковая сторона – 10 см. вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника.

Учащиеся могут найти три способа:

1. использовать свойство радиуса окружности, проведенного в точку касания, и подобие треугольников,
2. применить формулу
3. учесть, что центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис, и использовать свойство биссектрисы треугольника.

После отыскания способов решения, учащимся предлагается решить задачу одним из способов, обязательно устанавливается, что все три способа выбраны для решения. На решение задачи отводится 10 минут. Далее все три способа решения записываются на доске.

Решение задачи:                                                              В

Дано: ∆ АВС, АВ = ВС = 10,                                    К

           АС = 16                                                                     О

Найти: r

                                                                  А                                                    С

                                                                                            М

Решение: опустим высоту ВМ на основание треугольника, АО – биссектриса ∠ВАС, О – центр вписанной окружности, КО = ОМ = r.

1 способ

1) ∆ ВОК ∞ ∆ ВАМ по двум углам (∠В – общий,  ∠ КОВ = ∠ МАВ = )

, ВО = ВМ – ОМ.

2) ∆ АВМ: , АВ = 10, АМ = 8, ВМ =

3) ,   48 – 8r = 10r,  18r = 48, r =

2 способ

1) Найдем площадь треугольника АВС по формуле Герона, либо по формуле S =

, .

2)

3 способ

Используем свойство биссектрисы: биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Имеем: ,

,

Ответ:

Далее проводится точно такая же работа по отысканию способов вычисления радиуса описанной окружности. Устанавливается, что радиус описанной окружности можно найти следующими способами:

1. из подобия треугольников;
2. по свойству отрезков хорд окружности, проходящих через одну точку;
3. учитывая, что центр описанной окружности равноудалён от всех вершин треугольника;
4. по формуле

Решение задачи:                                                              

Дано: ∆ АВС, АВ = ВС = 10,                                    

           АС = 16                                                                    

Найти: R                                                                                                     В

1 способ

1) О – центр описанной  окружности, ОК⊥АВ,

тогда АК=КВ=5                                                                          А                         С

2) ∆ АВМ ∞ ∆ ОВК по двум углам (∠В – общий,                                              

∠ ВАМ = ∠ВОК = )

Используем данные, полученные при решении задачи о вписанной окружности:

,          

2 способ                                                                                                     В

1) Используем свойство пересекающихся хорд:

                                                                             А                         С

АМ ∙ МС = ВМ ∙ МД  

2) АМ = МС = АС : 2 = 8

3)  ВМ = 6, МД = 2R – ВМ =2R – 6

4)  8 ∙ 8 = 6 ∙ (2R – 6), 2R – 6 =   , 2R =   ,                        Д

R =     

3 способ                                                                                                         В

 1) О – центр окружности, точка О равноудалена от всех

вершин ∆ АВС, т.е. ∆ АОВ – равнобедренный.

2) Пусть МО = х, тогда ВО = АО = 6 + х                                     А                         С

3) ∆ АМО – прямоугольный, АМ = 8, АО = 6 + х.

, ,

(х+6-х) ∙ (х+6+х) = 64, х = ,    R = х + 6 =    

4 способ

Найдём площадь ∆ АВС и используем формулу

Ответ:   R =     

III.  Домашнее задание:

1. ОГЭ 3000 задач: № 2148, 2146, 2156, решить задачу несколькими способами.
2. П.77-78, вписанная и описанная окружности.