" Вневписанная окружность" электронное пособие
учебно-методическое пособие по геометрии (8, 9, 10, 11 класс) на тему

Слайд 1

Электронное пособие по теме : «Вневписанная окружность» .

Слайд 2

Содержание: 1. Определение вневписанной окружности. Основные теоремы и формулы. Определение вневписанной окружности. Центр вневписанной окружности. Касательная к вневписанной окружности. Радиус вневписанной окружности: Соотношение между радиусом вневписанной окружности и периметром треугольника. Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и периметром треугольника. Задачи : Задача №1. Задача №2. Задача №3. 2. Соотношения с радиусами вневписанных окружностей. Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности. Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, через величину обратную радиусу вписанных окружностей. Выражение суммы всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей через квадрат полупериметра треугольника. Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей через произведение радиуса вписанной окружности и квадрат полупериметра треугольника. + следствие №1. следствие №2. Задачи : Задача №4. Задача №5. Задача №6. Задача №7.

Слайд 3

1. Определение вневписанной окружности. Основные теоремы и формулы.

Слайд 4

Вневписанная окружность. Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных . О 3 O 2 О 1

Слайд 5

Центр вневписанной окружности. Центр вневписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника. . А В С O

Слайд 6

Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (О а ; r а ) Доказать: Док-во: Т.к. касательные, проведенные из одной точки, равны ,то ВВ 1 =ВА 1 , СА 1 =СС 1 , АВ 1 =АС 1 . Значит, P = (АС+СА 1 )+(АВ+ВА 1 )= (АС+СС 1 )+(АВ+ВВ 1 )= АС 1 +АВ 1 =2АС 1 =2АВ 1 , т.е. Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника

Слайд 7

Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (О а ; r а ) Доказать: Док-во: В прямоугольном треугольнике  АО а С 1 r a и – длины катетов, О а АС = , поэтому , что и требовалось доказать. II . Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е.

Слайд 8

III . Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е. Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (О а ; r а ) Доказать: Док-во: Имеем: , что и требовалось доказать. А В С О а В 1 С 1 b c r a r a r a а

Слайд 9

Задачи на свойства касательной к вневписанной окружности и ее радиусов:

Слайд 10

Задача№1. Найдите периметр треугольника АВС, если расстояние от вершины А до точки касания с вневписанной окружностью равно 17 , расстояние от вершины B до точки касания окружности со стороной BC равно 6, расстояние от вершины С до точки касания окружности со стороной АC равно 4. (авторская задача) Решение

Слайд 11

Решение №2: 1) Т.к АВ 1 = АС 1 = ( по теореме о касательной вневписанной окружности) , то Р= АВ 1 * 2 => Р= 17*2=34. Ответ: Р = 34. Решение: Дано: Окр(О а ;О а C 1 );  АВС;AB 1 =17, BL =6, CC 1 =4. Найти: P -?. Решение №1: 1) Рассмотрим  АВС. Т.к. BL=BB 1 =6 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то АВ=АВ 1 - BB 1 => АВ =17-6 =11 . 17 А В В 1 О а L 6 4 С С 1 2) Т.к. СL=СB 1 =4 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то ВС=BL + LC => В C =6+4 =10 . 4) Р=AB+ВС+АС => Р=11+10+13=34 . 3) Т.к. AB 1 =АС 1 =17 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то АС= АС 1 - CC 1 => АС =17-4 =13 . 13

Слайд 12

Задача№2. Решение Задача№2. Найдите радиус вневписанной окружности треугольника со сторонами 13, 13, 10. ( ЕГЭ- 2015, система задач по геометрии Р.К.Гордина)

Слайд 13

Решение 1 : Дано: Окр(О а ; r а );  АВС;AB=1 3 , AC = 13 , BC=10 . Найти: r а -?. Решение (1 случай) : 1 . Пусть стороны AB , AC и BC треугольника ABC равны 13, 13 и 10 соответственно, AH — высота треугольника, r a — радиус вневписанной окружности, касающейся сторон BC , AC и AB — в точках H , K и M соответственно. А В С M H О а r a 5 5 5 13 13 12 18 K 2.Поскольку  АВС равнобедренный, точка H — высота и середина основания BC. Рассмотрим  А H В, где  H=90  . По теореме Пифагора: 3. Пусть O a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AC и AB, причём продолжения стороны AB —в точке M. Тогда BM = BH = 5 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки) ; AM = AB + BM = 13 + 5 = 18. 4. Рассмотрим  А MO a , где  M=90  (т еорема о касательной к окружности ). По теореме радиусе вневписанной окружности получаем, что ( AM= по теореме о расстоянии от вершины угла треугольника до точек касания с вневписанной окружности )

Слайд 14

Решение 2 : Дано: Окр(О c ; r c );  АВС;AB=1 3 , AC = 13 , BC=10 . Найти: r c -?. Решение (2 случай): 1 . Пусть O c — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон BC и AC в точках K и L соответственно. Тогда AO —биссектриса  BAL, а так как AH — биссектриса смежного с ним  BAC, то ∠ HAO c = 90  . А В С L H О c r c 5 5 13 12 K 2. Четырёхугольник AO c KH — прямоугольник (∠ HAO c = ∠AHK = ∠HKO c = 90  ), поэтому r c = O c K = AH = 12 . 3. Аналогично найдём, что r b = AH = 12. Ответ: r a = 7,5; r b = 12 ; r c = 12 . 12

Слайд 15

Задача№3. Найдите радиус вневписанной окружности, если расстояние от вершины А до точки касания с окружностью равно 21, BC=15, AB=14,AC=13. (авторская задача) Решение

Слайд 16

Дано: AB 1 =21, AB=14, AC=13, BC=15. Найти: r a -? . Решение : O A C C 1 L 1 5 1 3 B 21 1 4 B 1 1 ) Рассмотрим  ABC : 2 ) 3) По теореме о радиусе вневписанной окружности:  ( по формуле Герона) ( по теореме о касательной к вневписанной окружности) Ответ: r a = 14 . r a r a Решение:

Слайд 17

2. Соотношения с радиусами вневписанных окружностей.

Слайд 18

Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности . Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (О а ; r а ), (О b ; r b ), (О c ; r c ), вписанная окр .(О; r ), описанная окр.(О; R). Доказать: Док-во: Выразим все радиусы через стороны, S и полупериметр треугольника: Значит,  поскольку радиус описанной окружности удовлетворяет равенству , то справедлива формула ,что и требовалось доказать. О c О b О a О О r c r b r a r R a b c

Слайд 19

Выражение суммы величин , обратных радиусам вневписанных окружностей , через величину обратную радиусу вписанных окружностей . Выражение суммы всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей через квадрат полупериметра треугольника.

Слайд 20

Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей через произведение радиуса вписанной окружности и квадрат полупериметра треугольника . Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (О а ; r а ), (О b ; r b ), (О c ; r c ) , вписанная окр.(О; r). Доказать: Док-во: Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона Тогда , что и требовалось доказать. Следствия r a r c r b О c О b О а В A r C О

Слайд 21

1 следствие: Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника. Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (Оа; r а ), (О b ; r b ), (О c ; r c ) . Доказать: Док-во : Из Следовательно , что и требовалось доказать. О c r c В r a О а C r b О b A

Слайд 22

2 следствие: Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности. Дано:  ABC ; Вневписанная окр. (Оа; r а ), (О b ; r b ), (О c ; r c ) вписанная окр.(О; r). Доказать: Док-во : Из следствия 1 , что и равенства, получаем, перемножая их почленно, . Значит, , что и требовалось доказать. О c r c В r a О а C r b О b A О r

Слайд 23

Задачи на соотношения с радиусов вневписанных окружностей:

Слайд 24

Задачи: Задача№4. Найдите радиус вневписанной окружности треугольника, если радиусы двух других вневписанных окружностей равны 2002 и 4004, а радиус вписанной окружности равен 1001. Решение

Слайд 25

Решение: Дано:  ABC ; Окр(О; r х =1001), Окр(О 3 , r с ), Окр(О 1 ; r а =2002), Окр(О 2 ;r b =4004). Найти: r с -? O 3 O 2 O O 1 r a r c r b r x 2002 1001 4004 ? C A В Т.к. сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, а именно , то c оставим равенство: Ответ: r с =4004 . Решение:

Слайд 26

Задачи: Задача №5. Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21. (сборник «Подготовка к ЕГЭ -2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) Решение

Слайд 27

Решение: Дано:  ABC ; r a =9, r b =18, r c =21 ; Окр(О, r с ), Окр(О; r а ), Окр(О; r b), Окр(О; R ) . Найти: , следовательно r a r b r c O O O O R r О 1. Найдем S : , получаем 2. Найдем 4 R : Подставляем: Ответ: 5460. Решение:

Слайд 28

Задачи: Задача №6. Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6. (сборник «Подготовка к ЕГЭ- 2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) Решение

Слайд 29

Решение: Дано:  ABC ; a= 4 , b= 5 , c= 6; Окр(О, r с ), Окр(О; r а ), Окр(О; r b) Найти: 2. Так как , то Таким образом, Ответ: a (4) c (6) b (5) O O O r a r b r c O r 1. Так как , где r -радиус вписанной в треугольник окружности, то: Решение:

Слайд 30

Задачи: Задача№7. Основание АС равнобедренного треугольника равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС. (сборник «Подготовка к ГИА -2013, под редакцией Д.А. Мальцева) Решение

Слайд 31

3. АК – высота, проведенная к гипотенузе  AK²=FK*KO ( по теореме о высоте прямоугольного )  Так как FK – радиус вписанной в  АВС окружности, следовательно Ответ: Решение: Дано:  ABC -равнобедренный; AC = 10; вписанная окр.( F ; r), вневписанная о кр.(О; r а= 7,5 ). Найти: r- ? 1 . Так как окружность касается стороны треугольника и продолжения двух других сторон, то это - вневписанная окружность. F O А B C K r r a 2. Так как центр вписанной окружности и вневписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, то AF-биссектриса  ВАС, а AO – биссектриса  CAD   FAO – прямоугольный треугольник, так как биссектрисы смежных углов образуют прямой угол. D Решение:

Слайд 32

Список литературы: Блинков А., Блинков Ю. Вневписанная окружность. "Квант", №3, 2009. «Геометрия. 9 класс.» Авторы: Мерзляк A. Г., Полонский B. Б., Якир М. С. «Вентана-Граф» 2014г. ЕГЭ 2015. Математика. Решение задачи 18 .Автор: Рафаил Гордин. Лысенко Ф.Ф. «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2010» Ростов-на-Дону, «Легион-М» 2009г. http://opengia.ru/ http://reshuege.ru/ http://reshuoge.ru/ https://ru.wikipedia.org/wiki/ Вневписанная_окружность http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolsev.htm