Комплект заданий для подготовки к ОГЭ по теме "Треугольники" (Часть 2)
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9, 11 класс) на тему
В комплект входят файлы: задачи повышенного уровня, задачи на доказательство, задачи высокого уровня, задачи для самостоятельного решения.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 42 КБ |
![]() | 223 КБ |
![]() | 385.5 КБ |
![]() | 42.5 КБ |
Предварительный просмотр:
ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1. Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О. СО = ВО, . Докажите равенство треугольников АОС и DОВ.
2. Докажите, что медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.
3. Биссектриса прямого угла треугольника делит его на два равнобедренных треугольника. Докажите, что исходный треугольник равнобедренный.
4. Точки М, N, P – середины сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС соответственно (см. рис.) Докажите равенство треугольников МNP и СРN.
5. Треугольник АВС – прямоугольный (), СН – высота. Докажите, что треугольники АВС и ВСН подобны.
6. Точки М, N, P – середины сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС соответственно (см. рис.) Докажите, что треугольник МNP подобен треугольнику АВС.
7. В треугольнике АВС АВ = 5, АС = 2, ВС = 4. Точка К лежит на стороне ВС и ВК = 1, точка М лежит на стороне АВ и ВМ = 1,25 (см. рис.) Докажите, что .
8. В треугольнике АВС проведены биссектрисы ВК и CL, пересекающиеся в точке О. Докажите, что треугольники KOL и ВОС подобны, если известно, что отрезок KL параллелен стороне ВС.
9. Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что данный треугольник прямоугольный.
10. Высоты треугольника равны 12, 15 и 20 см. Доказать, что треугольник прямоугольный.
Доказательство.
Пусть S – площадь треугольника, тогда его стороны:
по теореме, обратной теореме Пифагора треугольник – прямоугольный.
Предварительный просмотр:
Задачи повышенного уровня сложности.
1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом , если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 2.
Решение.
1) CН – высота прямоугольного треугольника АВС, Проведем медиану СМ.
2) , как внешний угол равнобедренного .
3) - прямоугольный. .
4)
Ответ. 8.
2. В треугольнике MNP проведена медиана MD. Найдите её длину, если
Решение.
1) Проведём высоту МК. Тогда .
2) - прямоугольный. По теореме Пифагора
3) - прямоугольный. По теореме Пифагора
4)
5) Т.к. , то - прямоугольный по теореме, обратной теореме Пифагора
Ответ. 2.
3. Вычислите биссектрису большего угла , если АВ=6, ВС=9, АС=10.
Решение.
1) АС – большая сторона- больший.
2) Т. к. ВК – биссектриса, то
3) ; .
4) Т. к. ВК – биссектриса, то
,
Ответ.
4. Основание равнобедренного треугольника равно , а медиана, проведённая к боковой стороне, равна 5. Найдите длины боковых сторон.
Решение.
1) - равнобедренный, значит высота BD является медианой.
2) По свойству медиан
3) - прямоугольный. По теореме Пифагора (по свойству медиан)
4) - прямоугольный. По теореме Пифагора
Ответ. 6.
5. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определите площадь треугольника.
Решение.
1) Т.к. BD – биссектриса, то .
Значит , т.е. AD = 5 см, DC = 4 см.
2) Пусть , тогда по теореме Пифагора и ;
;
3) см2
Ответ. 54.
6. Площадь треугольника АВС равна 30 см2. На стороне АС взята точка D так, что . Длина перпендикуляра DE, проведённого к стороне ВС, равна 9 см. Найдите ВС.
Решение.
1) и имеют общую высоту, значит см2.
2)
; см.
Ответ. 4.
7. Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.
Решение.
Треугольники АНМ, ВКМ и ВНС подобны, т.к. они прямоугольные и первые два имеют равные углы (- вертикальные), а вторые два имеют общий угол - . Имеем: , т.е. , откуда .
Следовательно, ВМ = 6, ВН = 12.
Ответ. 12.
8. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3: 2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12 см.
Решение.
1) Т. к. ВЕ - биссектриса , то
2) Т. к. АО - биссектриса , то , значит и .
3) см.
Ответ. 30.
9. В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые к основанию и к боковой стороне, равны соответственно 10 и 12. Найдите длину основания.
Решение.
1) и подобны (- общий, - прямые)
Пусть , тогда
2) - прямоугольный. По теореме Пифагора , т.е.
3) Получаем:
Ответ. 15.
10. В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и СQ на стороны ВС и АВ. Известно, что площадь равна 18, площадь равна 2 и . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
Решение.
1) Т. к. , то точки A, Q, P, B – лежат на одной окружности, причем АС – её диаметр.
2) по свойству вписанного четырехугольника, но
3) и подобны по двум углам
Т.к. , то
4)
5)
Ответ. 4,5.
Предварительный просмотр:
Задачи высокого уровня сложности.
1. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты точки К, L и М соответственно так, что . Найдите площадь треугольника КLМ, если площадь треугольника АВС равна 321.
Решение.
1) Пусть К1, М1 и L1 – середины АМ, СL и ВК
соответственно.
Тогда из условия. следует, что
, , .
2) подобен ( - общий, ).
Аналогично подобен и подобен , где .
Значит .
3) , т.к. и имеют общую высоту и равные основания.
Аналогично , .
4)
Ответ. 107.
2. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найти расстояние между точками пересечения его биссектрис и точкой пересечения медиан.
Решение.
1) - прямоугольный. По теореме Пифагора см
2) CD – медиана, значит см
Пусть Е – точка пересечения медиан, тогда см
3) Проведём , тогда DF – средняя линия ; см, см
4) Проведём , тогда и и подобны см, см
5) Пусть М – точка пересечения биссектрис, т.е. центр вписанной окружности в .
Тогда , где .
, где см2, см см
Т.к. СМ – биссектриса, то см, см.
Ответ. 1.
3. Точка М лежит внутри равностороннего треугольника АВС. Вычислите площадь этого треугольника, если известно, что АМ = ВМ = 2, а СМ = 1.
Решение.
1) Т.к. АМ = ВМ, то точка М лежит на серединном перпендикуляре,
проведенном к стороне АВ.
Т.к. - равносторонний, то М лежит на высоте СD.
2) Пусть АВ = .
- прямоугольный. По теореме Пифагора , т.е. (1)
- прямоугольный. По теореме Пифагора , т.е. (2)
Из (2) равенства: . Подставим данное выражение в равенство (1):
, тогда
3)
Ответ.
4. Один угол треугольника в 2 раза больше другого, а разность длин противоположных им сторон равна 2 см. Длина третьей стороны треугольника равна 5 см. Вычислите площадь треугольника.
Решение.
1) Пусть , тогда см, а см
Проведём биссектрису AD, тогда подобен
( - общий, ) , т.е. (1)
2) Т.к. AD биссектриса, то .
Получим: или , тогда
или (2)
3) Из равенств (1) и (2) следует, что , откуда
см, тогда см
4) По формуле Герона , где см
см2
Ответ. .
5. Биссектриса угла В треугольника ABC делит медиану, проведенную из вершины С, в отношении 7:2, считая от вершины С. В каком отношении, считая от вершины А, эта биссектриса делит медиану, проведенную из вершины А?
Решение.
1) Пусть - биссектриса угла В треугольника АВС, - его медиана.
.
Т.к. , то в (по свойству биссектрисы угла треугольника) - рис. 1.
2) Пусть - медиана . - рис. 2.
Т.к. , , то .
3) Значит в :
Ответ. 8 : 7.
6. Прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках Р и М соответственно. Найдите отношение площади треугольника АРМ к площади четырёхугольника МСВР, если АР : РВ = 5 : 4, АМ : МС = 3 : 5.
Решение.
1) Т.к. , то . Т.к. , то
2) , значит .
3) Тогда , значит
Ответ. 5 : 19.
7. Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что , , а медиана
Решение.
1) В :
2) Проведём через т. М прямую . Тогда по теореме Фалеса (АМ - медиана), т.е. - средняя линия .
3) Т.к. , то - прямоугольный и .
По Т. Пифагора .
4) Т.к. , то ,
5)
Ответ.
8. Внутри прямого угла дана точка М, расстояние от которой до сторон угла равны 4 и 8 см. Прямая, проходящая через точку М, отсекает от прямого угла треугольник площадью 100 см2. Найти катеты треугольника.
Решение.
1) Пусть ; тогда , т.е.
2) Т.к. и подобны, то или
3) Получаем систему: или
откуда ;
Ответ. 40 и 5 см или 10 и 20 см.
9. Дан треугольник АВС такой, что АВ = 15 см, ВС = 12 см и АС = 18 см. В каком отношении центр вписанной в треугольник окружности делит биссектрису угла С?
Решение.
1) Т.к. CD - биссектриса, то , откуда см, см
2) см
3) Проведём OF , ОЕ - радиусы окружности. Пусть CF=x, т.к. , то , см.
4) По формуле Герона см2
5) Т.к. , то см, значит см.
см, значит
Ответ. 2 : 1.
10. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы - в точке М. Точка К - середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ = 6, СН = 3, .
Решение.
1) СР - высота, BL - медиана, , и - основания перпендикуляров, проведенных соответственно из точек Н, К и М к АС.
2) В - прямоугольном, , значит
3) В - прямоугольном,
4) Аналогично в - прямоугольном,
5) и подобны по двум углам (, - общий)
По свойству медиан треугольника: , значит
6) Т.к. К - середина МН, то по т. Фалеса - середина , значит - средняя линия трапеции .
7)
Ответ. 5,625
Предварительный просмотр:
Задачи для самостоятельного решения
1. Точка на гипотенузе прямоугольного треугольника, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найдите катеты треугольника.
Ответ. 42 и 56 см.
2. Длины двух сторон остроугольного треугольника равны и . Найдите длину третьей стороны, если она равна длине, проведённой к ней высоты.
Ответ. 3.
3. Медиана, проведённая к одной из боковых сторон равнобедренного треугольника, делит его периметр на части длиной 15 и 6. Найдите длину боковой стороны.
Ответ. 10.
4. На стороне АС треугольника АВС взята точка Е такая, что ЕС = АВ. Пусть К – середина ВС, М – середина АЕ. Найдите градусную меру угла ВАС, если .
Ответ. 40.
5. Периметр прямоугольного треугольника АВС () равен 72 см, а разность между длинами медианы СМ и высоты СК равна 7 см. Найдите длину гипотенузы.
Ответ. 32.
6. В треугольнике АВС АВ = ВС, BF и AE – высоты, . Найдите косинус угла при основании треугольника.
Ответ.
7. В треугольнике АВС угол В в два раза больше угла А, АС = 6, ВС = 4. Найдите длину медианы, проведённой к третьей стороне треугольника.
Ответ.
8. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Определите площадь треугольников, на которые данный треугольник разбивается его медианами.
Ответ. 14.
9. В треугольнике АВС сторона АВ = 10, а угол А – тупой. Найдите медиану ВМ, если АС = 20, а площадь треугольника АВС равна 96.
Ответ. 16.
10. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна и делит прямой угол в отношении . Найдите больший катет.
Ответ. 6.
11. Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 4 и 18. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.
Ответ. 12.
12. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении
4 :3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 9 см.
Ответ. 21.
13. Биссектриса угла А треугольника АВС делит медиану, проведенную из вершины В, в отношении 5 : 4, считая от вершины В. В каком отношении, считая от вершины C, эта биссектриса делит медиану, проведенную из вершины С?
Ответ. 16 : 5.
14. Прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках Р и М соответственно. Найдите отношение площади треугольника АРМ к площади четырёхугольника МСВР, если АР : РВ = 2 : 5, АМ : МС = 1 : 4.
Ответ. 2 : 33.
15. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы - в точке М. Точка К - середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ = 24, СН = , .
Ответ.
16. Около равнобедренного треугольника МРК с основанием МК, равным 48, описана окружность с центром О. Радиус окружности равен 25. Найдите расстояние от точки О до боковой стороны треугольника.
Ответ. 15.
17. В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 13 : 12, считая от точки В. Найдите длину стороны ВС треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 26 см.
Ответ. 20.
18. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2, а гипотенуза равна 10 см. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ. 2.
19. В треугольнике АВС известны длины сторон: ВС = 12, АС = 15. На стороне АВ взята точка D так, что BD = 8, на стороне ВС взята точка Е так, что величины углов BDE и ВСА равны. Найдите длину отрезка DE.
Ответ. 10.
20. Около равнобедренного треугольника МРК с основанием МК, равным 48, описана окружность с центром О, радиус которой равен 25 см. Найдите расстояние от точки О до боковой стороны треугольника.
Ответ. 15.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2011/11/17/picture-34167.jpg)
Комплект заданий для подготовки к ЕГЭ по математике
Материал охватывает все базовые темы курса математики....
![](/sites/default/files/pictures/2011/11/05/picture-30156.jpg)
Комплект заданий школьного тура олимпиады по химии 8 класс
В работе представлен материал заочного и очного туров школьного олимпиада по химии для 8 класса...
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/11/picture-158779-1357895594.jpg)
Комплект заданий для проведения олимпиады по русскому языку в 5 классе
Предлагаемый материал даёт возможность учителю использовать его на занятиях кружка по русскому языку, внеклассных предметных мероприятиях, для проведения олимпиад. Данные задания позволяют проверить г...
![](/sites/default/files/pictures/2011/02/03/picture-7602.jpg)
Разработка комплекта тестовых материалов (типовые задания для подготовки учащихся IX классов к государственной итоговой аттестации (ГИА) по французскому языку)
I. Технологическая матрица пробного экзамена по французскому языку Главной целью иноязычного образования в основной школе являет...
![](/sites/default/files/pictures/2016/08/22/picture-807493-1471882905.jpg)
Комплект заданий для подготовки к ОГЭ по теме "Треугольники" (Часть 1)
В комплект входит файл с теорией, задания с кратким ответом, задания на распознавание ошибочных заключений, презентация к заданиям последнего вида....
![](/sites/default/files/pictures/2020/12/23/picture-1294140-1608750032.jpg)
комплект заданий для подготовки к ВПР 7 класс
в данном комплекте представлен образец заданий, которые можно проводить при подготовке к ВПР в 7 классе. в комплекте представлен сокращенный вариант (есть полый)....
Комплект материалов по подготовке к выполнению заданий тестовой части ЕГЭ по орфографии
Комплект материалов по подготовке к выполнению заданий тестовой части ЕГЭ по орфографии позволит систематизировать знания и умения по разделам орфографии, которые рассматриваются в задания...
- Мне нравится (1)