Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки
статья по геометрии (11 класс) на тему

Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки (Трисекция угла).

Аннотация:

Предлагается общий подход к решению задач о делении угла на равные части с помощью циркуля и линейки. В качестве примера показано деление угла на три равные части (Трисекция угла).

Ключевые слова:

угол; деление угла; трисекция угла.

Введение.

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части. Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

Целью данной статьи является доказательство ошибочности выше приведённого утверждения о неразрешимости, во всяком случае, в отношении задачи о трисекции угла.

Предлагаемое решение не требует сложных построений, практически универсально и позволяет делить углы на любое количество равных частей, что в свою очередь позволяет строить любые правильные многоугольники.

Вступительная часть.

Проведём прямую линию a и построим на ней ∆CDE. Условно назовём его «базовым» (Рис.1).

Выберем на линии a произвольную точку F и проведём ещё одну прямую линию b через т.F и вершину D треугольника. На линии b возьмем две произвольные точки G и H и соединим их c точками C и E как показано на Рис.1. Анализ рисунка позволяет записать следующие очевидные соотношения между углами:

1. α1-α3=y1;  α3-α5=y3;  α1-α5=y1+y3; 

2. α2-α4=y2;  α4-α6=y4;  α2-α6=y2+y4;

3. y1/y2 =y3/y4 ;

Пояснение1. к п.3: Пусть углы - ∟C,∟D,∟E являются углами при соответствующих вершинах базового треугольника ∆CDE. Тогда можно записать:

∟C+∟D+∟E=1800 – сумма углов ∆CDE;

∟C+y2+∟D-(y2+y1)+∟E+y1=1800 – сумма углов ∆CGE;

Пусть  y1/y2=n или y1=n*y2, тогда,

∟C+y2+∟D-(y2+y1)+∟E+n*y2=1800

Сумма углов ∆CHE:

∟C+(y2+y4)+∟D-(y2+y4+y1+y3)+∟E+n*(y2+y4)=1800 , откуда

y1+y3=n*(y2+y4) или y1+y3=n*y2+n*y4, и так как y1=n*y2,то

y3=n*y4 и следовательно y1/y2 =y3/y4 =n.

Далее, возьмем две произвольные точки на линии a – N и M, и проведём через них две линии c и d как показано на Рис.2.  Очевидно, в том числе из ранее сказанного, что отношение изменений соответствующих углов  на линиях c и d величина постоянная, т. е.: (β1-β3)/(β3-β5)= (β2-β4)/(β4-β6)= y1/ y3= y2/ y4;

Деление угла на три равные части.

На окружности с центром в точке A отложим угол E1AE2=β (см. Рис. 3.1). На противоположной стороне окружности отложим симметрично  три угла - CAC1, C1AC2, C2AC3 каждый равный β. Разделим угол E1AE2, в точках K1,K3, на три равных угла - ∟E1AK1, ∟K1AK3, ∟K3AE2 равных β/3. Проведём прямые линии через точки на окружности как это показано на Рис. 3.1. Соединим прямыми линиями  точки C,E1 и C2,E. (см. Рис. 3.2)

Через точку K – пересечения линий, и точку K1 проведём прямую линию. Выберем на этой линии произвольную точку K2 и проведём через неё две прямые из точек C и C2.

Не трудно заметить что Рис. 3.2, если убрать линию окружности, практически идентичен Рис. 2. (Для наглядности добавлена штриховая линия CC2). Значит и все соотношения, о которых говорилось выше, применимы и здесь, а именно для углов которые необходимо разделить на три равные части справедливо соотношение y1/y2 =y3/y4=1/2 (см. Пояснение 1. в вступительной части). Из рисунка 3.2 становится ясно, как поделить угол на три равных части.

Рассмотрим, в качестве примера, деление на три равных части угла β=500 .

Вариант 1.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.1) дуги C1C2=B1B2=B2B3=B1B4 равные β=500  - относительно центра окружности. Половину дуги C1C2 – CC1 делим пополам (точка D). Проводим прямые через точки B1 и D, и точки B3 и C. Соединяем между собой точки B1 и C, B3 и C1. Соединяем точки пересечения – F и E, ранее проведённых линий, между собой. Полученный угол α=C1AG, где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен β/3.

Вариант 2.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.2) дуги C1C2=B1B2=B2B3=B1B4=β=500  - относительно центра окружности. Соединяем между собой точки B1 и C, B3 и C1. Отложим углы y2=2y1 (см. Рис 4.2) от линий B1C и B3C1 и проведём прямые линии соответственно этим углам. Соединяем точки пересечения – F и E, ранее проведённых линий, между собой. Полученный угол α=C1AG≈16.670, где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен β/3.

Полное построение деления угла на три равных части (на примере угла β=500) показано на Рис.5

Деление угла на нечётное количество (>3-х) равных углов.

 В качестве примера рассмотрим деление угла β=350 на пять равных между собой углов.

Способ №1.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB углы C2AC1=B1AB2=B2AB3=B3AB4=B4AB5=B5AB6=β=350.(см. Рис.6)

Делим угол C2AC равный половине угла C2AC1 пополам в точке E. Соединяем точки

E,C2,B1,B2,B3 между собой как показано на рисунке 6. Далее, для деления угла, используем  Вариант 2 из ранее приведённого примера, т. к. Вариант 1 для деления углов на нечётное количество >3-х равных углов очевидно не применим. От линий B3E и B1C2 в точках B3 и B1 соответственно, отложим углы y1 и y2в соотношении 1:4. Из точек B3 и B1 проведём прямые соответственно этим углам, до пересечения в точке N. Угол C2AK=α=70 будет искомым.

Способ №2.

Этот способ (см. Рис.7) аналогичен первому с той лишь разницей, что для построений используется ¼ угла C2AC1 – угол EAC прилегающий к средней линии окружности BC. Преимущество данного способа в том, что он облегчает деление угла на большое количество углов - 7, 9, 11 и т. д.   

Построение правильного семиугольника.                  

Примем, что n – число разбиений (количество секторов на которое делится угол).

Тогда если n-1=2k(1), где k – любое целое число, то угол делится в один этап, что было показано ранее. Если n-1≠2k(2) – то угол делится в два этапа, вначале на n-1, а затем уже на n. При этом во всех случаях соблюдается соотношение: y1/y2 = 1/n-1(3).

Поясним это на примере построения правильного семиугольника.

Для того чтобы построить семиугольник надо найти 1/7-ю часть угла 600,умножить её на шесть, и отложить полученный угол семь раз по окружности (это один из возможных вариантов). Так как 7-1=6 то в соответствии с формулой (2) угол 600 будем делить в два этапа. На первом этапе разделим на шесть, а затем, на втором этапе, на семь. С этой целью, разделим угол 300 на три равных сектора по 100(см. Рис.8), используя, как самый простой, Вариант 1 описанный в начале статьи. Полученный угол ECL=100 отложим от средней линии окружности (см. Рис.9). Будем считать, что угол ECL принадлежит симметрично отложенному относительно средней линии углу 600.

Далее чтобы найти 1/7-ю часть угла 600 используем Способ №2 описанный ранее. С этой целью отложим угол D1CD2=600 симметрично к средней линии и угол D2CD3=600 примыкающий к нему. В точках D1 и D3 построим углы y1 и y2 к линиям D1E и D3L соответственно, соблюдая пропорции в соответствии с формулой (3) – то есть 1 к 6.

Проведём прямые линии  под углами y1 и y2. Соединим точки пересечения G и F соответствующих линий. Угол LCH=600/7. Отложим этот угол шесть раз от точки L до точки B. Отложим полученный угол BCL ещё шесть раз, и в результате получим семиугольник LBKFMNA.

Заключение.

Способ деления угла на равные части, предлагаемый в данной статье имеет ограничение – невозможность его применения непосредственно для углов > 600, что впрочем, не столь существенно с точки зрения принципиальной решаемости задачи.

Библиографический список:

1. Метельский Н. В. Математика. Курс средней школы для поступающих в вузы и техникумы. Изд. 3-е, стереотип. Мн., «Вышэйш. Школа», 1975 г. 688 с. с илл.