Сечения. 10 класс
презентация к уроку по геометрии (10 класс) на тему

Слайд 1

СЕЧЕНИЯ. Сабля Татьяна Евгеньевна у читель математики Лицей № 488 Выборгский район Санкт-Петербург.

Слайд 2

2 1. СЕЧЕНИЕ.

Слайд 3

Разрежем тетраэдр на какие-нибудь две части. Многоугольник, полученный на срезе, называют сечением тетраэдра

Слайд 4

Таким образом можно получить сечение любого многогранника. Например:

Слайд 5

С точки зрения геометрии, можно представить разрезание многогранника, как пересечение его плоскостью. Линии, по которым эта плоскость пересечет грани, будут сторонами многоугольника, который получится в сечении.

Слайд 6

6 2. «Особенности» сечений.

Слайд 7

Особенность 1. Все стороны многоугольника-сечения лежат в плоскостях граней многогранника. Никакая из сторон сечения не может проходить внутри многогранника ! Отрезок АС проходит внутри многогранника, поэтому треугольник АВС (четырехугольник АСВМ) не является его сечением.

Слайд 8

Особенность 2 . (Следует из аксиомы о пересечение двух плоскостей) Каждую грань многогранника сечение может пересекать не более, чем по одной прямой. или Ни одну из граней многогранника сечение не может пересекать по двум (трем и т.д.) прямым. АВСМК не является сечением параллелепипеда, т.к. две его стороны, АВ и ВС, лежат на передней грани, а, как известно, все общие точки двух плоскостей лежат на единственной прямой – прямой их пересечения.

Слайд 9

Каждая грань многогранника содержит не более одной стороны сечения. АВСМК не является сечением октаэдра, т.к. две его стороны ВС и МК лежат на одной его грани. !

Слайд 10

Если секущая плоскость пересекает параллельные грани многогранника, то линии пересечения будут параллельны. Особенность 3. ( Следует из свойства параллельных плоскостей.) Например:

Слайд 11

Итак: 1. Никакая из сторон сечения не может проходить внутри многогранника ! 2. Каждая грань многогранника содержит не более одной стороны сечения . ! 3. Если секущая плоскость пересекает параллельные грани многогранника, то линии пересечения будут параллельны. !

Слайд 12

12 3. Построение сечений.

Слайд 13

Задачи на построение Часть первая – само построение и описание построения. Часть вторая – доказательство того, что построенный многоугольник и есть искомое сечение.

Слайд 14

В условиях задач на построение сечений обычно указывается несколько точек, принадлежащих сечению и / или дополнительные условия, которым должно соответствовать построенное сечение. Данные точки могут лежать на ребрах многогранника и / или на его гранях N M K M N K N принадлежит ( ADB ) D A B C

Слайд 15

Если соединив данные в условии точки, мы получим многоугольник, все стороны которого будут лежать на гранях многогранника, то сечение построено. N M K ( MNK ) – искомое сечение. Но это может произойти только тогда, когда каждые две соединяемые нами точки лежат в одной грани. D A B C 1.M ( ADC) , N ( ADC) => 2 M (ADB), K (ADB ) => 3. K (BDC), N (BDC ) =>

Слайд 16

Если же какие-нибудь две точки не лежат в одной плоскости, то, соединив их, мы получим отрезок лежащий внутри многогранника M N K Значит, треугольник MNK не является сечением. (см. особенность сечений №2) В таких случаях надо: 1 ) использовать все известные знания из теории; 2) Использовать дополнительные условия задачи; 3) Использовать специальные способы построения сечений. Точки М и N не лежат в одной грани. Следовательно, отрезок М N лежит внутри параллелепипеда.

Слайд 17

В этом случае мы должны вспомнить, что противоположные грани параллелепипеда параллельны. Следовательно, секущая плоскость пересечет их по параллельным прямым (особенность сечений №3). M A B 1 A 1 B C D D 1 C 1 N K Построить сечение, проходящее через точки M, N, K

Слайд 18

2. (BB 1 C 1 ) || (AA 1 D 1 ) следовательно линии пересечения секущей плоскости с этими гранями будут параллельны. Следовательно , надо в плоскости (AA 1 D 1 ) через точку М провести прямую, параллельную NK . А А 1 В 1 С 1 D 1 В С D N K Построение. 1. N (BB 1 C 1 ), K (BB 1 C 1 ) => NK (BB 1 C 1 ) M Секущая плоскость пересекает (BB 1 C 1 ) по прямой NK и имеет с плоскостью (AA 1 D 1 ) общую точку M .

Слайд 19

Т.к. проведенная прямая и прямая DD 1 лежат в одной плоскости, они пересекутся. Назовем точку пересечения – R. R 3. Теперь в грани DD 1 C 1 С есть две точки, принадлежащие плоскости сечения: K и R . Соединим их. 4.Т.к. грани DD 1 C 1 и AA 1 B 1 параллельны и М AA 1 B 1 , то, аналогично п.2, проведем в плоскости AA 1 B 1 через точку М прямую, параллельную KR . Она пересечет прямую А 1 B 1 в точке S (аналогично п.3). S А В 1 С 1 D 1 В С D N K M

Слайд 20

R S А В 1 С 1 D 1 В С D N K M Теперь в верхней грани A 1 B 1 C 1 D 1 есть две точки сечения: S и N . Соединим их. MRKNS – искомое сечение

Слайд 21

Оформление решения задач.

Слайд 22

N M K Задача 1. Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки M , N и K . Построение 1. MN 2. NK 3. KN Докажем, что MNK - искомое сечение. 2 . Доказательство 2. M (ADC) , N (ADC) => MN ( ADC) . 1. Точки M, N, K –принадлежат сечению. Следовательно, MNK – искомое сечение ч.т.д. 3 . M (ADB), K (ADB)=> MK ( ADB) . 4 . K (BDC), N (BDC) => KN ( BDC) .

Слайд 23

M N K A B 1 A 1 B C D D 1 C 1 R S Задача 2. Построить сечение параллелограмма, проходящее через точки M , N и K . Построение 1. NK 2. В плоскости AA 1 D MR II NK, MR∩ DD 1 =R 3. RK В плоскости AA 1 B 1 MS II RK, MS ∩ A 1 B 1 =S 5. SN Докажем, что MRKNS – искомое сечение.

Слайд 24

M N K A B 1 A 1 B C D D 1 C 1 R S 2. Доказательство 1. Точки M,N,K –принадлежат сечению. 2 . Секущая плоскость пересекает параллельные грани AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C по параллельным прямым: MR II NK, MS II RK ( по построению ) . Следовательно, MRKNS – искомое сечение ч.т.д . 4. MR (AA 1 D) по построению 3 . K (BB 1 C 1 ) , N (BB 1 C 1 ) => KN (BB 1 C 1 ) . 5. R ( DD 1 C 1 ), K ( DD 1 C 1 ) => RK ( DD 1 C 1 ) 6. MS ( AA 1 B 1 ) по построению 7. S ( A 1 B 1 C 1 ), N (A 1 B 1 C 1 ) => SN ( A 1 B 1 C 1 )

Слайд 25

R S P Построение 1. SR 2. SP, SP∩ AD = V 3. VR Докажем, что RSV - искомое сечение. 2 . Доказательство 1. Точки R, S, P принадлежат сечению. Следовательно, RSV – искомое сечение ч.т.д. V Задача 3. Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки R, S и P , P (ABD). 2. S (BDC) , R (BDC) => SR (BDC) . 3 . S ( ADB), P (ADB)=> PS (ADB), V (ADB ) 4 . V (ADC), R (ADC) => VR (ADC) .

Слайд 26

26 Задачи.

Слайд 27

a b c d a 1 b 1 c 1 d 1 s k s 1 p m h