Конспект урока по элективному курсу "Подготовка к ЕГЭ по геометрии в 11 классе по теме "Угол между прямой и плоскостью"
план-конспект урока по геометрии (11 класс) на тему

МБОУ «Первомайская СОШ   Оренбургского района»

Конспект урока по элективному курсу

«Подготовка к ЕГЭ по геометрии»  в 11 классе

 «Угол между прямой и плоскостью»

(С видеопланом решения задачи С 2.

https://www.youtube.com/watch?v=ObVnCcG29Nw )

Газизова В.В.

Цель урока: повторить  понятие угла между прямой и плоскостью,

решить задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью,     рассмотреть популярные ошибки при нахождении угла между   прямой и плоскостью,  

приобрести опыт решения задач  ЕГЭ на нахождение угла между прямой и плоскостью.

План  урока:  

1. Организационный момент.
2. Проверка решения домашних задач.
3. Повторение   теоретического материала.
4. Решение  ключевых задач на нахождение угла между прямой и плоскостью на моделях различных фигур.
5. Дифференцированная работа.

           Группа А. (профиль),  подробное решение задачи С2.

           Группа B. (база), самостоятельное решение подборки задач,

           прототипов №13  по карточке.

     6. Дифференцированная домашняя работа.

     7. Итог урока.

1. Организационный момент.

Сегодня на уроке мы повторим понятие  угла между прямой и плоскостью.   Цель нашего урока – приобрести  опыт решения задач на нахождении угла между прямой и плоскостью.   Мы увидим, как отражается данная тема в вариантах ЕГЭ.

2. Проверка домашнего задания.

1. Найдите угол  прямоугольного параллелепипеда, для которого =5, =4, =4. Дайте ответ в градусах.

Решение:

Заметим, что грань BB1C1C является квадратом, а угол между стороной и диагональю квадрата равен 45º. Следовательно ∟ = 45º.

2. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 17, а сторона основания равна 8. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников, один из них  ∆BOC,

значит BC = BO = 8 см. Рассмотрим  ∆ВOS:    

 ∟ВOS = 90º,  BS = 17 см.   (пифагорова тройка чисел 8; 15; 17), следовательно SO = 15 см.

3. Повторение теоретического материала.

Актуализация знаний – в ходе беседы.

Чтобы научиться определять  угол между прямой и плоскостью, нам потребуется вспомнить несколько вспомогательных определений.

Определение 1:

Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют единственную общую точку, которую  называют точкой пересечения прямой и плоскости.

Определение 2:

Проекцией точки М на плоскость α называется либо сама точка М, если М лежит в плоскости α, либо точка пересечения плоскости α и прямой, перпендикулярной к плоскости α и проходящей через точку М, если точка М не лежит в плоскости α.

Определение 3:

Проекцией прямой  а на плоскость α называют множество проекций всех точек прямой а на плоскость α.

Определение 4:

Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней,  это угол между прямой и   её проекцией на эту плоскость.

Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным 90º, а угол между параллельными прямой и плоскостью считают равным 0º.

Условия задач, в которых приходится отыскивать угол между прямой и плоскостью, разнообразны. Часто справиться с задачей нахождения угла между прямой и плоскостью  помогают признаки равенства или подобия фигур, теорема косинусов, определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Сегодня мы рассмотрим решение таких задач геометрическим методом.

Алгоритм действий:

Нужно найти какую-нибудь удобную  точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла α в прямоугольном треугольнике.

Самый сложный момент – определить, куда опуститься перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.

4. Решение ключевых задач на нахождение угла между прямой и плоскостью.

№ 1.

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

Найти: угол между прямой AD1и (ABC).

Решение:

по определению, это угол между прямой

и её проекцией на плоскость ABC.

Прямая DD1 перпендикулярна (ABC),  

значит точка D – проекция точки D1.

∟D1AD = 45º.

Многие делают такую ошибку: рассматривают угол  между наклонной и любой прямой в данной плоскости (не проекцией). Давайте посмотрим, что будет, если вместо проекции AD взять другую прямую, например, AC.

Другой ли будет ответ?

∆ AD1С – равносторонний  (так как его стороны – диагонали равных квадратов)

Следовательно,  ∟D1AС = 60º.

Ну, а угол между прямой и плоскостью не может быть равен и 45º и  60º.

Как видим это не одно и то же.

Вывод: действовать строго по определению. Искать именно проекцию наклонной и рассматривать угол между наклонной и её проекцией!

№ 2.

Дан куб ABCDA1B1C1D1.  AB = 1.

Найти: угол между прямой B1D и  (ABB1)                              

Решение:  

прямая DA перпендикулярна  боковой грани ABB1A1,                                                                                                                                     

следовательно DA перпендикулярна плоскости ABB1.

Значит точка A – проекция точки D на (ABB1).        

Тогда прямая AB1 проекция прямой B1D на (ABB1).

∟DB1A – искомый и найти его можем, рассматривая ∆ AB1D.

1 способ.

По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника

tg∟DB1A = 1/√2  =>  ∟DB1A = arctg1/√2

2 способ.

По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника

сtg∟DB1A = √2/1 =>  ∟DB1A = arcctg√2

3 способ.

Найдём сначала диагональ куба B1D, которая в ∆ AB1D является гипотенузой. По свойству диагонали куба  d = a√3, значит B1D = √3.

По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника

sin∟DB1A = 1/√3  => ∟DB1A = arcsin 1/√3.  

4 способ.

По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника,

cos∟DB1A = √2/√3  =>   ∟DB1A = arccos√2/√3  

№ 3.

Дано: ABCDS – правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой 1. Найти угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

     Решение:

1. Из точки S опустим перпендикуляр SO

          на плоскость    ABC.

2. Так как пирамида правильная, то этот перпендикуляр попадёт в центр квадрата в основании, то есть в точку O.
3. AO – проекция прямой AS на плоскость ABC.      ∟SAO – искомый.
4. ∆ SAO – прямоугольный,  AO = √2/2 (половина диагонали квадрата со стороной 1 см)
5. По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника cos∟SAO = (√2/2)/1 = √2/2 , поэтому ∟SAO = 45º.

5. Решение задачи с группой А. (профиль, С2)

   (задания взяты с сайта https://ege.sdamgia.ru/)

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC,  AB = AC = 13, BC = 24. Высота призмы равна 5. Найдите угол между прямой  A1B и  плоскостью BCC1.

Решение.

1. В равнобедренном треугольнике A1B1C1   высота A1М  является медианой, значит перпендикуляром  из точки  A1    на плоскость (BCC1)  будет  медиана  A1М. 

2.   Так как призма прямая, то

     A1М  ⊥  B1C1                      значит,   A1М   ⊥ (BCC1)  по признаку

                                    =>       перпендикулярности прямой и плоскости

      A1М  ⊥  CC1  

3.     МВ – проекция пр. A1B на плоскость  BCC1 .  

4.    ∟A1ВМ – угол между  прямой  A1B и ее проекцией МВ.

5.     Из прямоугольного Δ A1 МB1    A1 М = 5 (Пифагорова тройка 5, 12, 13) 

6.    Из прямоугольного Δ МB1B     МВ = 13 (Пифагорова тройка 5, 12, 13) 

7.   Из прямоугольного  Δ A1МВ :   tg A1МВ  =5/13, 

      поэтому    ∟A1МВ = arctg 5/13.

Ответ: угол между прямой A1B и  плоскостью BCC1   равен  arctg 5/13.

Решение задач  группой B.

(самостоятельное решение задач №1, №2, №3 по карточке)

Карточка:

Угол между прямой  и плоскостью. База   (прототипы № 13)

1. В правильной четырехугольной пирамиде  точка  – центр основания,  – вершина, , . Найдите боковое ребро .

2. В правильной четырехугольной пирамиде  точка  – центр основания,  – вершина, , . Найдите угол между  прямой SB и плоскостью основания.

3. Найдите угол  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

4. В прямоугольном параллелепипеде известно, что    Найдите длину ребра .

5. В прямоугольном параллелепипеде     известно, что    Найдите угол между прямой D1B и плоскостью (ABC).

6. Домашняя работа (дифференцированная).

Задания из открытого банка заданий ЕГЭ  по математике.

База. Задачи по карточке №4, №5.

Профиль. Задача С2:

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1 см. Найдите угол между прямой BC1 и плоскостью AA1F.

(С видеопланом решения данной  задачи С 2 можно ознакомиться по ссылке:

https://www.youtube.com/watch?v=ObVnCcG29Nw )

7. Итог урока:

     На этом уроке мы:

• Работали с таким понятием, как угол между прямой и плоскостью.
• Повторили, что этот угол определяется как угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
•  Выяснили, что не стоит путать угол между прямой и ее проекцией   с углом между прямой и произвольной прямой данной плоскости.
• Решили несколько задач, где наглядно продемонстрировали использование  определения угла между прямой и плоскостью.

Учитель отмечает  успешную работу  учащихся, выставляет отметки.