Правильные многогранники
план-конспект урока по геометрии (10 класс) по теме

МОУ "Красномайская основная  общеобразовательная школа"

Кочкуровский муниципальный район

Учитель математики-

Капитанова Неля Владимировна

Геометрия 10 класс

Тема урока- «Правильные многогранники»

Деятельностная цель: формирование способностей применять новые знания в учебной деятельности.

Содержательная цель: проведение исследования, размышление. Создание мотивации на успех для каждого ребенка.

  Задачи урока: 

 1.Обучающие: повторить  понятие правильного многогранника, рассмотреть свойства правильных многогранников, получить формулу Эйлера.

2.Развивающие: развивать умение анализировать, сравнивать, делать выводы, развивать устную речь, развивать элементы геометрического мышления, воспитание интереса к оперированию геометрическими понятиями.

3.Воспитательные: воспитывать умение высказывать свою точку зрения, слушать других, принимать участие в диалоге, формировать способность к позитивному сотрудничеству.

Формы работы познавательной деятельности учащихся: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Методы обучения: исследовательский, словесный, наглядный, практический.

Тип урока:  урок- исследование.

Оборудование:

1. Модели фигур, изготовленных учащимися по разверткам;

2. Демонстрационные модели (пластмассовые и стеклянные);

3.Слайды;

4. Модели кристаллических решеток, головоломка-  кубик Рубика;

5. Портрет Л.Эйлера;

6. Полоски разноцветной  бумаги для изготовления моделей правильных многогранников (для практической работы);

7. Мультимедийный проектор;

8. Раздаточный материал (карточки с таблицей).

ХОД УРОКА.

I. Организационный этап.

II. Ориентировочно- мотивационный этап.

Учитель

О какой геометрической фигуре загадка?

Шесть квадратов подружились
И в него навек сложились.

Слайд 2 (ЦОР- 1 позиция ресурса). 

http://www.fcior.edu.ru/card/22990/pravilnye-mnogogranniki.html/

Внимание на доску. Что изображено на ней?

Как можно их назвать одним словом?

Тема урока – многогранники.

А можете ли вы точно ответить на вопросы:

1. Что такое многогранник?

2. Из чего составлен многогранник?

3. Какие многогранники бывают?

4. Какими свойствоми обладают? 

Выпуклость;

Грани -  правильные многоугольники с одинаковым числом сторон;

В вершинах сходится одинаковое число ребер;

Равны все многогранные углы;

Равны все ребра, количество которых не превышает 5.

III. Постановка целей урока .  Создание проблемной ситуации.

Слайд 3, 4

Цель нашего урока:  получить закономерность, устанавливающую связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников- Теорема Эйлера для многогранников.

IV. Открытие нового знания (исследовательская работа).

Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер и Г — число граней.

Класс разделить на группы:

первая  исследует  октаэдр и куб,

вторая- тетраэдр и икосаэдр,

третья- додекаэдр.

Ваша задача выполнить исследовательскую работу- подтвердить закономерность, которая устанавливает связь между числом ребер, вершин и граней, топологически эквивалентных сфере.

необходимо подсчитать количество граней, рёбер, вершин указанного многогранника, рассчитать сумму плоских углов при вершине.

Вписать в таблицу количество граней, вершин и ребер каждого из указанных многогранников и найти для каждого многогранника число : Х=В+Г-Р. Сделать вывод.

Ученики заполняют таблицу (раздать на парты для заполнения и проецировать слайд на экран) и готовят краткую характеристику фигуры по плану:

1. Из  какого количества граней и каких правильных многоугольников составлен правильный многогранник?

2. Рассчитать сумму плоских углов при вершине.

Примерные ответы учащихся.

Правильный тетраэдр: составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 1800 .

Куб. Составлен из 6-ти квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 2700.

Правильный октаэдр: составлен из  восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 2400.

Правильный икосаэдр: составлен из правильных равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной 5-ти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 3000.

Правильный додекаэдр: составлен из 12-ти правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 3240.

Слайд 5.

Учитель

Исследуем результат. Получилась закономерность-

В+Г-Р= 2

Доказал это удивительное соотношение величайший математик

Леонард Эйлер и названа формула его именем. Теорема Эйлера заложила фундамент нового раздела математики — топологии.

В 1812 г. Французский математик О. Каши доказал, что кроме пяти «платоновых тел» больше нет правильных многогранников.

V. Первичное применение нового знания.

1. Совместная работа с ЦОР.

Позиция №5 - модели правильных многогранников и их развертки.

Учитель

Совокупность многоугольников, соответственно равных граням многогранника, вместе с указанием того, какие их стороны и вершины представляют собой одни и те же ребра и вершины многогранника, называется разверткой этого многогранника.

Ясно, что имея многогранник, мы всегда можем построить его развертку. Гораздо менее ясно, можно ли, наоборот, задав заранее набор многоугольников и схему склеивания их сторон и вершин, быть уверенным в том, что тем самым определен некоторый многогранник  и если это так, то сколько различных многогранников мы можем таким образом получить. Иными словами, возникает вопрос о существовании и единственности многогранника с заранее заданной разверткой.

Заданная совокупность плоских многоугольников (вместе с заданной схемой склеивания их сторон и вершин) определяет комбинаторный тип многогранника, а также форму и размеры его граней. Комбинаторный тип  всегда может быть реализован некоторым выпуклым многогранником, если только выполняются следующие условия:

1. Должны выполняться все три требования, фигурирующие в определении многогранника;

2. Число вершин, граней и ребер развертки должны удовлетворять теореме Эйлера:

В+Г-Р = 2.

3. Склеиваемые стороны многоугольников должны иметь одинаковую длину;

4. Сумма плоских углов при каждой из вершин развертки должна быть меньше 3600.

Например, у куба 11 разверток.

Доплнительные сведения. 

Слайд 6,7.

Рассказ учителя и демонстрация слайдов.

Недавно было обнаружено, что тело в форме икосаэдра есть в живой природе: такую форму имеют белковые оболочки многих вирусов («бактериофага» и «табачная мозаика»). Симметричность многогранников,  позволила создать серию головоломок - «кубик Рубика», «молдавская пирамидка».

Вдохновляли геометрические фигуры и художников (работы Мориса Эшера, Сальвадора Дали, Леонардо да Винчи).

 Рассмотрим способ изготовления моделей правильных многогранников, при котором они сплетаются из нескольких полосок бумаги.

 2. Практическая работа.

 Слайд 8

На каждую парту положить полоски для изготовления моделей тетраэдра.

 Демонстрация процесса и изготовление модели правильного тетраэдра без склеивания.

VI. Рефлексия

Учитель

Какова была тема урока? Какую задачу ставили? Каким способом решали поставленную задачу?

1. Сегодня я узнал…

2. Было интересно…

3. Я понял, что…

4.Урок дал мне для жизни…

5. Мне захотелось…

Совершенство форм, красивые математические закономерности присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывали различные магические свойства, и все 5 тел были обязательным атрибутом астрологов и звездочетов. И если вы потрудитесь над их изучением и изготовлением, то это наверняка доставит вам радость и удовольствие, а возможно принесет удачу.

Тема нашего урока “Правильные выпуклые многогранники”, какие свойства этих  геометрических фигур вы запомнили?

Закончим мы урок словами  английского писателя Льюиса Кэрролла, автора всем вам известной книги “ Алиса в стране ”- «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

Домашнее задание:

Слайд 10

Сравните термины: «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Можно ли утверждать, что они определяют одно и то же?

Соберите без склеивания модель куба. Демонстрация flash- анимации.

Материалы:

1.   ЦОР «Правильные многогранники»

http://www.fcior.edu.ru/card/22990/pravilnye-mnogogranniki.html

2. Литература .

1. Аствацатуров Г.О. Дизайн мультимедийного урока / Г.О. Аствацатуров-Волгоград: Учитель,2009.

2. Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. - М.: Просвещение, 2013. – 207 с.

3. Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. - М.: Просвещение, 2000.

4. Саакян С.М. Изучение темы «Многогранники» в курсе 10 класса. / С.М. Саакян, В.Ф. 5. 5. Бутузов. // Математика в школе. – 2000. - № 2.

6. Смирнова И.М. Уроки стереометрии в гуманитарных классах. Изучение многогранников. / И.М. Смирнова. // Математика в школе. – 1994. - № 4.

7. Ходеева Т. Свойства многогранников. / Т. Ходеева. //  Математика. – 2002. - № 11.

8.Шарыгин И.Ф.: «Наглядная геометрия» /И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева -М.: МИРОС,2000.- 41с.

3. Интернет- ссылки

1. http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Кубик_Рубика&stable=0&redirect=no

2. http://ru.wikipedia.org/wiki/Додекаэдр

3. http://ru.wikipedia.org/wiki/Октаэдр

4. http://ru.wikipedia.org/wiki/Икосаэдр

5. http://ru.wikipedia.org/wiki/Эйлер,_Леонард

6. http://www.blog-mosaic.ru/2007/10/17/matematicheskie-mozaiki-mkeshera/

8. ЭОР - http://www.fcior.edu.ru/card/22990/pravilnye-mnogogranniki.html/