Исследовательская работа "Пифагоровы тройки"
проект по геометрии (9 класс) на тему

 Научно-практическая конференция школьников

«Шаг в будущее»

Пифагоровы тройки

Коренева Кристина Дмитриевна,

МАОУ Средняя общеобразовательная школа №1  г. Улан-Удэ

Класс 9 – а

Россия, Республика Бурятия, г.Улан-Удэ

Научный руководитель:

Бадинова Жанна Станиславовна, учитель математики.

 МАОУ Средняя общеобразовательная школа №1  г.Улан-Удэ

2013 г.

                                                                                                                                                                                              2

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………………………………………………………….3

Глава I. Уравнение Пифагора. Пифагоровы тройки и способы их нахождения……………  4-7

Глава II. Практическое применение пифагоровых троек…………………………………………………8-9

Заключение…………………………………………………………………………………………………………………………10

Приложение 1………………………………………………………………………………………………………………………11

                                                                                                                                                                                              3

Введение

Ценность теоремы Пифагора и пифагоровых троек доказана многими учеными мира на протяжении многих веков. Проблема, о которой пойдет речь в данной работе – изучить свойства пифагоровых троек, способ их получения, а также выяснить их практическое применение. Данная проблема представляет особую актуальность, так как в школьной программе по геометрии эта тема практически не рассматривается, но при решении планиметрических задач часто встречается. И поэтому у школьников такие задачи, связанные с применением пифагоровых троек, вызывают затруднения.

Цель данной работы – обосновать теоретическую и практическую значимость пифагоровых троек в области математики и в жизнедеятельности человека.

 Задачи:

1. Установить способы  получения  пифагоровых чисел.
2. Изучить свойства примитивных пифагоровых троек, составить их таблицу.
3. Изучить материал, связанный с теоремой Ферма и попытками ученых всего мира доказать ее.
4. Выявить практическое применение пифагоровых троек.

Объект и исследования: уравнение Пифагора.

Предмет исследования: пифагоровы тройки.

Методы исследования: анализ и синтез полученных фактов  из  литературы по теме, систематизация полученных знаний, моделирование реальных ситуаций.

                                                                                                                                                                                4

Глава I.Уравнение Пифагора. Пифагоровы тройки и способы их нахождения.

1.Уравнение Пифагора и пифагоровы тройки.

    Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к одной из «величайших» проблем теории чисел – проблеме, ростки которой появились задолго до Пифагора – в Древнем Египте и Вавилоне. Задача Пифагора в современных терминах может быть сформулирована так: «решить в натуральных числах неопределенное уравнение x2 + y2 = z2» . Это уравнение называется «пифагоровым», так как выражает известное из «теоремы Пифагора» метрическое соотношение, связывающее стороны прямоугольного треугольника. Геометрический смысл данного уравнения заключается в том, что для всякой тройки положительных чисел х, у и z, такой, что   x2 + y2 = z2 , существует прямоугольный треугольник с катетами х, у и гипотенузой z.

       Тройка натуральных чисел ( х, у, z), которая является решением данного уравнения называется пифагоровой тройкой, а прямоугольные треугольники с такими сторонами называются пифагоровыми треугольниками. Например, (3,4,5) является пифагоровой тройкой. Прямоугольный треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5, называется еще и египетским, так как (как известно из школьной программы геометрии) его использовали в Древнем Египте для построения прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид это надо было уметь. Интересно, что площадь этого треугольниеа равна совершенному числу 6, а периметр равен 12 – число, которое считалось символом счастья и достатка. Пирамиды месопотамского  фараона Снофру (XXVIIв. до н.э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей. Также сохранилась глиняная табличка, относящаяся к древневавилонской эпохе и содержащая 15 строк пифагоровых троек. На них даже встречаются такие тройки, как (12709, 13500 и 18541). Нет сомнений, что такие числа были найдены не простым перебором, а по неким правилам.

2.Способы нахождения пифагоровых троек.

 Итак, возникает вопрос: какие способы существуют для нахождения пифагоровых троек, которые являются решением неопределенного уравнения  x2 + y2 = z2    ?

Способ первый:  Запишем подряд квадраты натуральных чисел, отделив  их друг от друга запятой. Под каждой запятой подпишем разность между последовательными квадратами:

1 , 4 , 9 , 16 , 25 ,  36 ,   49 ,  64  , 81 ,  100  ,   121  ,  144   ,   169   ,  196 ,...

   3 , 5 , 7 ,   9  ,  11 ,   13 ,  15 ,  17 ,  19  ,    21    ,   23   ,    25    ,    27  ,...

                                                                                                                                                                                              5

А теперь внимание! В нижней строке есть квадратные числа! Первое из них 9 = 3^2 , над ними 16 = 4^2  и 25 = 5^2  - знакомая нам пифагорова тройка (3, 4, 5).

Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствуют 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13. Если продолжить строку квадратных чисел и посчитать соответствующие разности, то во второй строке найдете 49 = 7^2 , этому числу отвечают в строке квадратов 576 = 24^2  и 625 = 25^2 . И действительно, 7^2  + 24^2  = 25  . Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте.

Но, составлять такие последовательности довольно скучное и трудоемкое занятие. По формуле находить такие тройки и проще и быстрее.

Способ второй:  Эти формулы  были известны уже две с половиной тысячи лет назад. Пусть (x, y, z,) – пифагорова тройка и x –нечетное число. Тогда    y = (x^2-1)/2  и  z =(x^2+1)/2.  По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

Если x = 3, то y =(3^2-1)/2=4 ,  z = 3^2+1/2=5, получилась  первая тройка  (3, 4, 5).

Если x = 5, то y = (5^2-1)/2 =12,  z = (5^2+1)/2=13, вторая тройка   (5, 12, 13).

Если x = 7, то y = (7^2-1)/2=24 ,  z = (7^2+1)/2=25, третья тройка   (7, 24, 25) и так далее.

Способ третий: Теперь установим правила вычисления всех, а не только некоторых пифагоровых троек. Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:

х^2 = z^2 – y^2  или   х^2 = (z – y)(z + y)

Это значит, что число x^2  должно раскладываться на два неравных множителя (z + y) и    (z–y), которые мы обозначим так, что получится система:

z + y = 2m^2,

z – y = 2n^2

Почему написаны коэффициенты 2 и почему написаны квадраты, а не просто числа m и n? Это сделано с целью получить аккуратные ответы. Решив эту систему, получим:

z = m^2 + n^2,  y = m^2 – n^2, тогда подставляя в равенство  для х^2, получаем, что x = 2mn, где m и n –  произвольно взятые взаимно простые натуральные числа, причем m>n.

                                                                                                                                                                                              6

Применяя указанные формулы, легко найти все решения уравнения x2 + y2 = z2    в натуральных числах. Например: пусть m = 9, n = 7 , где  m>n.

Решим уравнение по формулам:

x = 2mn,   x = 2* 9 *7 = 126;

y = m^2 – n^2,   y = 81 – 49 = 32;

z = m^2 + n^2, z = 81 + 49 = 130.

Действительно, 126 + 32 = 130, так как 15876 + 1024 = 16900

Ответ: 126, 32, 130.

3.Примитивные пифагоровы тройки и их свойства.

      Пифагоровы тройки, не имеющие общих делителей, больших 1, называются примитивными (или простейшими). Например, (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (9,40,41) и так далее. То есть, числа, входящие в примитивную тройку должны быть взаимно простыми.  Ясно,  если  (х, у, z) примитивная тройка, то для любого натурального  n – тройка (nx,ny,nz) тоже будет примитивной, то есть любую пифагорову тройку можно получить из примитивной  умножением каждого ее члена на натуральное число.

          Пифагор нашел формулы для нахождения примитивных троек, которые в современной символике могут быть записаны так:

х = 2n + 1,          y = 2n(n + 1),              z = 2n + 2n + 1,       где n- натуральное число.

Перечислим свойства примитивных пифагоровых троек:

Свойство 1.  Числа, входящие в простейшую пифагорову тройку, попарно взаимно просты.

Следствие: В примитивной пифагоровой тройке одно число может быть четным.

Свойство 2. В примитивной пифагоровой тройке (x, y, z) числа x и y не могут быть одновременно нечетными.

Свойство 3. Одно из чисел пифагоровой тройки должно быть кратно 3.

Свойство 4.Одно из чисел пифагоровой тройки должно быть кратно 4.

Свойство 5.Одно из чисел пифагоровой тройки должно быть кратно 5.

                                                                                                                                                                                              7

4. Великая теорема Ферма

        Начатое Пифагором исследование «безобидного» уравнения x2 + y2 = z2    привело к сложнейшей проблеме современной теории чисел – исследование в целых числах уравнения  xn + yn = zn .     

Занимаясь неопределенными уравнениями, известный французский математик Пьер Ферма высказал в 1637 году предположение, что для любого натурального  числа n, большего 2,  уравнение xn + yn = zn   не имеет решений в натуральных числах. Сам Ферма доказал эту теорему для случая n = 4, Эйлер в 1770 году доказал для случая n = 3,  Дирихле и Ленеандр в 1825 – для n = 5, Ламе – для n = 7, Кумер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100. Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов – любителей. И лишь в 1995 году (  после 7 лет напряженной работы) эту теорему окончательно доказал английский математик, профессор Пристанского университета Эндрю Уайлс.

Таким образом,, великая и неприступная на протяжении нескольких столетий теорема Ферма доказана.

Итак, обобщая сказанное в первой главе, можно сделать вывод  - теперь стало понятно как древние египтяне и пифагорейцы находили подобного рода тройки чисел, рассмотренные способы позволяют без труда составлять пифагоровы тройки и применять их при решении неопределенных уравнений второй степени с тремя неизвестными. В результате выявления свойств примитивных троек, а так же формул Пифагора, можно составить таблицу примитивных пифагоровых троек, которые в дальнейшем можно использовать для решения задач. (см. приложение 1).

                                                                                                                                                                                              8

 Глава II.  Практическое применение пифагоровых троек.

Пифагоровы тройки имеют огромное практическое применение. Рассмотрим для примера несколько задач:

Задача №1     Построить из спичек разносторонний треугольник с высотой 12.

Решение:  Спичка здесь – эталон длины и, таким образом, прямые, выложенные ими, имеют целочисленную длину. Этот треугольник состоит из двух прямоугольных треугольников с одним общим катетом, равным 12 спичкам. Среди примитивных пифагоровых троек  двух таких троек нет, так как один из катетов — четной длины, а второй — нечетной. Но,  можно выбрать два примитивных треугольника, или тот же самый треугольник и умножить тройки так, чтобы получить наименьшее общее кратное двух катетов, которое равняется 12. Например, взять тройки (3,4,5) и (4,3,5), первую умножить на 4, а вторую — на 3, получим (12,16,20) и (12,9,15). Ответ — треугольник со сторонами 20, 15 и 16 + 9 = 25 и  с высотой 12 спичек.

Другой вариант решения — тройки (12,5,17) и (4•3, 3•3, 5•3), которые дают треугольник со сторонами 17, 15 и 5 + 9 = 14  и с высотой 12 спичек.

Оба решения показаны на рисунке:

Задача №2      Раскроить материал для четырехугольного ромбовидного змея, вот такого: , чтобы все его стороны и внутренние планки, которые перекрещиваются под прямым углом, были длиной в целое количество сантиметров.

Решение:  для решения данной задачи можно воспользоваться задачей №1.                                                                                                                                                                                        Задача №3        В треугольник, со сторонами 5, 12 и 13 проведена медиана к большей стороне. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые медиана разбивает этот треугольник.

Решение:  Заметив, что (5,12,13) – пифагорова тройка чисел, значит, треугольник с такими сторонами – прямоугольный. Воспользовавшись свойством медианы прямоугольного треугольника, легко увидеть, что получилось два равнобедренных  треугольника с вписанными в них окружностями, что

                                                                                                                                                                                              9

позволяет легко найти расстояние между центрами этих окружностей. Если не заметить, что данный в задаче треугольник прямоугольный, то решение будет намного длиннее.

Задача №4     Найти  cos, tg и ctg, если sin = 24/25, если  – угол второй четверти.

Решение:  Конечно, данную задачу можно решить с помощью тригонометрических тождеств, но с помощью пифагоровой тройки (7,24,25) решение будет намного быстрее.

Задача №5   При оформлении фасада дома мозаикой, требуются разноцветные равные прямоугольные треугольники из стекла, с целочисленными сторонами и с катетом 10 см. Требуется определить, какими должны быть другие стороны данных треугольников.

Решение: Заданный катет – четное число, значит х = 10 = 2mn, где m>n и они взаимно простые числа. Возможна единственная комбинация m и n –  это 5 и 1. Так как 2*5*1=10. Остальные стороны равняются у=m^2-n^2=24, z=m^2+n^2=26. Таким образом, ответ – это треугольники со сторонами 10см, 24 см и 26 см.

Задача №6     Известно, что угол наклона пандуса для передвижения инвалидов на колясках внутри и снаружи здания должен быть не больше 5 градусов и высотой, не превышающей 80 см. От жильцов дома, строительной организации поступил заказ - построить пандус для инвалида-колясочника. Какой длины должен быть пандус, удовлетворяющий этим требованиям?

                                                                                                                                                                                         Решение:  Можно считать, что пандус имеет форму прямоугольного треугольника. Тангенс 5 градусов приближенно равен 0,0875. Использую таблицу примитивных пифагоровых троек, можно легко найти нужную тройку чисел, которая удовлетворяет условию, что, катет, противолежащий углу в 5 градусов в прямоугольном треугольнике, должен быть не более 80 см.  Учитывая реальность ситуации подбором получаем, что нужные нам тройки –  (25,312,313) или (27,364,365). Следовательно, пандус может иметь длины 25 см, 312 см, 313 см или 27 см, 364 см, 365 см.

           В результате, можно сделать вывод, что  пифагоровы тройки, их свойства  и способы   получения, значительно упрощают решение многих планиметрических задач, а так же нашли широкое применение в реальных жизненных ситуациях.

                                                                                                                                                                                            10              

                                                                                                                                                                               Заключение.

         В заключении хочется отметить, что работа над проектом позволила узнать материал, которого нет в школьной программе. К сожалению, полностью показать все аспекты научной теории, связанной с уравнением Пифагора и пифагоровыми тройками, а так же множества практических задач из алгебры, геометрии и практической деятельности  человека, не позволяет объем данной работы. Однако, опираясь на поставленные задачи, удалось раскрыть важность исследуемой темы.

       Изначально были выявлены базовые теоретические знания, включающие описание общих понятий об уравнении Пифагора и пифагоровых тройках. На базе полученных знаний были выявлены способы их получения и свойства. Теоретическая и практическая значимость исследования состоит в том, что в нем на основе системного подхода представлена роль, которую играет открытие пифагоровых троек в науке и в жизнедеятельности человека.

                                                                                                                                                                                            11

Литература

1. Аносов Д.В. Взгляд на математику и нечто из нее. – М.: МЦНМО, 2003.
2. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. – М.: Прометей, 2001.
3. Интернет источники:

http://th-pif.narod.ru

                                                                                                                                                                               12

Приложение 1

Таблица примитивных пифагоровых троек (х,у,z) для х < 50