Тренажёр по решению задания ЕГЭ №8
консультация по геометрии (11 класс) на тему

Прямоугольный параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.

Параллелепипед АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный (рис. 1), если:

1. АА1⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).

2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.

Рис. 1 Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.

Итак, прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда - прямоугольник.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

АВСD и А1В1С1D1 – прямоугольники по определению.

2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Теорема

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.

Следствие - Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. 

Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 62, тогда АС1 = СА1 = В1D = DВ1 = 

Рис. 2

Прямоугольный параллелепипед

Задание №8

1. 

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Решение.

Площадь поверхности параллелепипеда с ребрами а1, а2, а3 дается формулой  Пусть неизвестное ребро равно x. Подставляя известные величины из условия, получаем:

Ответ: 5.

Решите самостоятельно:

1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 6. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 138. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 5. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 136. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 8. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 246. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
5. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 5. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 328. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

2. 

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Решение.

Пусть длина третьего ребра, исходящего из той же вершины, равна , тогда площадь поверхности параллелепипеда даётся формулой  По условию площадь поверхности равна 16, тогда  откуда 

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда равна квадратному корню из суммы квадратов его измерений, поэтому 

Ответ: 3.

Решите самостоятельно:

1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 48 и 12. Площадь поверхности параллелепипеда равна 3072. Найдите его диагональ.
2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4 и 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 64. Найдите его диагональ.
3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 9 и 12. Площадь поверхности параллелепипеда равна 1728. Найдите его диагональ.
4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 72 и 18. Площадь поверхности параллелепипеда равна 6912. Найдите его диагональ.
5. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 24 и 72. Площадь поверхности параллелепипеда равна 6912. Найдите его диагональ.

3. 

Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Решение.

Высота и рёбра такого параллелепипеда равны диаметру сферы, поэтому это куб с ребром 2. Площадь его поверхности равна 6 · 4 = 24.

Ответ: 24.

4. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где  — площадь грани, а  — высота перпендикулярного к ней ребра. Имеем

Ответ: 48.

Решите самостоятельно:

1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 2. Найдите объем параллелепипеда.
2. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.
3. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 21. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 3. Найдите объем параллелепипеда.
4. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 14. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.
5. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 20. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

5. 

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Решение.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где  — площадь грани, а  — высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда площадь грани

Ответ: 8.

Решите самостоятельно:

1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 105. Одно из его ребер равно 7. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.
2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 72. Одно из его ребер равно 4. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.
3.  Объем прямоугольного параллелепипеда равен 75. Одно из его ребер равно 5. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.
4. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 90. Одно из его ребер равно 5. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.
5. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 42. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

6. 

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

Решение.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где  — площадь грани, а  — высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда

Ответ: 5.

Решите самостоятельно:

1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 144. Площадь одной его грани равна 18. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.
2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 15. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.
3.  Объем прямоугольного параллелепипеда равен 48. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.
4. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 105. Площадь одной его грани равна 21. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.
5. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 72. Площадь одной его грани равна 24. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

7. 

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Решение.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений. Поэтому, если x — искомое ребро, то 2 · 6 · x = 48, откуда x = 4.

Ответ: 4.

Решите самостоятельно:

1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4 и 3. Объем параллелепипеда равен 180. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 9 и 5. Объем параллелепипеда равен 540. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12 и 9. Объем параллелепипеда равен 1404. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 9 и 7. Объем параллелепипеда равен 189. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
5. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 10 и 9. Объем параллелепипеда равен 450. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

8. 

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Решение.

Объем куба V = a3 равен объему параллелепипеда

Значит для ребра куба имеем:

Ответ: 6.

Решите самостоятельно:

1. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 12 и 18. Найдите ребро равновеликого ему куба.
2. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 6 и 36. Найдите ребро равновеликого ему куба.
3. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 3 и 24. Найдите ребро равновеликого ему куба.
4. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 1 и 729. Найдите ребро равновеликого ему куба.
5. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4 и 27. Найдите ребро равновеликого ему куба.

9. 

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.

Длина диагонали параллелепипеда равна

Длина третьего ребра тогда  Получим, что объем параллелепипеда

Ответ: 32.

Решите самостоятельно:

1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 72 и 18. Диагональ параллелепипеда равна 78. Найдите объем параллелепипеда.
2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 10 и 5. Диагональ параллелепипеда равна 15. Найдите объем параллелепипеда.
3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4 и 2. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.
4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 36 и 9. Диагональ параллелепипеда равна 39. Найдите объем параллелепипеда.
5. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 24 и 16. Диагональ параллелепипеда равна 34. Найдите объем параллелепипеда.

10. 

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.

Решение.

Объем параллелепипеда равен

Отсюда найдем третье ребро:

Длина диагонали параллелепипеда равна

Ответ: 7.

Решите самостоятельно:

1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 24 и 32. Объем параллелепипеда равен 32256. Найдите его диагональ.
2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 10 и 5. Объем параллелепипеда равен 500. Найдите его диагональ.
3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 6 и 12. Объем параллелепипеда равен 864. Найдите его диагональ.
4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12 и 16. Объем параллелепипеда равен 9216. Найдите его диагональ.
5. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 27 и 36. Объем параллелепипеда равен 23328. Найдите его диагональ.

11. 

Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна  и образует с плоскостью этой грани угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.

Ребро параллелепипеда напротив угла в  равно , поскольку образует с заданной диагональю и диагональю одной из граней равнобедренный треугольник. Два другие ребра по построению лежат в прямоугольных треугольниках напротив угла в  и равны, поэтому половине диагонали. Тогда объем параллелепипеда:

Ответ: 4.

Решите самостоятельно:

1. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 2 и образует с плоскостью этой грани угол 30°. Найдите объем параллелепипеда.

12. 

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности.

Решение.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме попарных произведений его измерений

Ответ: 22.

Решите самостоятельно:

1. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3 и 7. Найдите его площадь поверхности.
2. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4 и 5. Найдите его площадь поверхности.
3. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 7 и 9. Найдите его площадь поверхности.
4. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 5 и 8. Найдите его площадь поверхности.
5. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4 и 6. Найдите его площадь поверхности.

13. 

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Решение.

Обозначим известные ребра за  и , а неизвестное за  Площадь поверхности параллелепипеда выражается как

Диагональ параллелепипеда находится как

Выразим :

Тогда площадь поверхности

Ответ: 64.

Решите самостоятельно:

1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 42 и 24. Диагональ параллелепипеда равна 58. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4 и 2. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12 и 3. Диагональ параллелепипеда равна 13. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 18 и 24. Диагональ параллелепипеда равна 34. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
5. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 24 и 6. Диагональ параллелепипеда равна 26. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

14.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

Решение.

Найдем третье ребро из выражения для объема:

Площадь поверхности параллелепипеда

Ответ: 22.

Решите самостоятельно:

1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 7 и 2. Объем параллелепипеда равен 112. Найдите площадь его поверхности.
2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 8 и 7. Объем параллелепипеда равен 616. Найдите площадь его поверхности.
3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12 и 6. Объем параллелепипеда равен 144. Найдите площадь его поверхности.
4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 10 и 8. Объем параллелепипеда равен 640. Найдите площадь его поверхности.
5. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12 и 2. Объем параллелепипеда равен 312. Найдите площадь его поверхности.

15. 

Объем параллелепипеда  равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды 

Решение.

Искомый объем равен разности объемов параллелепипеда со сторонами a, b и c и четырех пирамид, основания которых являются гранями данной треугольной пирамиды. Объём каждой из этих пирамид равен одной трети произведения площади основания на высоту, а площадь основания вдвое меньше площади основания параллелепипеда:

Ответ: 1,5.

Решите самостоятельно:

1. Объем параллелепипеда  равен  Найдите объем треугольной пирамиды 

2. Объем параллелепипеда  равен 2,7. Найдите объем треугольной пирамиды 
3. Объем параллелепипеда  равен  Найдите объем треугольной пирамиды 

4. Объем параллелепипеда  равен  Найдите объем треугольной пирамиды 

16. 

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A1, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда , у которого , , 

Решение.

Из рисунка видно, что многогранник является половиной данного прямоугольного параллелепипеда. Следовательно, объём искомого многогранника дается формулой:

Ответ: 30.

Решите самостоятельно:

1. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , параллелепипеда , у которого , , 
2. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , параллелепипеда , у которого , , 
3. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , параллелепипеда , у которого , , 
4. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , параллелепипеда , у которого , , 
5. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , параллелепипеда , у которого , , 

17. Задание 8 № 245336

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , ,  прямоугольного параллелепипеда , у которого , , 

Решение.

Площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания пареллелепипеда, а высота у них общая. Поэтому

Ответ: 8.

Решите самостоятельно:

1. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , ,  параллелепипеда , у которого , , 
2. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , параллелепипеда , у которого , , 
3. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , ,  параллелепипеда , у которого , , 
4. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , параллелепипеда , у которого , , 
5. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , ,  параллелепипеда , у которого , , 

18. 

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , ,  прямоугольного параллелепипеда , у которого , , 

Решение.

Основанием пирамиды, объем которой нужно найти, является боковая грань параллелепипеда, а ее высотой является ребро Поэтому

Ответ: 16.

Решите самостоятельно:

1. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , параллелепипеда , у которого , , 
2. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , параллелепипеда , у которого , , 
3. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , параллелепипеда , у которого , , 
4. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , параллелепипеда , у которого , , 
5. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , параллелепипеда , у которого , , 

19. 

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , ,  прямоугольного параллелепипеда , у которого , , 

Решение.

Площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания пареллелепипеда, а высота у них общая. Поэтому

Ответ: 6.

Решите самостоятельно:

1. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки    параллелепипеда , у которого , , 
2. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , параллелепипеда , у которого , , 
3. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , ,  параллелепипеда , у которого , , 
4. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , ,  параллелепипеда , у которого , , 
5. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , ,  параллелепипеда , у которого , , 

20.

Найдите угол  прямоугольного параллелепипеда, для которого , ,  Дайте ответ в градусах.

Решение.

В прямоугольнике  отрезок  является диагональю,  По теореме Пифагора

Прямоугольный треугольник  равнобедренный: , значит, его острые углы равны 

Ответ: 45.

Решите самостоятельно:

1. Найдите угол  прямоугольного параллелепипеда, для которого , ,  Ответ дайте в градусах.
2. Найдите угол  прямоугольного параллелепипеда, для которого , ,  Ответ дайте в градусах.
3. Найдите угол  прямоугольного параллелепипеда, для которого , ,  Ответ дайте в градусах.
4. Найдите угол  прямоугольного параллелепипеда, для которого , ,  Ответ дайте в градусах.
5. Найдите угол  прямоугольного параллелепипеда, для которого , ,  Ответ дайте в градусах.

21.

В прямоугольном параллелепипеде  ребро , ребро , ребро  Точка  — середина ребра  Найдите площадь сечения, проходящего через точки  и 

Решение.

Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому четырехугольник  — параллелограмм. Кроме того, ребро  перпендикулярно граням  и , поэтому углы  и  — прямые. Следовательно, сечение  — прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника  по теореме Пифагора найдем 

Тогда площадь прямоугольника  равна:

Ответ:5.

Решите самостоятельно:

1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро BC = 4, ребро  ребро BB1 = 4. Точка K — середина ребра CC1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки B1, A1 и K.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро CD = 2, ребро  ребро CC1 = 2. Точка K — середина ребра DD1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки C1, B1 и K.
3. В прямоугольном параллелепипеде  известны длины рёбер:  = 3,  = 6,  = 8. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C1.
4. В прямоугольном параллелепипеде  известны длины рёбер:  = 9,  = 9,  = 12. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C1.
5. В прямоугольном параллелепипеде  известны длины рёбер:  = 15,  = 12,  = 16. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C1.