Построение сечений многогранников. Методические материалы.
методическая разработка по геометрии (10 класс)

       ПОСТАНОВКА   ЗАДАЧИ И ИЗЛОЖЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА .

1. СЕКУЩАЯ ПЛОСКОСТЬ – это любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

     СЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА – это многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает  его грани.

1. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ МНОГОГРАН. И ПЛОСКОСТИ:  

-   не имеют общих точек («пустая» фигура, нам не интересна);

-   имеют одну общую точку;

-   имеют две общие точки (имеют общий отрезок);

-   имеют три и более общих точек;

3. КАК  ЗАДАЁТСЯ  ПЛОСКОСТЬ?

-   тремя точками (по аксиоме);

-   прямой и не лежащей на ней точкой (следствие из аксиомы);

-   двумя пересекающимися прямыми (следствие из аксиомы);  

-   двумя параллельными прямыми (из определения параллельн. прямых).

4. КАКИЕ ФИГУРЫ МОГУТ ПОЛУЧАТЬСЯ  В  СЕЧЕНИИ?

-   треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и т.д.

    МОЖЕТ ЛИ В  СЕЧЕНИИ  КУБА  ПОЛУЧИТЬСЯ  СЕМИУГОЛЬНИК? – нет.

5. ЧЕМУ РАВНО НАИБОЛЬШЕЕ ЧИСЛО СТОРОН СЕЧЕНИЯ

   ТЕТРАЭДРА, КУБА, ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА? – четыре, шесть, шесть

    ОТ  ЧЕГО  ЭТО  ЗАВИСИТ? - от числа граней многогранника.

6. КОГДА МОЖНО СЧИТАТЬ, ЧТО ЗАДАЧА ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКА  ЗАВЕРШЕНА?

7. СВОЙСТВА  ПРАВИЛЬНО  ПОСТРОЕННОГО  СЕЧЕНИЯ:

-   получен замкнутый многоугольник;

-   вершины этого многоугольника лежат на рёбрах многогранника;

-   стороны сечения должны лежать в гранях многогранника;

-   в каждой грани многогранника должно лежать не более одной стороны сечения, так как плоскости не могут пересекаться по ломаным линиям;

-   отрезки, образующие секущую плоскость, лежащие в параллельных гранях, должны быть параллельны.

                          АЛГОРИТМ  ПОСТРОЕНИЯ  СЕЧЕНИЙ.

1. Если известны две точки секущей плоскости, лежащие в плоскости одной грани, то через них проводим прямую. Часть этой прямой, лежащая в плоскости грани – есть сторона сечения.
2. Если есть общая прямая плоскости сечения и плоскости грани, то строим точку пересечения этой прямой с прямыми, содержащими рёбра данной грани. После этого выясняем: нельзя ли вернуться к п.1
3. Если никакие две из данных точек не лежат в плоскости одной грани, то строим вспомогательное сечение, содержащее какие-нибудь две из данных точек, после чего возвращаемся к п.1 или п.2.

                                     Актуализация знаний.

АКСИОМЫ:

     1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

     2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

     3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

СЛЕДСТВИЯ из аксиом:

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ  в пространстве:

1. Прямая лежит в плоскости;

2. Прямая и плоскость имеют одну общую точку (пересекаются);

3. Прямая и плоскость не имеют общих точек.

 Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

ПРИЗНАК: «Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в данной плоскости, то она параллельна данной плоскости».

1. «Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой».
2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая, либо параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

ВЗАИМНОЕ  РАСПОЛОЖЕНИЕ  ПРЯМЫХ  в пространстве:

1. Пересекаются (имеют только одну общую точку);

2. Параллельны (лежат в одной плоскости и не пересекаются);

3. Скрещиваются (не лежат в одной плоскости).

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ  ПЛОСКОСТЕЙ:

1. «Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны».

2. «Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны».

Домашнее задание.