Вписанная и описанная окружность
рабочая программа по геометрии (8 класс)

Урок по теме: «Вписанная и описанная окружность. Решение задач».

                           Или «урок одной задачи».

Геометрия 8 класс.

Мекерова Фатима Магометовна, учитель физики и математики

МКОУ "СОШ а.Псаучье-Дахе имени Героя России О.М.Карданова"

Цель урока: обобщить и систематизировать знания  по теме «вписанная и описанная окружность».

Задачи урока: привитие навыков в отыскании различных способов решения задач, развитие исследовательских способностей у учащихся.

План урока:           1. Постановка цели и задач урока.

                                          2. Повторение. Подготовка к решению задачи.

                                          3. Решение одной задачи несколькими  способами.

                                          4. Подведение итогов урока.

                                          5. Домашнее задание.

Ход урока:

1. Постановка цели и задач урока. (1-2 слайды презентации)
2. Повторение. Подготовка к решению задачи. 

Темы для повторения:   

1. Признаки подобия треугольников (3-6 слайды).
2. Свойство биссектрисы угла треугольника (7 слайд).
3. Свойство пересекающихся хорд (8 слайд).
4. Свойство касательной и хорды, проведённых их одной точки (9 слайд)

  (для тех классов, где будет рассматриваться 5-й способ решения задачи).

5.    Теорема о вписанном угле (10 слайд).

6. Формулы для нахождения площади треугольника (11 слайд)

3. Решение одной задачи несколькими  способами. (учитель выбирает способы решения задачи в зависимости от подготовленности учащихся).

Задача: Найдите радиус r вписанной и радиус R описанной окружности для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.

I  способ (12 слайд).

 Из  находим по теореме Пифагора , точка О – центр описанной окружности,  и . Из  по теореме Пифагора , а , следовательно,  , откуда

О1 – центр вписанной окружности, . Так как , то  и , а . Из  по теореме Пифагора , т. е. , откуда .

II способ (13 слайд).

Пусть , тогда  . Из  .

Из  имеем: , тогда из  следует, что , т. е.  и .

III способ (14 слайд).

Из подобия треугольников ОВК и CBD имеем  , т. е.  и .

Так как  ~ , то , т. е.  и .

IV способ (15 слайд).

Используя свойство двух пересекающихся    

 хорд АС и ВЕ окружности, получаем:

 , т. е. ,

отсюда .

Используя свойство  биссектрисы

СО1 треугольника BDC, имеем ,  ,откуда .

V способ (16 слайд).

  Продолжив BD до пересечения с описанной окружностью, получим прямоугольный треугольник ВСЕ, откуда  и

Для нахождения r этим способом учащихся предварительно надо познакомить с зависимостью между касательной и секущей, проведёнными из одной точки к окружности. Используя эту зависимость, имеем , т. е. , откуда .

VI способ (17 слайд).

Если , то , как внешний угол равнобедренного   (другое обоснование: так как точка В лежит по одну сторону с центром О относительно прямой ЕС, то по свойству вписанного угла ). Из  

Из  имеем . Так как , то  и .

VII способ (18 слайд).

Вычислив  и , найдём R и r по формулам  и , где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

4. Подведение итогов урока (19 слайд).

При решении задач только одним способом единственная цель – найти правильный ответ. Если же требуется применить при этом несколько способов, стараешься отыскать наиболее оригинальное, красивое, экономичное решение. Для этого приходится вспоминать многие теоретические факты, методы и приёмы, анализировать их с точки зрения применимости к данной в задаче ситуации, накапливается определённый опыт применения одних и тех же знаний к различным вопросам.

Всё это активизирует учебную деятельность, прививает интерес к предмету.

5. Домашнее задание: № 689 (рассмотреть задачу тремя наиболее понравившимися способами).