Дистанционный урок на тему "Разложение вектора по направлениям"
план-конспект занятия по геометрии (11 класс)

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение города Москвы

«ЮРИДИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

(ГБПОУ Юридический колледж)

ПЛАН-КОНСПЕКТ учебного занятия

                                       по ОУДу,04 Математика: алгебра и начала анализа, геометрия.

учебной дисциплине/междисциплинарному курсу

для обучающихся гр. 101, 103, 106, 108, 112, курс 1,

специальность 40.02.01.  ПРАВО И ОРГАНИЗАЦИЯ СОЦИАЛЬНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

дата проведения 7 мая 2018 г.

форма проведения

преподаватель Л.В. Лазарева

Тема «Разложение вектора по направлениям»

Цель занятия:  освоение понятия «компланарные  векторы», ознакомление с правилом разложения вектора по трем некомпланарным направлениям,  применение его при решении задач.

Задачи занятия:

Обучающая: обучение решению задач на разложения вектора по трем некомпланарным направлениям.

Воспитательная: воспитание внимательности, аккуратности.

Развивающая: развитие пространственного воображения, умения самостоятельной работы с учебной литературой, с электронными носителями.

Информационно-справочное оснащение:

Основная литература:

 Дополнительная литература:

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 Интернет-ресурсы

1. Форма доступа http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/equality/ 
2. Форма доступа http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/razlozhenie-vektora-po-tryom-nekomplanarnym-vektoram-zadachi

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Webmath.​exponenta.​ru (Источник).
2. СтудопедиЯ (Источник).
3. Научная библиотека (Источник).

Междисциплинарные связи: алгебра и начала анализа, информатика, естествознание.

       Внутридисциплинарные связи: раздел 3, геометрия: параллелограмм, свойства параллелограмма, геометрические преобразования пространства, метод координат.

       1.АКТУАЛИЗАЦИЯ РАНЕЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА УЧЕБНОГО КУРСА

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 1

2.ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

 Вопрос 1. Основные определения по теме векторы

Определение:

Вектором называется направленный отрезок. У вектора  точка А – начало вектора, точка В – конец.

Для вектора важна не только длина, но и направление.

Определение:

Коллинеарными называют векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными и противоположно направленными.

Определение:

Равными называют коллинеарные сонаправленные векторы, длины которых равны.

Любой вектор можно единственным образом отложить от произвольной точки.

Для сложения векторов применяются правила треугольника, параллелограмма, многоугольника и параллелепипеда.

При умножении вектора на положительное число его длина умножается на это число, а направление остается неизменным. При умножении вектора на отрицательное число его длина умножается на это число, а направление меняется на противоположное.

Новым для векторов в пространстве относительно векторов на плоскости является понятие компланарности.

Определение:

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Контрольные задания по вопросу 1.

Таблица 2.

Вопрос 2.   Разложение вектора на плоскости и в пространстве

Мы знаем, что если заданы два неколлинеарных вектора на плоскости, то любой третий вектор на той же плоскости можно однозначно разложить по этим векторам (рис. 1, 2):

Рис. 1. Векторы на плоскости

Рис. 2. Разложение вектора через два неколлинеарных

Данный факт легко доказывается. Пусть . Из точки С проводим прямую CB, параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Аналогично из точки С проводим прямую CА, параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Это означает, что существуют такие два числа х и у, причем единственные, что:

Вопрос на понимание компланарности векторов. Если вектор  можно представить в виде , где х и у – конкретные числа, то векторы  и  компланарны.

Если заданы три некомпланарных вектора, то мы можем однозначно разложить любой заданный четвертый вектор через три заданных. Например, заданы некомпланарные векторы  и    .Тогда любой вектор  можно представить в виде суммы: , где х, у и z – конкретные числа, причем для заданного вектора единственные. Эти числа называются коэффициентами разложения.

Контрольные задания по вопросу 2.

Таблица 3.

Вопрос 3.  Решение задач  на разложение вектора по трем некомпланарным

Задача 1: дан куб  с ребром m. Точка К – середина ребра . Разложить вектор  по векторам  и найти его длину.

Решение: построим заданный куб (рис. 3).

Рис. 3. Куб, задача 1

Векторами  и  задается плоскость квадрата . Третий вектор  не лежит в этой плоскости, отсюда заключаем, что три заданных вектора ,  и  некомпланарны, и мы можем выразить через них искомый вектор . Найдем вектор  по правилу многоугольника. Очевидно, что в данной задаче для этого есть множество способов, но мы выбираем самый короткий путь: . вектор  мы по условию обозначили как вектор . Вектор  согласно свойствам куба равен вектору , обозначенному за вектор .

вектор  составляет половину вектора , так как точка К – середина ребра  по условию: . Вектор  согласно свойствам куба, равен вектору , обозначенному как вектор . Имеем:

Так, заданный вектор выражен через три некомпланарных вектора. Осталось найти его длину. Здесь нужно применить теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Он прямоугольный потому, что ребро  перпендикулярно всей плоскости основания , значит и любой прямой в этой плоскости, значит прямой . Один из катетов  равен m как ребро куба. Катет  найдем из другого прямоугольного треугольника – , где он уже является гипотенузой. Здесь катет  равен m как ребро куба. Катет  равен , так как точка К – середина ребра . Имеем:

Вернемся к первому треугольнику:

 Задача на усвоение понятия компланарности

Задача 2: векторы ,  и  компланарны. Компланарны ли векторы ,  и ? Компланарны ли векторы ?

Решение: тот факт, что векторы ,  и  компланарны, означает, что, будучи отложенными от одной точки, они расположены в одной плоскости (рисунок 4.а). Это значит, что один из векторов, например, вектор , можно однозначно разложить по двум другим: . Очевидно, что векторы ,  и  тоже компланарны, т. к. умножение вектора на положительное число не меняет его направления, а меняет только длину, и векторы останутся в той же плоскости (рисунок 4.б).

Очевидно, что тройка векторов  также компланарна, потому что всякая линейная комбинация компланарных векторов есть вектор, им компланарный. Мы имеем три вектора, компланарных заданным векторам, очевидно, что они компланарны между собой.

Итак, мы вспомнили все основные определения и теоремы касательно векторов в пространстве, подробно остановились на понятии компланарности векторов и рассмотрели типовые задачи на эту тему.

Контрольные задания по Вопросу 3.

Таблица 4.

3. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

4.ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ НА СЛЕДУЮЩЕЕ ЗАНЯТИЕ

1. – параллелепипед. М – точка пересечения  и . .    Разложите вектор  по трем заданным векторам.

1. В тетраэдре DABC O – точка пересечения медиан треугольника АВС, точка F принадлежит ребру AD, причем . Разложите вектор  по векторам .
2. Используя векторы, докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

 Разноуровневые  задания

1 уровень сложности    №1;  оценка «3»    

              2 уровень сложности     №2;  оценка «4»    

3 уровень сложности     №3;  оценка «5»  

Преподаватель                                                                Л.В. Лазарева

СОГЛАСОВАНО

Протокол заседания

Цикловой комиссии дисциплин

Циклов ОО, ОГСЭ и МиОЕН

ГБПОУ Юридический колледж

от          2018 г. № _