Дистанционный урок на тему "Угол между двумя векторами, проекция вектора на ось"
план-конспект занятия по геометрии (11 класс)

Лазарева Лилия Владимировна

ГБПОУ "Юридический колледж", май 2018

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл distantsionnyy_urok_07.03.2016_112vzvod.docx109.62 КБ

Предварительный просмотр:

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение города Москвы

«ЮРИДИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

(ГБПОУ Юридический колледж)

ПЛАН-КОНСПЕКТ учебного занятия

                                       по ОУДу.04 Математика: алгебра и начала анализа, геометрия.

учебной дисциплине/междисциплинарному курсу

для обучающихся гр. 101, 103, 106, 108, 112,  курс 1,

специальность 40.02.01.  ПРАВО И ОРГАНИЗАЦИЯ СОЦИАЛЬНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

дата проведения 7 мая 2018 г.

форма проведения

преподаватель Л.В. Лазарева

Тема «Угол между двумя векторами, проекция вектора на ось»

Цель занятия: расширение  представлений обучающихся о пространстве, формулирование понятия «угол между двумя векторами, проекция вектора на ось», применение полученных знаний для решения задач.

 Задачи занятия:

Обучающая: формирование умения  использования полученных знаний, формул при решении задач, использования при этом соответствующих рисунков.

Воспитательная: воспитание  ответственности  за выполняемую работу, выполнение  её точно, аккуратно и вовремя.

Развивающая: развитие  умения самостоятельной работы с учебной литературой, с электронными носителями, выполнения качественных рисунков.

Информационно-справочное оснащение:

  • Основная литература: 
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы, М., Просвещение, 2014

Дополнительная литература:

1.А.А. Заславский, «Геометрические преобразования», М., МЦНМО, 2003, 2004.

Интернет-ресурсы

Студопедия.        Форма доступа http://studopedia.ru/9_65986_nahozhdenie-ugla-mezhdu-vektorami-primeri-i-resheniya.html 

Междисциплинарные связи: алгебра и начала анализа, информатика.

Внутри дисциплинарные связи: многогранники, система координат, векторы.

       1.АКТУАЛИЗАЦИЯ РАНЕЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА УЧЕБНОГО КУРСА

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 1.

Вопрос

(тестовое задание)

Ответ

Самооценка

(по 5-ти бальной шкале)

  1. Приведите примеры  равных векторов.

2. Вопрос 5, стр.98 («Геометрия», Атанасян)  

3.Вопрос 6, стр.98 («Геометрия», Атанасян)  

4.Может ли длина суммы двух или нескольких ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов.

5. Вопрос 13, стр.99 («Геометрия», Атанасян)  

2.ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

  1. Угол между векторами на плоскости и в пространстве.

2.Нахождение угла между векторами.

3.Примеры решения задач.

4. Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор.

Вопрос 1. Угол между векторами на плоскости и в пространстве.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве заданы два ненулевых вектора изображениеи изображение. Отложим от произвольной точки O векторы изображениеи изображение. Тогда справедливо следующее определение.

Определение.

Углом между векторами изображениеи изображениеназывается угол между лучами OA и OB.

Угол между векторами изображениеи изображениебудем обозначать как изображение.

изображение

Понятно, что угол между векторами может принимать значения от 0 до изображениеили, что то же самое, от изображениедо изображение.

изображениекогда векторы изображениеи изображениесонаправленные, изображениекогда векторы изображениеи изображениепротивоположно направленные.

Определение.

Векторы изображениеи изображениеназываются перпендикулярными, если угол между ними равен изображение(изображение радиан).

Если хотя бы один из векторов изображениеи изображениенулевой, то угол изображениене определен.

Источники дополнительной информации по 1 вопросу

Автор и наименование

Страницы

(форма доступа для Интернет-ресурсов)

Основная литература

Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др., «Геометрия», М., Просвещение, 2014.

Стр.112-114

Дополнительная литература

А.А.Заславский, «Геометрические преобразования»,М., МЦНМО, 2003, 2004.

Стр.39-42

Интернет ресурсы

Студопедия.

Форма доступа http://studopedia.ru/9_65986_nahozhdenie-ugla-mezhdu-vektorami-primeri-i-resheniya.html 

Контрольные задания по вопросу 1.

Таблица 2.

Контрольное задание

(тестовое задание)

Ответ

Самооценка

(по 5-ти бальной шкале)

  1. Выполните рисунок  коллинеарных векторов    изображение и изображение.

  1. Задача №415, стр.109,  («Геометрия», Атанасян)  

  1. Задача №442, стр.117 («Геометрия», Атанасян)  

 Вопрос 2. Нахождение угла между векторами, примеры и решения.

Косинус угла между векторами изображениеи изображение, а значит и сам угол, в общем случае может быть найден либо с использованием скалярного произведения векторов, либо с использованием теоремы косинусов для треугольника, построенного на векторах изображениеи изображение.

Разберем эти случаи.

По определению скалярное произведение векторов есть изображение. Если векторы изображениеи изображениененулевые, то можно разделить обе части последнего равенства на произведение длин векторов изображениеи изображение, и мы получим формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами: изображение. Эту формулу можно использовать, если известны длины векторов и их скалярное произведение.

Пример.

Вычислите косинус угла между векторами изображениеи изображение, а также найдите сам угол, если длины векторов изображениеи изображениеравны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9.

Решение.

В условии задачи даны все величины необходимые для применения формулы изображение. Вычисляем косинус угла между векторами изображениеи изображение: изображение.

Теперь находим угол между векторами: изображение.

Ответ:

изображение

Источники дополнительной информации по 2 вопросу

Автор и наименование

Страницы

(форма доступа для Интернет-ресурсов)

Основная литература

Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др., «Геометрия», М., Просвещение, 2014.

Стр.112-114.

Дополнительная литература

А.А. Заславский, «Геометрические преобразования», М., МЦНМО, 2003, 2004.

Стр. 39-42.

Интернет ресурсы

Студопедия.

Форма доступа http://studopedia.ru/9_65986_nahozhdenie-ugla-mezhdu-vektorami-primeri-i-resheniya.html 

Контрольные задания по вопросу 2.

Таблица 3.

Контрольное задание

(тестовое задание)

Ответ

Самооценка

(по 5-ти бальной шкале)

1.Выполните  рисунки острого, тупого и прямого углов между векторами изображение и изображение.

2.Задача №441, стр.116  («Геометрия», Атанасян)  

3.Задача №444, стр.117 («Геометрия», Атанасян)  

Вопрос 3. Примеры  решения задач.

Пример1.

На плоскости в декартовой системе координат заданы координаты трех точек http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image101.png. Найдите косинус угла между векторами http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image100.pngи http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image102.png.

Решение.

Определим координаты векторов http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image100.pngи http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image102.pngпо координатам заданных точек:
http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image103.png

Теперь воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах:
http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image104.png

Ответ:

http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image105.png.

Угол между векторами http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image072.pngи http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image073.pngтакже можно вычислить по теореме косинусов. Если отложить от точки O векторы http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image074.pngи http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image075.png, то по теореме косинусов в треугольнике ОАВ мы можем записать http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image106.png, что эквивалентно равенству http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image107.png, откуда находим косинус угла между векторами http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image108.png. Для применения полученной формулы нам нужны лишь длины векторов http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image109.pngи http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image110.png, которые легко находятся по координатам векторов http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image072.pngи http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image073.png. Однако, этот метод практически не используется, так как косинус угла между векторами проще найти по формуле http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image086.png.

Пример2.

Найдите угол между векторами http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image094.png, заданными в прямоугольной системе координат.

Решение.

Можно для нахождения косинуса угла между векторами использовать формулу http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image086.png, предварительно вычислив длины векторов и скалярное

произведение по координатам:
http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image096.png

Ответ:

http://ok-t.ru/studopediaru/baza9/169114537488.files/image097.png.

Источники дополнительной информации по 3 вопросу

Автор и наименование

Страницы

(форма доступа для Интернет-ресурсов)

Основная литература

Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др., «Геометрия», М., Просвещение, 2014.

Стр.112-114

Дополнительная литература

А.А. Заславский, «Геометрические преобразования», М., МЦНМО, 2003, 2004.

Стр.39-42

Интернет ресурсы

Студопедия.

Форма доступа

http://studopedia.ru/9_65986_nahozhdenie-ugla-mezhdu-vektorami-primeri-i-resheniya.html 

Контрольные задания по Вопросу 3.

Таблица 4.

Контрольное задание

(тестовое задание)

Ответ

Самооценка

(по 5-ти бальной шкале)

  1. Задача №446, стр.117 («Геометрия», Атанасян)  

  1. Задача №447, стр.117 («Геометрия», Атанасян)  

  1. Задача №448, стр.117  («Геометрия», Атанасян)

Вопрос 4. Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

Определение. Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезка A1B1 оси l, где точки A1 и B1 являются проекциями точек A и B на ось l. (рис. 1).

Проекция вектора на ось

рис. 1

Определение.

Проекцией вектора a на направление вектора b , называется число, равное величине проэкции вектора a на ось проходящую через вектор b.

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Пр ba = 

a · b

|b|

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Пример 1. Найти проекцию вектора a = {1; 2} на вектор b = {3; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

|b| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр ba = 

a · b

 = 

11

 = 2.2

|b|

5

Ответ: Пр ba = 2.2.

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Пример 2. Найти проекцию вектора a = {1; 4; 0} на вектор b = {4; 2; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

|b| = √42 + 22 + 42 = √16 + 4 + 16 = √36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр ba = 

a · b

 = 

12

 = 2

|b|

6

Ответ: Пр ba = 2.

Источники дополнительной информации по 4 вопросу

Автор и наименование

Страницы

(форма доступа для Интернет-ресурсов)

Основная литература

Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др., «Геометрия», М., Просвещение, 2014

Стр.220-225

Дополнительная литература

А.А. Заславский, «Геометрические преобразования», М., МЦНМО, 2003, 2004.

Стр.1-28

Интернет ресурсы

Студопедия.

Форма доступа http://studopedia.ru/9_65986_nahozhdenie-ugla-mezhdu-vektorami-primeri-i-resheniya.html 

Контрольные задания по Вопросу 4.

Таблица 5.

Контрольное задание

(тестовое задание)

Ответ

Самооценка

(по 5-ти бальной шкале)

  1. Нарисуйте проекцию вектора изображение на ось Ох и на ось Оz декартовой системы кординат.

2. Нарисуйте проекцию вектора изображение на вектор изображение.

3 Найти проекцию вектора a = {0; 1; 4} на вектор b = {2; 2; 4}.

 3. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 6.

Наименование изученного вопроса учебного занятия

Контрольное задание по изученному вопросу

Ответ

Самооценка

(по 5-ти бальной шкале)

1.Угол между векторами на плоскости и в пространстве.

Выполните рисунок  коллинеарных векторов    изображение и изображение.

2.Нахождение угла между векторами.

446, стр.117, (геометрия,Атанасян)

3.Примеры решения задач.

№454, стр.115, (геометрия, Атанасян)

4. Проекция вектора на ось, проекция вектора на вектор

3 Найти проекцию вектора a = {2; 3; 5} на вектор b = {0; 2; 1}.

4.ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ НА СЛЕДУЮЩЕЕ ЗАНЯТИЕ

  1. Придумать и выполнить задание, аналогичное №333, стр.90, (геометрия, Атанасян)
  2. Выполнить  задания из таблиц 2, 3, 4, 5, 6 в тетради.

на «3»  и «4»: №1 и№2 из указанных таблиц;

на «5» : №3 из указанных таблиц.

Преподаватель                                                                Л.В. Лазарева

СОГЛАСОВАНО

Протокол заседания

Цикловой комиссии дисциплин

Циклов ОО, ОГСЭ и МиОЕН

ГБПОУ Юридический коллеж

От                      2018 г. № __


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

презентация к уроку на тему "Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов."

презентация к уроку на тему "Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов."...

презентация "Векторы.Действия над векторами.Проекция вектора"

В 10 классе при рассмотрении основ кинематики возникает необходимость работы учащимся с векторными величинами. Данная презентация может быть использована для повторения  математических основ поня...

презентация по геометрии "Понятие вектора. Длина вектора. Равенство векторов."

Презентация по геометрии "Понятие вектора. Длина вектора. Равенство векторов." Изучение нового материала....

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Коллинеарные векторы.

Презентация для изучения нового материала....

Урок геометрии 9 класс по теме: Вектор. Длина вектора. Равенство векторов

На уроке уч-ся знакомятся со следующими понятиями:1.Векторные величины.2. Определение вектора .3. Обозначение вектора 4.Нулевой вектор...

Угол между двумя векторами, проекция вектора на ось

Угол между двумя векторами, проекция вектора на ось...