Билеты по геометрии 8 класс
учебно-методический материал по геометрии (8 класс)

Билет №1

1. Признаки параллелограмма, доказательство любого признака.
2. Взаимное расположение прямой и окружности.
3. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна З√2 см, угол К равен 45°,а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.
4. Угол DFG вписан в окружность с центром в точке Q. Найдите градусную меру

Билет №2

1. Признаки прямоугольника, доказательство любого признака.
2. Четыре замечательные точки треугольника.
3. В трапеции ABCD проведены диагонали АС и BD. Докажите, что ∆ СОB ~ ∆ AOD.
4. В параллелограмме KLMN каждый из углов LKM и MNL равен 57°. Определите, является ли параллелограмм прямоугольником.

Билет №3

1. Признаки ромба, доказательство любого признака.
2. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
3. Определите, подобны ли равнобедренные треугольники, если угол при вершине одного равен 54°, а угол при основании другого — 63°.
4. В равнобокой трапеции ABCD углы, прилежащие к стороне AD, равны 45°. Найдите площадь трапеции, если основания равны 13 и 27 см.

Билет №4

1. Площадь прямоугольника.
2. Параллелограмм, его свойства и признаки.
3. На диагонали ВД прямоугольника АВСД отложены равные отрезки ВМ и ДК. а) Докажите равенство треугольников АВМ и СДК. б) Определите вид четырехугольника АМСК.
4. Вычислите площадь трапеции АВСД с основаниями АД и ВС, если ВС = 13 см, АД = 27 см, СД = 10 см, <Д = 30°.

Билет №5

1. Площадь параллелограмма.
2. Трапеция. Свойства равнобедренной трапеции.
3. В прямоугольном треугольнике высота и медиана, проведенные к гипотенузе, равны 24 см и 25 см. Найдите периметр треугольника.
4. В параллелограмме АВСД проведены биссектрисы АК и ДМ (К, М лежат на ВС), которые делят сторону на три равные части. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 20 см. (Рассмотрите 2 случая)

Билет №6

1. Площадь треугольника.
2. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°.
3. В равнобедренной трапеции основания равны 8 см и 14 см, боковая сторона - 5 см. Найдите: а) высоту трапеции; б) синус острого угла при основании трапеции.
4. Дан треугольник МКР. На стороне МК отмечена точка Т так, что МТ = 5 см, КТ =10 см. Найдите площади треугольников МРТ и КРТ, если МР = 12 см, КР = 9 см.

Билет №7

1. Площадь трапеции.
2. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
3. ABCD — прямоугольник. О — точка пересечения диагоналей. Найдите стороны ∆АОВ, если CD = 5 см, а АС= 8 см.
4. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СЕ, СЕ=12см, ВЕ = 9 см, АК = 10 см. Найдите АС.

Билет №8

1. Теорема Пифагора.
2. Вписанная и описанная окружности.
3. В прямоугольном треугольнике АВС (<С = 90˚) АВ = 41 см, АС = 9 см. Точки М и К - середины сторон АВ и АС соответственно. Найдите: а) длину отрезка МК; б) тангенсы острых углов.
4. На стороне АО параллелограмма АВСО взята точка Е так, что АЕ = 4 см, ЕО = 5 см, ВЕ = 12 см, ВО = 13 см. Найдите площадь параллелограмма.

Билет №9

1. Признаки подобия треугольников, доказательство любого признака.
2. Прямоугольник, свойства и признаки прямоугольника.
3. Из точки А к прямой проведены две наклонные АМ = 10 см и АС = 4√5 см. Проекция наклонной АМ имеет длину 6 см. Найдите длину проекции наклонной АС и длину МС (рассмотрите 2 случая).
4. Сторона ромба равна 18 см, а один из углов равен 120°. Найдите расстояние между противолежащими сторонами ромба.

Билет №10

1. Средняя линия треугольника.
2. Формула Герона.
3. Прямоугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Одна из его сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника.
4. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СЕ, СЕ=12см, ВЕ = 9 см, АК = 10 см. Найдите площадь треугольника.

Билет №11

1. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку.
2. Ромб, свойства.
3. Высота ВК, проведенная к стороне АД параллелограмма АВСД делит эту сторону на два отрезка АК = 7 см, КД = 15 см. Найдите площадь параллелограмма, если <А = 45°.
4. Хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. Найдите ЕД, если АЕ=0,2, ВЕ=0,5, СД=0,65.

Билет №12

1. Касательная к окружности, свойства касательной. доказательство любого свойства.
2. Квадрат, его свойства и признаки.
3. Диагональ квадрата равна 26 см. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон квадрата.
4. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника.

Билет №13

1. Касательная к окружности, свойства касательной, доказательство любого свойства.
2. Осевая симметрия.
3. В прямоугольной трапеции АВСД большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 60°, а высота ВН делит основание АД пополам. Найдите площадь трапеции.
4. Дан треугольник АВС. На стороне АС отмечена точка К так, что АК = 6 см, КС = 9 см. Найдите площади треугольников АВК и СВК, если АВ = 13 см, ВС = 14 см.

Билет №14

1. Теорема о вписанном угле.
2. Подобные треугольники. Отношение периметров и площадей подобных треугольников.
3. ABCD — прямоугольник. О — точка пересечения диагоналей. Найдите стороны АОВ, если CD = 5 см, а АС= 8 см.
4. В прямоугольном треугольнике высота и медиана, проведенные к гипотенузе, равны 24 см и 25 см. Найдите периметр треугольника.

Билет №15

1. Свойства биссектрисы угла.
2. Центральная симметрия.
3. Углы при основании трапеции равны 60° и 45°, высота трапеции равна 6 см. Найдите боковые стороны трапеции.
4. Дан треугольник МКР. На стороне МК отмечена точка Т так, что МТ = 5 см, КТ =10 см. Найдите площади треугольников МРТ и КРТ, если МР = 12 см, КР = 9 см.

 Признаки параллелограмма. Доказательство одного из них.

3. Два равнобедренных треугольника имеют равные углы, противолежащие основаниям. В одном из треугольников боковая сторона и высота, проведённая к основанию, равна 5 см и 4 см. Найдите периметр второго треугольника, если его боковая сторона равна 15 см.


Билет № 11

1. Теорема об окружности, вписанной в треугольник (доказательство).

2. Теорема о средней линии треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике высота и медиана, проведенные к гипотенузе, равны 24 см и 25 см. Найдите периметр треугольника.


Билет № 12

1. Теорема об окружности, описанной вокруг треугольника (доказательство).

2. Многоугольники. Выпуклый многоугольник. Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а косинус одного из острых углов равен 0,8. Найдите катеты этого треугольника.


Билет № 13

1. Теоремы о свойстве и признаке вписанного четырехугольника (доказательство одной из них).

2. Прямоугольник: определение, свойства, вывод особого свойства прямоугольника.

3. Периметр параллелограмма равен 32 см. Найдите площадь параллелограмма, если один из углов на 60º больше прямого, а одна из сторон равна 6 см.


Билет № 14

1. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

2. Симметрия. Построение симметричных фигур с помощью осевой симметрии.

3. Докажите, что площадь квадрата равна половине квадрата диагонали.


Билет № 15

1. Касательная к окружности, свойства касательной. Доказательство любого свойства.

2. Пропорциональные отрезки. Вывод теоремы о биссектрисе треугольника.

3. Один из острых углов прямоугольного треугольника в 4 раза меньше другого. В другом прямоугольном треугольнике разность острых углов равна 54º. Подобны ли эти треугольники? Почему?


Билет № 16

1. Теорема обратная теореме Пифагора.

2. Теорема об отрезках касательной, проведенной к окружности из одной точки (доказательство).

3. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная боковой стороне, равна13 см, а медиана, проведённая к основанию – 24 см. Найдите среднюю линию, параллельную основанию треугольника.


Билет № 17

1. Понятие площади многоугольника. Свойства площади.

2. Теорема об отрезках двух пересекающихся хордах.

3. Расстояние от точки окружности до концов диаметра равны 9 см и 12 см. Найдите радиус окружности.

Билеты по геометрии 8 класс 

Билет 1

1. Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения задач.

2. Теорема о внешнем угле треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 см, а косинус одного из острых углов равен 0,7. Определить величину катета, прилежащего к данному острому углу.


Билет 2

1. Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой (формулировка и примеры).

2. Признак параллелограмма.

3. В треугольнике FBG

сторона FG равна стороне BG,

BFG =BAC. Доказать, что АВС – 

равнобедренный. G C B 


Билет 3

1. Первый признак равенства треугольников (формулировка и пример).

2. Теорема о вертикальных углах.

3. Даны две окружности с общим центром в точке О. АС и ВD - диаметры этих окружностей. Доказать, что четырехугольник ABCD - параллелограмм.


Билет 4

1. Второй признак равенства треугольников (формулировка и пример).

2. Терема о средней линии треугольника.

3. В треугольнике АВС точка М является точкой пересечения биссектрис. Угол при вершине А равен 64° , а при вершине С равен 42°. Найти углы треугольника АМС.


Билет 5

1. Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения при решении задач.

2. Значения синусов, косинусов, тангенсов некоторых углов.

3. Сторона AD параллелограмма ABCD равна 9см, а его диагонали равны 14см и 10см.

О - точка пересечения диагоналей. Определить величину периметра  AOD.


Билет 6

1. Третий признак равенства треугольников.(формулировка и пример).

2. Теорема Пифагора.




3. Дано: 1=2, 3=4. Определить среди трех прямых c, d, e параллельные.

Билет 7

1. Признаки параллельности прямых (формулировка и примеры).

2. Свойство диагоналей ромба.

3. В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза равна 12 см. Определить высоту треугольника, опущенную из вершины прямого угла.


Билет 8

1. Аксиомы планиметрии.

2. Теорема о смежных углах.

3. AD - биссектриса BAC.На сторонах угла отложены равные отрезки АВ и АС. Доказать равенство треугольников BAD и CAD.


Билет 9

1. Свойство прямоугольного треугольника, у которого один угол равен 30° (с обоснованием)

2. Свойство медианы равнобедренного треугольника.

3. В трапеции ABCD с основаниями АD = 12 см и ВС = 8 см проведена средняя линия ML, которая пересекает диагональ АС в точке К. Определить величину отрезков МК и KL.


Билет 10

1. Окружность.

2. Свойство углов равнобедренного треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике ABC (C прямой) проведена высота CD. Найти длины отрезков AD и BD, если гипотенуза равна 12 см, a CBA=30°.


Билет 11

1. Теорема Фалеса. Пример ее применения для деления отрезка на n равных частей.

2. Свойство диагоналей прямоугольника.

3. BD - медиана равнобедренного треугольника ABC (АВ=ВС). Найти ее длину, если периметр треугольника ABC равен 50 см, а периметр треугольника ABD равен 30 см.


Билет 12

1. Координаты точки. Формулы для нахождения координат середины отрезка.

2. Теорема о средней линии трапеции.

3. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, опущенная на основание - 8 см. Найдите высоту, опущенную на его боковую сторону.


Билет 13

1. Основные тригонометрические тождества. Пример их применения.

2. Свойство диагоналей параллелограмма.

3. Вычислите длину медианы AM треугольника ABC, если вершины треугольника имеют координаты А(-2;3), В(0;-3), С(2;1).


Билет 14

1. Координаты вектора. Объясните, как найти координаты суммы векторов  и , и произведение вектора  на число λ.

2. Окружность, описанная около треугольника.

3. В треугольнике ABC ВDАС, угол А равен 30°, угол DВС равен 45°, АВ = 4 см. Найти ВС.


Билет 15

1. Напишите формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов по их координатам.

2. Сумма углов треугольника.

3. Величины углов АВС и КВС относятся как 7:3, а их разность 72º. Могут ли эти углы быть смежными?


Билет 16

1. Напишите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по координатам этих точек. Приведите пример ее применения.

2. Окружность, вписанная в треугольник.

3. В равностороннем треугольнике АВС проведена высота ВD. Найдите углы треугольника АВD.