Базисная задача об отношениях в треугольнике, в котором проведены две трансверсали с применением «Метода трех цветов»
методическая разработка по геометрии (8, 9 класс)

Разработка урока по теме «Базисная задача об отношениях в треугольнике, в котором проведены две трансверсали» с применением «Метода трех цветов».

Обучение решению геометрических задач – важная составная часть изучения школьного курса геометрии. При решении задач у учащихся закрепляются теоретические знания, вырабатываются навыки применения этих знаний в практической деятельности, развивается творческая активность.

Треугольник является важнейшей фигурой планиметрии, и в первую очередь изучают свойства именно этой фигуры. Любой многоугольник может быть разделён на треугольники, а изучение свойств этого многоугольника, сводится к изучению составляющих его треугольников. Таким образом, можно сказать, что одной из самых главных составляющих изучаемой в школьном курсе геометрии является геометрия треугольника.

Для решения задач геометрии треугольников существуют различные методические приемы. Например, так называемый «Метод трех цветов», который упрощает восприятие условий задачи, а также помогает в поиске ее решения.

Данный урок посвящен решению задач об отношениях в треугольнике, в котором проведены две трансверсали, с применением вышеуказанного методического приема.

Цели:

• показать применение теоремы Фалеса в решении геометрических задач;
• изучить отношения в треугольнике, в котором проведены две трансверсали;
• усвоить приём решения «Метод трех цветов».

Эффективный метод обучения учащихся решению геометрических задач основан на использовании при отыскании плана решения некоторых выводов, полученных в решении так называемых базисных задач (БЗ) [1].

Базисными являются задачи, в том числе и теоремы школьного курса геометрии, в которых отражаются основные свойства фигур, в данном случае треугольников, которые часто используются при решении задач.

Вспомним теорему Фалеса, которая является одной из базисных задач геометрии.

Теорема Фалеса. Доказать, что стороны угла, пересекаемые рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части [1].

Доказательство.

Пусть стороны угла, образованного прямыми  l и l′, пересечены параллельными прямыми АА1, ВВ1 и СС1. Докажем, что .

                                             С

                                    В         В2

                         А        А2

N

                    А1       В1

                                         С1

Проведем прямые АА2 и ВВ2 параллельно прямой l′. Треугольники NAA1, ABA2 и СВВ2 подобны по двум углам, следовательно, . Четырехугольники АА1В1А2 и ВВ1С1В2 – параллелограммы по построению, следовательно, АА2 = А1В1 и ВВ2 = В1С1. Значит, .

Что и требовалось доказать.

Трансверсаль – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с какой-либо точкой на противолежащей стороне [2].

Рассмотрим следующую базисную задачу.

В треугольнике АВС проведены отрезки АА1 и СС1, пересекающиеся в точке О. Точки А1, С1 и О определяют четыре отношения  и .

Доказать, что если заданы любые два из указанных отношений, то можно вычислить и два других [1].

Решение.

Для решения используем методический прием «Метод трех цветов», который заключается в следующем: красный цвет используется для выделения отрезков, для которых известно, в каком отношении они делятся соответствующей точкой; синий цвет – для выделения отрезка, отношение в котором необходимо найти; черным цветом выделяется отрезок, который не задействован, т.е. его отношение не используется в задаче. А в качестве дополнительного построения нужно провести прямую зеленого цвета, параллельную этому «черному» отрезку.

1. Пусть даны отношения  и . Необходимо определить  .

Проведем С1К параллельно АА1. По теореме Фалеса  или .

С другой стороны,  или .

Получаем А1К= . Тогда .

2. Пусть даны те же отношения  и . Необходимо определить  .

Проведем А1К параллельно СС1. По теореме Фалеса  или .

С другой стороны,  или .

Получаем С1К= . Тогда .

3. Даны отношения  и . Необходимо определить  .

Проведем А1К параллельно СС1. По теореме Фалеса  или

.

С другой стороны,  или .

Получаем С1К= . Тогда .

4. Даны отношения  и . Необходимо определить .

Проведем ОК параллельно ВС. По теореме Фалеса  или

.

С другой стороны,  или .

Получаем С1К= . Тогда .

5. Даны отношения  и . Необходимо определить  .

Проведем C1К параллельно AA1. По теореме Фалеса  или

.

С другой стороны,  или .

Получаем KA1= .  , b = .

Тогда .

6. Даны отношения  и . Необходимо определить  .

Проведем ОК параллельно ВС. По теореме Фалеса  или .

С другой стороны,  или .

Получаем КС1= . Тогда .

7. Даны отношения  и . Необходимо определить .

Проведем A1К параллельно CC1. По теореме Фалеса   или

.

С другой стороны,  или .

Получаем KC1= .  , c = .

Тогда .

8. Даны отношения  и . Необходимо определить .

Проведем ОК параллельно AВ. По теореме Фалеса  или

. КА1 = .

С другой стороны,  или .

Тогда .

9. Даны отношения  и . Необходимо определить .

Проведем C1К параллельно AA1. По теореме Фалеса  или

.

С другой стороны,  или .

Получаем KA1= . Тогда  .

10. Даны отношения  и . Необходимо определить .

Проведем ОК параллельно АВ. По теореме Фалеса  или .

С другой стороны,  или .

Получаем КA1= . Тогда .

11. Даны отношения  и . Необходимо определить .

Проведем OК параллельно ВС. По теореме Фалеса  или

.

С другой стороны,  или .

Получаем KC1= . Тогда  . Откуда .

12. Даны отношения  и . Необходимо определить .

Проведем ОК параллельно АВ. По теореме Фалеса  или .

KA1 = .

С другой стороны,  или .

Получаем = . Тогда .

Для удобства использования полученных отношений можно составить таблицу.

Задача 1.

На стороне АВ треугольника АВС взята точка К таким образом, что АК:КВ = 1:3. На СК взяты точка О и Р так, что КО = ОР = РС. Прямая АО пересекает ВС в точке М. Доказать, что сторона АВ параллельна РМ.

Доказательство.

1. ДП: ОН||ВС [2].

2.  (по теореме Фалеса).

3.  (по теореме Фалеса).

4. Из п.3 => КН = 1.

5.  = 1 => АО = ОМ.

6. АО = ОМ и КО = ОР (по условию) => АВ || МР.

Что и требовалось доказать.

Задача 2.

Точка D принадлежит стороне АС треугольника АВС и делит эту сторону в отношении АD:DC = 3:2. На отрезке BD выбрана точка Е так, что ВЕ:ED = 4:1. В каком отношении прямая АЕ делит площадь треугольника АВС [1]?

Решение.

1. Пусть М = АЕ∩ВС.

2. Высота ∆АВМ и ∆АСМ – общая => .

3. ДП: DK || АМ [2].

4. ВМ : МК = 4 : 1 = 12 : 3.

5. МК : МС = АD : АС = 3 : 5.

6. .

Ответ: 12:5.

Задача 3.

В остроугольном треугольнике АВС через вершину В и середину высоты СD проведена прямая. В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника АВС, если известно, что  [1]?

Решение.

1. .

Найдем отношение .

2. АВ = АD + BD =  => .

3. .

Найдем отношение .

4. ДП: DO || BK [2].

5.  и ОК = КС (по теореме Фалеса).

6. .

7. .

Ответ: .

Самостоятельная работа.

Решение.

Пусть прямая АD пересекает высоту ВМ в точке Н.

Проведем МК параллельно AD.

По теореме Фалеса  и . Тогда .

Ответ: 1:2.

Домашняя работа.

Задача 1. 

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) на стороне ВС выбрана точка D так, что BD : DC = 1: 6. В каком отношении прямая AD делит высоту ВМ треугольника АВС?

Ответ: 1 : 3.

Задача 2.

В треугольнике АВС точка Е – середина биссектрисы СС1. В каком отношении прямая АЕ делит площадь треугольника АВС, если известно, что СА : СВ = p : q?

Ответ: .

Вывод. Методические приемы подобного рода с использованием цветов формируют у учащихся не только алгоритмическое, но и творческое мышление. Умение ученика увидеть в задаче разные способы нахождения одного и того же элемента, особенно расчетного элемента, - это стратегическое умение, обеспечивающее фундаментальную основу не только для отличного результата на экзамене, но и для успешного продолжения образования. В связи с этим такое умение необходимо не только развивать, но и продумывать методику работы, как на текущих уроках, так и на уроках итогового повторения.

Список использованной литературы:

1. Габович И. Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.—192 с.
2. Капленко Э. Ф. Новый метод решения планиметрических задач/ Капленко Э. Ф. // Математика: Прил. к газ. "Первое сентября", 2001. т. N 39. - С. 6-10.
3. Демидова Я.И. Методический прием «Метод четырех цветов» // Тезисы докладов студенческой научной конференции по итогам работы за 2015 год. – Воронеж: Воронежский государственный педагогический университет, 2016. Вып. 20. – С.126–127.