Касательная к окружности
методическая разработка по геометрии (7 класс)

Касательная к окружности.  Урок изучения нового материала на практике.

Цели: познакомить учащихся с понятием касательной, её свойством и признаком.

Рабочий лист ученика.
Практическая работа
Дана окружность с центром в точке О.

1. Проведите прямую а, проходящую через центр окружности.
2. Сколько общих точек имеет прямая, а с окружностью? _____________. Как вы думаете, почему? __________________________________________________________________.
3. Сколько прямых можно провести через центр окружности? ____________. Почему?____________________________________________________________________.
4. Можно ли провести прямую, не проходящую через центр окружности и имеющую с окружностью 2 общие точки? ______________________________________________.
Определение:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________
Докажите, что HI является секущей.
Прямая ____ является _____________, так как _____________________________________________________________________________.
ИЛИ
Проведите для данной окружности ещё 2 секущие, обозначьте их двумя буквами и сделайте соответствующую запись.

Прямая _____ является секущей к окружности, так как она имеет с окружностью 2 общие точки.

Прямая _____ является секущей к окружности, так как она имеет с окружностью 2 общие точки.
5. Сколько ещё общих точек может иметь прямая и окружность?
Одна, две, нет общих точек








Взаимное расположение прямой и окружности.

Прямая _____ имеет с окружностью ______ общих точек и называется _______________.
Прямая _____ имеет с окружностью ______ общую точку и называется _______________.
Прямая _____ имеет с окружностью ______ общих точек и называется _______________.
Определение
Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной.
Терминология
Отметьте на прямой точку, отличную от точки М.
Прямая _______ - касательная к окружности.
Точка _____ - точка касания.


Замечание: Если отрезок (луч) принадлежит касательной к окружности и имеет с этой окружностью одну общую точку, то отрезок (луч) касается окружности.

Упражнение. Назовите отрезки, которые являются касательными отрезками и обозначьте точку касания. 1.                                                2.                                                3.________________________                                
 
Повторение теории
Заполнить пропуски.
1. Прямая и окружность могут ___________ общих точек. Могут иметь _____ общую точку или _____ общие точки.
2. Прямую, имеющую с окружностью две общие точки, называют _________________.
3. Прямую, имеющую ________________________ общую точку, называют касательной.
4. Если отрезок принадлежит касательной к окружности и имеет с этой окружностью общую точку, то отрезок ______________ окружности.


Исследовательские вопросы

Основное свойство касательной

Пусть дана окружность с центром в точке О и касательная к окружности. М – точка касания.

1. Проведите радиус окружности в точку касания.
2. С помощью инструментов найдите угол между касательной и радиусом, проведённым в точку касания.
3. Сделайте вывод.
4. Можно ли сказать, что это справедливо для любого радиуса, проведённого в точку касания.

Теорема 1 (свойство касательной)
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
Доказательство (рабочая тетрадь, №277).

Задача №1. В угол C величиной 40° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O — центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.


Задача №2. Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 9.

Задача №3. Опустите перпендикуляр в точку касания.


Теорема  2 (признак касательной)
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Доказательство (рабочая тетрадь)

Практическое задание

1. Начертите окружность радиуса 2 см, отметьте на ней точку М, и пользуясь линейкой и угольном проведите прямую, которая касается окружности в точке М.
1) Сколько касательных мы можем провести к данной окружности?

2. Проведите прямую а, отметьте на ней точку М, и пользуясь чертежными инструментами проведите окружность радиуса 3 см, которая касается прямой а в точке М.
а) Сколько окружностей мы можем провести?

Найдите верное утверждение

1. Касательная это прямая, которая имеет с окружностью две общие точки.
2. Радиус окружности, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной.
3. Радиус окружности, проведенный в точку касания параллелен касательной.
4. Касательная это прямая, которая имеет с окружностью одну общую точку.
5. Радиус окружности перпендикулярен касательной
6. Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.
   
   

Ключевые задачи

1. Докажите, что если через данную точку  к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющих данную точку с точками касания, равны.

2. Из одной точки М проведены две касательные МА и МВ к окружности с центром в точке О.  Докажите, что луч МО является биссектрисой угла ВМА.
   

3. Доказать, что если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к окружности.
   
   

Вопросы

1. Перечислите все случаи взаимного расположения прямой и окружности.
2. Сформулируйте определение касательной к окружности.
3. Каким свойством обладает касательная к окружности?
4. Сформулируйте признак касательной к окружности.
5. Каким свойством обладают касательные, проведенные к окружности через одну точку?