Урок "Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности"
презентация к уроку по геометрии (7 класс)

Слайд 1

Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности

Слайд 2

Повторение Окружность ( O;R ) AB – диаметр ОС = ОА = ОВ – радиусы АС - хорда А B O C

Слайд 3

Теорема 20.1 Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Дано: Окр .( O; R) АВ – хорда CD – диаметр CD АВ Доказать: CD делит АВ пополам. Доказательство: 1 случай Если хорда АВ – диаметр, то CD пересекает АВ в точке О, значит, АО = ВО. А O C D В

Слайд 4

Теорема 20.1 Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Дано: Окр .( O; R) АВ – хорда CD – диаметр CD АВ Доказать: CD делит АВ пополам. Доказательство: 2 случай Если хорда АВ – не диаметр, то CD пересекает АВ в точке М. Докажем, что АМ = МВ. Д. п. Проведем радиусы ОА и ОВ . Рассмотрим треугольник АОВ – равнобедренный ( ОА = ОВ ). ОМ – высота и медиана (по свойству р/б треугольника), значит, АМ = МВ. А O C D В М

Слайд 5

Теорема 20.2 Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде. А O C D М В

Слайд 6

Рассмотрим взаимное расположение прямой и окружности. Вспомним , что называется расстоянием от точки до прямой? Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки к этой прямой. СН а C а H

Слайд 7

Рассмотрим взаимное расположение прямой и окружности. Обозначим ОН – расстояние от центра окружности О до некоторой прямой а . O r Если ОН > r , то прямая а и окружность не имеют общих точек. Н r Если ОН < r , то прямая а и окружность имеют две общих точки и прямая называется секущей. O r Если ОН = r , то прямая а и окружность имеют одну общую точку и прямая называется касательной к окружности. Н Н O а а а

Слайд 8

Теорема 20.3 (свойство касательной) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. O А Окр . (О ; R) а – касательная к окружности точка А – точка касания ОА – радиус, проведенный в точку касания а ОА а

Слайд 9

Теорема 20.4 (признак касательной к окружности) Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности. Следствие Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Слайд 10

Задача. Докажите, что если через данную точку к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющих данную точку с точками касания, равны. Дано: Окр .( O; R) АВ , АС – касательные Доказать : АВ = АС. Доказательство : Д.п . Радиусы ОВ и ОС. По свойству касательной ОВ АВ , ОС АС. Рассмотрим прямоугольные треугольники АОВ и АОС : ОВ = ОС (как радиусы одной окружности) АО – общая Следовательно, Δ АОВ = Δ АОС (по катету и гипотенузе). Значит, АВ = АС. О А С В

Слайд 11

№511. А O C D М В Дано: Окр .( O; R) АВ – хорда CD – диаметр CD АВ Доказать: ∠ AOD = ∠BOD Доказательство: Рассмотрим треугольник АОВ – равнобедренный (АО = ОВ ). ОМ – высота и биссектриса (по свойств у р/б треугольника), значит, ∠ AOD = ∠ BOD .

Слайд 12

№512. А O C D М В Дано: Окр .( O; R) АВ = CD – хорды OP и OM – расстояния от центра окружности до хорд Доказать: OP = OM . Доказательство: 1) Рассмотрим Δ АОВ – р/б ( ОА = ОВ ). ОМ – высота и медиана (по свойств у р/б треугольника), значит, АМ = МВ = АВ. 2) Аналогично, Δ C О D – р/б ( О C = О D ) и CP = PD = CD. 3) Т.к. AB = CD , то AB = CD , значит, PD = AM. 4) Рассмотрим Δ OPD и Δ OMA - прямоугольные : PD = AM (из доказанного), OD = OA ( как радиусы), значит, Δ OPD = Δ OMA (по катету и гипотенузе). Отсюда, OP = OM. Р