План урока по геометрии 8 класс
план-конспект урока по геометрии (8 класс)

План урока для 8 класса на тему

«Теорема Пифагора»

Цель урока. Дать определение прямоугольного треугольника, его элементов (катеты и гипотенуза), углов и площади. Установить экспериментальным путем при помощи программы «Живая математика» гипотезу о сумме квадратов катетов и квадрата гипотенузы прямоугольного треугольника. Сформулировать и доказать теорему Пифагора. При доказательстве использовать анимационные возможности среды «Живая математика». Решить задачи по рассматриваемой теме.

Необходимое программное обеспечение. На уроке учителю потребуется персональный компьютер, проектор, экран, программа Живая математика, подготовленные заранее собственные инструменты.

Ход урока. На уроке учащиеся дают определение прямоугольного треугольника, называют его катеты, гипотенузу и углы и дают определение площади. Перед тем, как сформулировать теорему, целесообразно провести учебный эксперимент, позволяющий ученикам самим сформулировать гипотезу. Для этого можно использовать интуитивно понятный тезис о том, что, если два многоугольника разрезаны на одно и тоже число попарно равных частей, то площади многоугольников равны.

Прежде чем перейти к теореме и ее доказательству учитель демонстрирует страницу, заранее подготовленного GSP-файла и дает ученикам задание, чтобы учащиеся, выполнив задание на рабочем поле «Живая математика», попробовали самостоятельно сформулировать гипотезу о «пифагоровом» соотношении между сторонами прямоугольного треугольника.  

З а д а н и е. Перемещая мышкой цветные многоугольники на рабочем поле и поворачивая их вокруг большой вершины, ухватившись мышкой за маленькую вершину, заполните многоугольниками сначала квадраты, построенные на катетах, затем этими же многоугольниками - квадрат на гипотенузе.

                                            Рис. 1

После выполнения задания ученики формулируют гипотезу, после чего учитель озвучивает формулировку теоремы Пифагора, доказывает ее:

Т е о р е м а. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с. Докажем, что c2 =a2 +b2.

Достроим треугольник до квадрата со стороной а+ b так, как показано на рисунке 2. Площадь S  этого квадрата равна (a+b)2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ab, и квадрата со стороной с, поэтому S=4*ab+c2 =2ab+c2 . Таким образом, (a+b)2=2ab+c2, откуда c2 =a2 +b2.

                                       Рис. 2

Продемонстрируем идею доказательства теоремы в среде Живая математика, которую предложил индиец Бхаскара.  

Строим на гипотенузе желтого треугольника с катетами а и b синий квадрат со стороной с равной гипотенузе, а на его катетах а и b зеленые квадраты, стороны которых    равны катетам  

              Рис.3                              треугольника.

В синем квадрате строим четыре треугольника равных   желтому так,  чтобы часть синего квадрата, не была занята треугольниками, составила квадрат со стороной равной разности а – b катетов а и b прямоугольного треугольника.

3. Зеленый квадрат со стороной равной катету b присоединяем к квадрату со стороной равной катету а и строим на зеленом фоне четыре треугольника равных желтому, так чтобы часть зеленого квадрата была не занята треугольниками, составила квадрат со стороной равной разности a-b.

                                                           Рис. 4

З а д а н и е. Изобразите на рабочем поле Живой математики прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой с. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам:

а) a=6, b=8;                           в) a=8, b=10;

б) a=5, b=6;                           г) a=12, b=13;

                                                            Рис. 5

К компьютеру выходит ученик по желанию, который под руководством учителя  строит на рабочем поле Живой математики прямоугольный треугольник, обозначает катеты буквами a и b, гипотенузу буквой с и приступает к выполнению задания. Учитель напоминает ученикам, каким образом в среде Живая математика измеряются длины отрезков (подсвечивается отрезок выбирается в меню «Измерения» выбирается опция  «Длина»). Для нахождения гипотенузы ученики будут использовать графический калькулятор. Для фиксации результатов учебного эксперимента ученик выводит на рабочее поле таблицу (подсвечивая значения катетов и гипотенузы, заходит в меню «Вычисления» выбирает опцию «заполнить таблицу») (рис. 5). По необходимости ученик добавляет последнюю строку меняя в ней данные на новые. А если подвигать вершины треугольника, лежащие при гипотенузе, можно увидеть, что данные в последней строке таблицы будут меняться, в зависимости от того, какая вершина будет менять свое положение.