Конспект урока по теме "Угол между векторами"
план-конспект урока по геометрии (11 класс)

Класс 11               Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.                

Цели урока:

- ввести понятие угла между векторами и скалярного произведения векторов, рассмотреть формулу скалярного произведения в координатах;

- показать применение скалярного произведения векторов при решение задач.

Ход урока

I. Организационный момент

 II. Актуализация знаний учащихся

Задача № 439 а) (на доске записать заранее и проверить с учащимися).

Дано: О(0; 0; 0), А(4; 0; 0), В(0; 6; 0), ΔAОВ - прямоугольный (рис. 1).

Найти: 1) К(х; у; z) - центр окружности, описанной около ΔAОВ; 2) АК = R.

 3. Устные упражнения

Решение задач с целью подготовить учащихся к восприятию нового материала. Фронтальная работа с классом: отвечает один из учащихся, остальные при необходимости дополняют, исправляют ответ своего товарища.

Векторы в пространстве (рис. 2).

1. Дано: А(-3; -2; 4), В(-4; 3; 2).

Найти: 

 2. Дано: А(2; -3; 1), В(4; -5; 0), С(5; 0; -4), D(7; -2;-3).

Равны ли векторы ?

3. Коллинеарные ли векторы , если А(1; -3; 4), В(5; 1; -2), С(2; 0; 1), D(4; -2; 2) (рис. 3).

III. Изучение нового материала

Рис. 126 (учебника)

1. Ввести понятие угла между векторами  (рис. 4).   Если  то  если  то  если  то 

Рис. 127 (учебник)

 2. Ввести понятие скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение двух векторов есть произведение их длин на косинус угла между ними.

Обозначение:  Отсюда  Обратить внимание, что  - число (скаляр). Скаляр - лат. scale - лестница, шкала. Ввел в 1845 г. У. Гамильтон, английский математик.

4. Утверждение 1. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Утверждение 2. Скалярный квадрат вектора  равен квадрату его длины. 

5. Формула скалярного произведения двух векторов  и 

Через их координаты 

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

IV. Закрепление изученного материала. Формирование умений и навыков учащихся

1. Устно.

Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 7).

 Найдите угол между векторами

a) 

б) 

в) 

(Ответы: а) 45°; б) 45°; в) 135°.)

2. Решение задач № 443 (а, г).

Дополнительная задача

Вычислите угол между вектором  и координатным вектором 

 (Ответ: 48°11’.)

3. Решить самостоятельно (по группам).

1 группа № 443 д); 2 группа № 443 е); 3 группа № 443 ж).

Ответы: 

 V. Подведение итогов.Рефлексия

- Сегодня на урюке мы рассмотрели понятия угла между векторами скалярного произведения векторов. Вывели формулу для вычисления скалярного произведения в координатах, а также усвоили, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно «0» и, если скалярное произведение векторов равно «0», то векторы перпендикулярны.

Домашнее задание

П. 46; 47 (до свойств). I уровень № 441 в-з). II уровень № 443 б),